2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列专题51 平行线的判定【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023.2024学年七年级数学下册举一反三系列专题5.1平行线的判定

【九大题型】

【人教版】

【题型।对顶角的识别及其性质】...............................................................1

【题型2平行、垂直】..........................................................................2

【题型3平行公理及其推论】...................................................................4

【题型4同位角相等，两直线平行】.............................................................5

【题型5内错角相等，两直线平行】.............................................................6

【题型6同旁内角互补，两直线平行】............................................................7

【题型7平行线的判定方法的综合运用】.........................................................8

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】.....................................................9

【题型9平行线判定的实际应用】..............................................................11

”片声一定三

【题型1对顶角的识别及其性质】

【例1】（2022•内蒙古呼伦贝尔•七年级期中）下列各图中，因1与团2是对顶角的是（）

【变式1-1］（2022•广东•揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线A3、C。相交于点O,OE平

分（MOC,团EOC呼CO&

E

OB

D

⑴图中的对顶角有对，它们是.

⑵图中互补的角有对，它们是.

（3）求（3E。。的度数.

【变式1-2］（2021・山东•济南市钢城区实验学校期末）如图，直线A8,CO相交于点O,0E1CD,。尸平

分/4。0,若24。。=50。.求NE0F的度数.

【变式1-3］（2022•辽宇•鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB,CC相交于点。，0E平分iBOD,。广平

分乙COE.

（1）若440C=76°,/-BOF=度.

⑵若乙8。尸=36°,“0C的度数是多少？

【题型2平行、垂直】

【例2】（2022•福建JI门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线//上，点氏C在直线/2

上，」酗2,A皿AB=4fBC=3,则下列说法正确的是（)

BC

A.点A到直线/2的距离等于4

B.点C到直线//的距离等于4

C.点C到48的距离等于4

D.点B到AC的距离等于3

【变式2-1］（2022•广西•钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（）

A.在同一平面内，a,b,c是直线,且a||b,b||c,则allc

B.在同一平面内，Q,b,c是直线，且Q_L力，b1c,则QJ_c

C.在同一平面内，a,b,c是直线，且a||b,b_Lc,则a||c

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且，all仇匕|忆则a_Lc

【变式2・2】（2022•吉林・公主岭疔陶家中学七年级阶段练习）如图，因为BC上I,B为垂足，所以

4B和BC重合，其理由是（）

A

C

----------------------7

B

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.垂直同一条直线的两条直线平行

D.垂线段最短

【变式2-3］（2022•江苏•九年级）如图，点4、点8是直线/上两点，4B=10,点M在直线/外，MB=6,

M4=8,MMB=90。，若点P为直线/上一动点，连接MP,则线段MP的最小值是.

【知识点平行线的判定】

1.平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

2.平行线的判定方法

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行.

③两直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,则这两条直线平行.（同旁内角互补,两直线平行.）

【题型3平行公理及其推论】

【例3】（2022•江西上饶•七年级期中）同一平面内的四条直线若满足。_1仇81c,cld,则下列式子成

立的是（）

A.a\\dB.bldC.aidD.b\\c

【变式3-1］（2022・河南・漂河•七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘48的垂线。和b,得到013

A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条宜线平行

【变式3-2］（2022・湖北武汉•七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③a,b,

c是同一平面内的三条直线，若a//b,b//c,则a//c\@a,b,c是同一平面内的三条直线，若alb,

blc,则a_Lc；其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式3-3］（2022•四川•甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图，ABWCD,如果乙1=乙2,那么E尸与

力8平行吗？说说你的理由.解：因为乙1=乙2,

所以II.（）

又因为A8IICD,

所以4BIIE了.)

DC

【题型4同位角相等，两直线平行】

【例4】(2022•甘肃•陇南育才学校七年级期末期口图,AB1MN,垂足为B,CD1MN,垂足为D,Z1=Z2.在

下面括号中填上理由.

因为AB1MN,CD1MN,

所以N/BM=NCDM=90。.

乂因为41=42(),

所以々ABM-zl=zCDM-Z2(),

^Z.EBM=Z.FDM.

所以E8||F0()

【变式4.1】(2022・湖北•新春县向桥乡白水中学七年级阶段练习)如图，过直线外一点画已知直线的平行

线的方法叫"推平行线”法，其依据是.

【变式4-2](2022•山东泰安•七年级期末)如图，AB1BC,41+42=90。，42=乙3.请说明线段8E与

。”的位置关系？为什么？

【变式4-3］（2022•北京东城•七色级期末）如图，直线］与直线48,G）分别交于点E,F,乙1是它的补角的

3倍，zl-Z2=90°.判断力B与CD的位置关系，并说明理由.

【题型5内错角相等，两直线平行】

【例5】（2022•山东・曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线OE上，A庞L4C于A,既与团。互

余，OE和8c平行吗？若平行，请说明理由.

【变式5-1］（2022•北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知乙1二75。，42=35。，Z3=40°,求证:

【变式5-2］（2022•福建・莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，。尸是△48。外角44cM的平分线,

44cB=40。，匕4=70。，求证：ABWCF.

A

【变式5-3]（2022•辽宁•阜新市第十中学七年级期中）如图，A13WDE,01=（MCB,^CAB^BAD,试说明

ADWBC.

【题型6同旁内角互补，两直线平行】

【例6】（2022•河北衡水•七年级阶段练习）已知：z_A=/.C=120°,^AEF=/.CEF=60°,求证：ABWCD.

BA

F，七

DC

【变式6-1]（2022•西藏昂仁县中学七年级期中）如图，0CA/9=2O°,团8=70。，求证：AD\\BC.

【变式6-2]（2022•甘肃•平凉市第七中学七年级期中）如图,11=30°,-B=60°,ABIAC.

（1）N04B+N8等于多少度？

（2）八D与BC平行吗？请说明理由.

【变式6-3]（2022•北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点七在/3C上，BD^AC,E/^AC,垂足分

别为。，F,点M,G在A5上，GF交BD于点、H,回创〃>+财4c=180。，01=02,求证：MD\GF.

A

下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据.

证明：0BZM4C,Ef^AC,

团团8QC=90°,0EFC=90°（①）.

WDC=^EFC（等量代换）.

配DUE/（同位角相等，两直线平行）.

002=@CZ?D（②）.

001=02（已知）.

m=^CBD（等量代换）.

回③—（内错角相等，两直线平行）.

00^WD+0ABC=18O°（已知），

团MDIIBC（④）.

^MDWGF（⑤）.

【题型7平行线的判定方法的综合运用】

【例7】（2022•广西贺州•七年级国末）如图，有下列条件：①，1=42；（2）Z34-Z4=180°；@Z5+Z6=

180°；④乙2=，3.其中，能判断直线allb的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【变式7-1］（2022•浙江台州•七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道42

是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不用判断两条直轨是否平行（）

铁轨

枕木

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【变式7・2】（2022•山西临汾•七年级期末）在下列图形中,已妇乙1=42,一定能推导出匕II%的是（）

【变式7-3】（2022・山东日照•七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DEIIBC的是（）

A.Z.1=Z.2B.Z.3=Z4C.z.5=Z.CD.乙B+乙BDE=180°

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】

【例8】（2022•吉林・大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形48C。中，〃DC+乙4"=180°,

Z.ADF+Z.AFD=90",点、E、尸分另lj在OC、A8上，KBE.。尸分另lj平分IM8C、E3AOC,岁lj断/£、。尸是

否平行，并说明理由.

AB

【变式8-1］（2022•江苏•扬州市邪江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整:

已知：如图，点E在A3上,且CE平分IMCO,回1=团2.求证：ABWCD.

证明：田CE平分财C。（已知），

002=0（）.

（2101=02（已知）,

0（211=0（）.

^ABWCD（）.

【变式8-2］（2022•辽宁沈阳•七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整

如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F,>01=02.幽8尸的角平分线BE交直线DG于点E,⑦BFG

的角平分线R7交直线AC于点C.

求证:BE||CF.

证明：001=02（已知）

EL4/?F=01（对顶角相等）

团BFGF2（）

酶A3F=（等量代换）

团BE平分财8尸（已知）

^EBF=-（）

2---------------------------------------------------

团尸。平分田BrG（已知）

团匕CFB=-（）

2--------------------

00EBF=

gBEIICF（）

【变式8-3］（2022•内蒙古•扎赞特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点G在C。上，已知zB4G+匕/lGD=

180u,区4平分N8AG,"G平分4AGC.请说明AX||GP.的理由.

解：因为/BAG+LAGD=180°（已知），

Z.AGC+^AGD=180°（）,

所以的G=^AGC（）.

因为E4平分

所以N1=\z-BAG{）.

因为FG平分乙4GC,

所以△2=：,

得，1=42（等量代换），

所以（）.

【题型9平行线判定的实际应用】

【例9】（2022•全国•七年级课时练习）如图，若将木条〃绕点。旋转后使其与木条〃平行，则旋转的最小

角度为（）

O150°

65°

b

A.65°B.85°C.95°D.115°

【变式9-1］（2022•河南•郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿A5进行折叠的方法

中，不一定能判断纸带两条边人互相平行的是（）

图1

A.如图1,展开后测得团1=团2B.如图2,展开后测得131=132且133=04

C.如图3,测得团1=团2D.在图4中，展开后测得团1+团2=180。

【变式9-2］（2022•全国•七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向

相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）

A.第一次向右拐40。,第二次向右拐140。.

B.第一次向右拐40。，第二次向左拐40。.

C.第一次向左拐40。，第二次向右拐140。.

D.第一次向右拐140。，第二次向左拐40。.

【变式9-3］（2022•江苏•南京外国语学校七年级期中）如图，n、b、c三根木棒钉在一起,41=70°,Z2=100°,

现将木棒〃、〃同时顺时针旋转一冏，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则

秒后木棒。，b平行.

2

1

专题5.1平行线的判定【九大题型】

【人教版】

【题型।对顶角的识别及其性质】...............................................................1

【题型2平行、垂直】..........................................................................2

【题型3平行公理及其推论】..................................................................20

【题型4同位角相等，两直线平行】............................................................23

【题型5内错角相等，两直线平行】............................................................25

【题型6同旁内角互补，两直线平行】..........................................................28

【题型7平行线的判定方法的综合运用】........................................................31

【题型8角平分线与平行线的判定综合运用】....................................................34

【题型9平行线判定的实际应用】..............................................................38

”勿注T三

【题型1对顶角的识别及其性质】

【例1】（2022•内蒙古呼伦贝尔•七年级期中）下列各图中，回1与回2是对顶角的是（）

【答案】C

【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可.

【详解】解：A、阳与膛的顶点不相同，故不是对顶角，此选项不符合题意;

B、团1与吃的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意；

C、团1与团2是对顶角，故此选项符合题意；

D、01与02的一边不是反向延长线，故不是对顶角，此选项不符合题意.

故选：c.

【点睛】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向

延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是熟练掌握定义，正确判断.

【变式1-1］（2022•广东•揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线48、CO相交于点。，0E平

分MOC,^EOC=^COB.

⑴图中的对顶角有对，它们是.

（2）图中互补的角有对，它们是.

⑶求I3E。。的度数.

【答案】（1）两；财。。和（38。。，（38OC和也4。。

（2）八；团40c和团BOC,财。。和M0。，团B0。和0400,团80。和回BOC,0A0石和团80E,团EOC和回E0。,

（3E0C和团石08,M0E和团EOO

⑶140°

【分析】（1）根据对顶角的定义，判断即可；

（2）根据补角的定义进行判断即可；

（3）根据。£平分同4OC,得出自EOC=0AOE,设回BOC=x,^EOC=^AOE=-xf列出关于工的方程，解

方程即可得出（3B0C的度数，再求出ODOE的度数，即可得出结杲.

（1）

解：图中的对顶角有：MOC和团BOO,0/OC和（MOO.

故答案为：两；0AOC和团BOO,团80c和西OO.

（2）

图中互补的角有：园4。。和团30C,团40。和财0。，回80。和财0。，团80。和团30C,团40E和gBOE,^EOC

和住EOD,

团。E平分团40C,

配L4。氏13C0E,

^OE+^BOE=18Q°,

团团CO£+08OE=18O°,

酿EOC和团EO8互补，

酿COE+0EOO=18O°,

(30AOE+{3EOD=18O°,

团财OE和(3EOD互补.

故答案为：八；财。C和国8OC,朋OC和MO力，团80。和财O。，回BOD和团80C,血4OE和(3B0E,0EOC

和田EO。，(3EOC和mE08,0AOE和团EOO.

(3)

团0E平分(M0C,

团团EOC=(HAO£,

设R80C=x,则回EOC=MOE="由平角定义得，

7X+TX+X=180°,

53

解得：x=100°

^EOC=^AOE=-(180°-100°)=40°,

2

国国。OE=100o+40°=140°,

答：回£0。的度数为140。.

【点睛】本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求

出B8OC的度数，是解题的关键.

【变式1-2](2021•山东•济南市钊城区实验学校期末)如图，直线A8,CO相交于点。，0EKD,。/平

分，4。。，若4力。0=50°.求Z_E。尸的度数.

【答案】65°

【分析】根据角平分线的定义可得团尸。历团40尸=地。。=25。，根据垂线的性质可得同E。。=90。，再进行解答

即可.

【详解】解：团0洋平分囱4。。=50°,

团团尸0。=财0尸=翅0。=25°,

回OE0C。，

00EOD=9O%

00EOF=0EOD-ara/>9Oo-25o=65o.

【点睛】本题主要考查了垂线的性质和角平分线的定义，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键.

【变式1-3](2022•辽宁・鞍山市第二中学七年级阶段练习)直线48,CO相交于点。，0E平分乙BOD,。尸平

分“0E.

(1)若4力。。=76。，Z-BOF=度.

(2)若乙8。5=36。，乙力。。的度数是多少？

【答案】⑴33

⑵凶OC的度数是72°

【分析】(1)根据对顶角、邻补用、角平分线的定义，求出团E。尸和(3EO8的度数，再根据角的和差即可得

(38OF的度数；

(2)根据对顶角、邻补角、角平分线的定义，先用mBOE的等式表示财0c，再根据角分线的定义，列出等

式即可求得结果.

(1)

•••Z.AOC=76°,

乙BOD=Z-AOC=76°,

•••0E平分48。。，

/BOE=LD0E=38°,

VZ.COE+Z-DOE=180°,

・••乙COE=180°-乙DOE=142°,

•••OF平分“OE,

•••/.EOF=乙COF=71°,

•••Z.BOF+乙BOE=乙EOF,

Z.BOF=乙EOF-乙BOE

=71°-38°

=33°

故答案为：33；

（2）

设乙4OC=x0,

乙BOD=/LAOC=x°,

•••OE平分乙BOD,

•••/BOE=zDOF=-x°,

2

vZ.COE+Z.DOE=180°,

Z.COE=180°-乙DOE=180°--x°,

2

•••0户平分”OE.

:"EOF="OF=1（180°-1xo）°,

vLBOV+乙BOE=乙EOF,乙BOF=36°

:.36。+#=：（180。一2。，

x=72°.

【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义，解题关键是观察图形分清楚哪两个角相等，哪些

角相加得180度.

【题型2平行、垂直】

【例2】（2022•福建・厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）加图，点A在直线//上，点从C在直线/2

上，A施伉ACW/八A8=4,BC=3,则下列说法正确的是（）

A1\

BC12

A.点A到直线/2的距离等于4

B.点C到直线//的距离等于4

C.点C.到AA的距离等于4

D.点8到AC的距离等于3

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案.

【详解】解：点A到直线匕的距离为48的长，等于4,故A正确；

点C到直线〃的距离为4c的长，大于4,故B错误；

点C到A8的距高为8c的长，等于3,故C错误；

同理，点8到AC的距离也不是3,故D错误，

故选：A

【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键.

【变式2-1］（2022•广西・钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（）

A.在同一平面内，a,b,c是直线,且a||b,b||c,则a||c

B.在同一平面内，Q,b,c是直线，且a1匕，b1c,则a_Lc

C.在同一平面内,a,b,c是直线，且a||b,bJLc,则a||c

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且，all-b||c则a1c

【答案】A

【分析】根据平行线的性质分析判断即可.

【详解】A.在同一平面内，a,/?,c是直线，且a||b,b||c,则a||c,故选项正确，符合题意.

B.在同一平面内，a,b,c是直线，且a_L匕，b1c,则。〃-故选项错误，不符合题意.

C.在同一平面内，a,b,c是直线，且a||b,b_Lc,则a_Lc,故选项错误，不符合题意.

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且，。怙*|忆则0〃的故选项错误，不符合题意.

故选:A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确分析判断是解题的关键.

【变式2-2］（2022•吉林・公土岭；陶家中学七年级阶段练习）如图，因为4311,BC工1,B为垂足，所以

和BC重合，其理由是（）

A

C

-----------=>----------/

B

A.两点确定一条直线

B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.垂直同一条直线的两条直线平行

D.垂线段最短

【答案】B

【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直〃，逐一分析，排除错误答案即可.

【详解】解：A.点A、C可以确定一条直线，但不可以确定三点B、A、C都在直线/的垂线上，故本选项错

误；

B.直线84、8c都经过一个点B,且都垂直于直线/,故本选项正确；

C.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知宜线垂直，故本选项错误；

D.此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；

故选:B.

【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定•条直线、垂线段最短，熟练掌握和运用各定义和性质是解决

本题的关键.

【变式2-3］（2022•江苏•九年级）如图，点4、点8是直线/上两点，4B=10,点M在直线/外，MB=6,

M4=8,MMB=90。，若点P为直线/上一动点，连接MP,则线段MP的最小值是.

【答案】4.8

【分析】根据垂线段最短可知：当M限48时，有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解的最

小值.

【详解】解：当MPaAB时，MP有最小值，

BAB=10,MB=6,MA=8,^AMB=9Q°,

0A8・MP=AM・8M,

即10A/P=6x8,

解得M尸=4.8.

故答案为：4.8.

【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的2点位置是解题的关键.

【知识点平行线的判定】

1.平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

2.平行线的判定方法

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）.

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.（内错角相等，两直线平行.

③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）

【题型3平行公理及其推论】

【例3】（2022•江西上饶•七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a_Lb,blc,cld,则下列式子成

立的是（）

A.a\\dB.bldC.aidD.b\\c

【答案】C

【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证allc,再结合cld,可证aid.

【详解】解：Q1b,b1c,

0a||c,

0c1d,

0a1d,

故选:C.

【点睛】本题主要考查了平行线及垂线的性质，解题的关键是掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条

直线平行.

【变式3・1】（2022•河南漂河•七年级期末）如图,工人师傅用角尺画出工件边缘A8的垂线。和b,得到a||3

理由是（）

A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】B

【分析】三条直线A8、a、6位于同•平面内，且直线。与直线人都垂直于AB,即可根据在同•平面内，

垂直于同一条直线的两条直线互相平行的性质来判断出可〃.

【详解】图直线A8、。、〃位于同一平面内，且ABB。、AB^b

加怙（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

故答案为B.

【点睛】本题考查了平行线判定的性质，根据已知题目反应出两条直线是同一平面内，且同时垂宜于一条

直线是本题的关键.

【变式3-2］（2022・湖北武汉•七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角：③〃，b,

c是同一平面内的三条直线，若d/b,b//c,则a//c；④。，b,c是同一平面内的三条直线，若a工b,

blc,则〃_1_。；其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据平行线性质可判断①，根据两锐角的大小求和可判断②，根据平行公理推论可判断③，根

据垂直定义得出团1=团2=90。，然后利用同位角相等，两直线平行的判定可判断④.

【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故①不正确；

②两个锐角的和可以是锐角，直角，钝角，故②不正确；

③a,b,。是同一平面内的三条直线，若加力，b//c,则a〃c,故③正确；

④a,b,c是同一平面内的三条直线，如图

^aLb,bA.c,

001=90°,02=90°,

001=02

0c,故④不正确；

回真命题只有1个.

故选A

【点睛】本题考查平行线的性质与判定，两锐角和的大小，掌握平行线的性质与判定，锐角定义是解题关

键.

【变式3-3］（2022•四川•甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图，ABWCD,如果乙1=匕2,那么E尸与

平行吗？说说你的理由.解：因为乙1=/2,

所以II.（）

又因为4例|。。,

所以4BIIEF.（）

【答案】CDIIE/;内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行

【分析】根据平行线的判定定理完成填空即可求解.

【详解】解：因为41=匕2,

所以CQIIE尸.（内错角相等，两直线平行）

又因为力例ICD,

所以力BIIEF.（平行于同一直线的两条直线平行）

【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理，掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【题型4同位角相等，两直线平行】

[例4]（2022•甘肃・陇南育才学校七年级期末）如图，AB1MN,垂足为B,CD1MN,垂足为。,Z1=Z2.在

下面括号中填上理由.

因为481MN,CD1MN,

所以448M="DM=90°.

又因为匕1=乙2（）,

所以4ABM-=-Z2（）,

^LEBM=Z.FDM.

所以E8||FD（）

【答案】已知等量减等量，差相等同位角相等，两直线平行

【分析】根据垂线的定义，得出NABM=2COM=90。，再根据集的等量关系，得出乙EBM=4FDM,然后再

根据同位角相等，两直线平行，得出mD,最后根据解题过程的理由填写即可.

【详解】因为AB1MN,CD1MN,

所以乙48M=iCDM=90°.

又因为/1=42（已知），

所以N48M-41=NCDM—42（等量减等量，差相等），

即

所以尸O（同位角相等，两直线平行）.

【点睛】本题考查了垂线的定义、平行线的判定，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理.

【变式4-1]（2022・湖北•靳春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画已知直线的平行

线的方法叫"推平行线”法，其依据是.

【答案】同位角相等，两直线平行

【分析】作图时保持131=（32,根据同位角相等，两直线平行即可画出已知直线的平行线.

【洋解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线'‘法，其依据是：同位角相等，两直线平

行.

故答案为：同位角相等，两直线平行.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理，解决本题的关键是掌握平行线的判定和性质.

【变式4-2］（2022•山东泰安•七年级期末）如图，ABIBC,Zl+Z.2=90%42=43.请说明线段8E与

。产的位置关系？为什么？

【答案】NEH力兄见解析

【分析】由已知推出圉3+回4=90°,利用乙1+/2=90°,Z.2=Z3,得到囹1=回4,即可得到结论班||。兄

【详解】解:BEWDF,

胤4B1BC,

蚓8c=90°,

003+04=90°,

0Z1+Z2=90°,ZZ=Z3,

SBEHDF.

【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键.

【变式4-3］（2022•北京东城•七色级期末）如图，直线2与直线4B,CD分别交于点E,F,乙1是它的补角的

3倍，41—22=90。.判断AB与CD的位置关系，并说明理由.

【答案】力AIIC〃；理由见解析

【分析】先根据补角的定义求出N1的度数，然后求出回CFE和吃的度数，最后根据平行线的判定进行解答

即可.

【详解】解：AB||CD；理由如下:

团乙1是它的补角的3倍，

团设乙1=访则乙1的补角为“，

团a+：a=180°,

解得：a=135%

0Z1=135°,

0ZCFE=180°-zl=45°,

azl-Z2=90°,

团42=-90。=45。，

0Z2=乙CFE=45°,

团力BIICD.

【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出42=ZC/E=45。，是解题的关键.

【题型5内错角相等，两直线平行】

【例5】（2022・山东•曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线。七上，于A,（31与（3C互

余，力石和平行吗？若平行，请说明理由.

【分析】由垂吏定义可得（35AC=90°,根据平角定义得O1+E1BAC+团CAE=180。，即可得出吼+0CAE=90。，由（31

与叵C互余，根据余角的性质即可得出I3C4氏团C,根据平行线的判定定理即可得出结论.

【详解】解：平行，理由如下：

^AB^AC,

00MC=9O°,

001+05AC+0CAE=18O°,

001+0C/1E=9OO,

（3阳与（3C互余，即团l+@C=90°,

00CAE=0C,

0DEHBC.

【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【变式5-1］（2022•北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知41=75。，Z2=35°,/=40°,求证:

a\\b.

【答案】见解析

【分析】先根据三角形内角和性质，求得乙4=75。，再根据乙1=75。，即可得到乙1=24,进而判定allb.

【详解】证明：如下图：

vZ4=Z.3+Z.2=75°,

又••・N1=75°,

•••zl=Z.4,

：,a\\b.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行.

【变式5-2]（2022•福建•莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，C尸是8c外角乙4cM的平分线，

匕4。8=40°,z/l=70o,求证：ABWCF.

【答案】证明见解析

【分析】由角平分线的定义及补角的定义可求得44CE的度数，即可得=进而可证明结论.

【详解】证明:EUACB=40°,

0Z4CM=18O0-4OO=14O°,

团C》是△ABC夕卜角乙4cM的平分线，

团NX44CM=70。，

（34=70。，

^A=z.ACF=70°t

^ABWCF.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义、三角形外角的性质和平行线的判定，证得44=4力。/是解题的关键.

【变式5-3]（2022•辽宁•阜新市第十中学七年级期中）如I图，ABWDE,团1=0AC8,（3C人成扣BW,试说明

【分析】根据平行线的性质得团84C=（31,等量代换得mACB/BAC,根据乙。48可得MCB/OAC,

即可得.

【详解】证明：财团IDE,

酿8AoeII,

001=0ACB,

^ACB=^BAC,

0ZC/1F乙BA。，

00ACS=0DAC,

（34DII8C.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质.

【题型6同旁内角互补，两直线平行】

【例6】（2022•河北衡水•七年级阶段练习）已知：z/1=ZC=120°,AAEF=Z.CEF=60°,求证：AB\\CD.

BA

F，七

DC

【答案】见解析

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，再根据平行于同一条直线的两条直线平行即可证明结论.

【详解】证明：•••Z-A=Z.C=120。，Z-AEF=tCEF=60°,

:.Z.A+Z.AEF=180°,Z-C+乙CEF=180°,

AB||EF,CD||EF,

:.AB||CD.

【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定.

【变式6-1]（2022•西藏昂仁县中学七年级期中）如图，回。。=20。，鲂=70°,A属L4C,求证：AD\\BC.

【答案】见解析

【分析】根据问旁内角互补，两直线平行证明即可.

【详解】解：财砥4。，

00/MC=9O0,

团团CAQ=200,团4=70°,

005+0BAD=7Oo+9Oo+2Oo=18O°,

^ADWBC.

【点睛】本题考查平行线的判定、垂直定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键.

【变式6-2](2022•甘肃•平凉市第七中学七年级期中)如图，=30°,=60°,AB1AC.

(1)ZD48+NB等于多少度？

(2)人/)与平行吗？请说明理由.

【答案】⑴毗)八〃+团4=180°

(2)AD||BC；理由见解析

【分析】(1)由己知可求得回D4B=120。，从而可求得团D4B+13B=18O°；

(2)根据同旁内角互补两直线平行可得ADIIBC.

(1)

解：M的4C,

00^C=9O°.

又即)1=30°,

(U0/MZJ=12OO,

00£?=60°,

回回。A8+S8=180°.

(2)

解:ADIIBC.理由如下:

团团7X48+08=180°,

^AD||BC.

【点睛】本题主要考行了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握向旁内角互补，两直线平行.

【变式6-3](2022•北京市第五中学分校七年级期末)如图，已知点石在8c上，8D0AC,EF^AC,垂足分

别为O,F,点、M,G在A3上，GF交BD于点H,团创〃)@80=180。，01=02,求证：MD1GF.

A

下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据.

证明：盟“期LAC,£7®4C,

00/?DC=9O0,0EFC=90°（①）.

国目BDC=®EFC（等量代换）.

团8DIIE/（同位角相等，两直线平行）.

002=0CZ?D（（2））.

001=02（已知）.

001=（3CBD（等量代换）.

回③—（内错角相等，两直线平行）.

WBMD+SlAffC=180°（已知），

团MDIIBC（④）.

^MDWGF（⑤）.

【答案】垂直的定义；两直线平行，同位角相等；G距8c同旁内角互补，两直线平行；平行于同•直线

的两直线平行.

【分析】根据垂直定义得出（3BOC=[3EFC,根据平行线的判定推出8Q0EF,根据平行线的性质得出13c80=

02,求出团CBQ=mi,根据平行线的判定得出GF13MZ）即可.

【详解】证明：团BZ）a4C,EF^AC,

00^DC=9O°,同石/C=90°（垂直的定义）.

WDC=^EFC（等量代换）.

回5/龙£尸（同位角相等，两直线平行）.

002=0CBD（两直线平行，同位角相等）.

001=02（已知）.

001=0CBD（等量代换）.

团G丽BC（内错角相等，两直线平行）.

能18MQ+团48c=180°（已知），

回MD08C（同旁内角互补，两直线平行）.

0/WD3GF（平行于同一直线的两直线平行）.

故答案为：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；GR38C；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直

线的两直线平行.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

【题型7平行线的判定方法的综合运用】

【例7】（2022•广西贺州•七年级期末）如图，有下列条件：@zl=z2：@Z3+z4=180°；@z5+z6=

180°；@Z2=Z3.其中，能判断直线allb的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.依据平行线

的判定方法即可得出结论.

【详解】解：①由自1=回2,可得可俗；

②由团3+04=180°,可得川|〃；

③由加+06=180。，03+06=180°,可得（35=（33,即可得到。|仍；

④由132=133,不能得到川I岳

故能判断直线〃怙的有3个，

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键.

【变式7-1］（2022•浙江台州•七年级期末）在铺设快轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道42

是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不用判断两条直轨是否平行（）

铁轨

枕木

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】因为团2是直角，只要找出与a互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据平行线的判定定

理判定即可得到正确答案.

【详解】因为伺2是直角，回4和E2是同位角，如果度量出44二90°,

根据“同位角相等，两直线平行〃，就可以判断两条直轨平行，

团5和团2是内错角，如果度量出乙5=90°,

根据“内错角相等，两直线平行〃，就可以判断两条直轨平行，

团3和团2是同旁内角，如果度量出43二90°,

根据“同旁内角互补，两直线平行"，就可以判断两条直轨平行，

所以答案为：A.

【点睛】本题考查两直线平行的判定定理，解决本题的关键是熟练的掌握平行线的判定定理.

【变式7-2]（2022♦山西临汾•七年级期末）在下列图形中，已知乙1二42,一定能推导出。。的是（）

【答案】D

【分析】根据邻补角的定义，对顶角相等和平行线的判定定理即可求解.

【详解】解：A.如图，

2

zl=z2,41+43=180°,

z2+z3=180°,

，不能推导出II，2，不符合题意；

B.如图，

Vzl=42,z.1+43=180°,

•­•z2+z.3=100°,

•••不能推导出。||，2,不符合题意；

C.如图，

*1

•••zl=z2,zl4-Z3=180°,

•••Z24-Z.3=180%

二不能推导出，1II%，不符合题意：

D.如图，

zl=z2,zl=z.3>

:，z2=z3,

••・一定能推导出。|“2，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的判定,关键是熟悉同位角相等，两直线平行:内错角相等，两直线平行；同

旁内角互补，两直线平行的知识点.

【变式7-3]（2022•山东Fl照•七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定CEIIBC的是（）

A.41=42B.43=Z4C.45=乙CD.乙B+Z.BDE=180°

【答案】B

【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可.

【详解】因为N1=N2,

所以DEII8C,

故A不符合题意；

因为43=44,

不能判断OEIIBC,

故B符合题意；

因为45=Z.C,

所以DEII8C,

故C不符合题意；

因为4B+NB