微分方程(罗兆富等编)第二章-初等积分法

第二章初等积分法第一节可分离变量方程第二节一阶线性方程第三节全微分方程积分因子第四节一阶隐式方程第五节某些可降阶的方程第六节初值问题解的存在唯一性定理、奇解、包络所谓初等积分法,是指能把常微分方程的求解问题转化为积分问题去解决,且其解能用初等函数或它们的积分来表达的方法.在常微分方程发展的早期,由牛顿、莱布尼兹、欧拉和伯努利兄弟等人发展起来的这些方法与技巧,构成了本章的中心内容.初等积分法所能求解的一阶常微分方程的类型是极其有限的,这些类型是:可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程和某些隐式方程,其中齐次方程可通过变量替换化成可分离变量方程求解.初等积分法所能求解的一阶常微分方程的类型是极其有限的,这些类型是:可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程和某些隐式方程,其中齐次方程可通过变量替换化成可分离变量方程求解.可分离变量方程齐次方程一阶线性方程一阶隐式方程第一节可分离变量方程一、可分离变量方程及其解法

一个常微分方程称为可分离变量的,如果通过纯代数的变形,就可将方程的自变量和未知函数分别放在方程的两端.对应的求解方程的方法称为分离变量法.根据这个定义,若一阶常微分方程可以写成(2.1.01)则它是一个可分离变量的方程.第一节可分离变量方程一、可分离变量方程及其解法

一个常微分方程称为可分离变量的,如果通过纯代数的变形,就可将方程的自变量和未知函数分别放在方程的两端.对应的求解方程的方法称为分离变量法.若微分形式的常微分方程

可以写成(2.1.02)则它也是一个可分离变量的方程.可分离变量方程的例子:(1)可分离变量方程(2.1.01)的解法(2.1.01)当时,方程(2.1.01)可写成通积分或通解.若存在y=y0使得则显然y=y0是方程(2.1.01)的特解,它可能包含在通解中,也可能不包含在通解中.

这样的特解和通解就构成方程(2.1.01)的全部解.(2)可分离变量方程(2.1.02)的解法(2.1.02)当时,方程(2.1.01)可写成通积分或通解.若存在y=y0使得N1(y0)=0,则显然y=y0是方程(2.1.02)的特解.

这样的特解和通解就构成方程(2.1.02)的全部解.这些特解可能包含在通解中,也可能不包含在通解中.若存在x=x0使得M2(x0)=0,则显然x=x0是方程(2.1.02)的另一个特解.为求初值问题的解,须首先求出方程的通解或然后将初始条件代入通解或解得从而得到初值问题的特解:或Q.E.F.例1.求解常微分方程解:

将方程分离变量,得两端积分,得因而,通解为是任意常数.Q.E.F.例2.求解常微分方程解:

将方程分离变量,得两端积分,因而,通解为C是任意常数.Q.E.F.例3.求解常微分方程解:

当x≠±1,y≠±1,将方程分离变量,并积分

显见,x=±1,y=±1也是方程的解,它们可由取C=0得到,故方程的全部解为C是任意常数.通解！Q.E.F.例4.求解常微分方程解:

当x(y2-1)≠0,将方程分离变量,并积分

显见,x=0,y=±1也是方程的解,y=±1可由取C=0得到,故方程的全部解为C是任意常数.通解！例5.求解马尔萨斯模型(见第0章第二节)解:

将方程分离变量,并积分所以马尔萨斯模型的解为Q.E.F.例6.求解逻辑斯蒂克模型(见第0章第二节)解:

将方程分离变量,并积分所以逻辑斯蒂克模型的解为Q.E.F.二、第一类可化成可分离变量的方程:齐次方程若一阶常微分方程可以写成则称其为齐次方程.直观上,若方程

中右端的每一项的分子分母中各项同次,且分子分母同次,则它是齐次方程;若方程的M(x,y),N(x,y)中各项同次,则它是齐次方程.因此,方程都是齐次方程;而方程不是齐次方程.下面我们说明齐次方程

的解法.作变换则y=xu,从而

代入方程变形,得这是一个可分离变量的方程,设其通解为将变换代入,就得到原方程的通解再例7.求解常微分方程解:

将方程化成这是一个齐次方程.作变换则y=xu,从而

代入方程通解!

由u=n

,方程还有解:y=n

x,n=0,±1,±2,…包含在通解中!故其全部解为■

例8.求解常微分方程解:

将方程化成这是一个齐次方程.作变换则y=xu,从而

代入方程Q.E.F.通解!

例9.求解常微分方程解:

将方程化成这是一个齐次方程.作变换则y=xu,从而

代入方程■通解:

此外,由u=±1,方程还有解:y=±x,

不包含在通解中!例10.求解常微分方程解:

将方程化成这是一个齐次方程.作变换则x=yu,从而

代入方程通解!

■三、第二类可化成可分离变量的方程

形如的方程是可通过变量替换化成可分离变量的第二类方程,其中所有a,b,c都是常数,且a2,b2不同时为零.我们分三种情况讨论.

(2.1.07)(1)常数项c1,c2都等于零.则(2.1.07)简化成这是一个齐次方程.(2)常数项c1,c2不全等于零.

(2.1.07)若即这时我们通过坐标平移来将常数项化成零.为此,令其中α,β是待定常数.这时有将上式代入(2.1.07),得

齐次方程!ifHowtoselectα,βsuchthattheEQholds?

(2.1.07)其中α,β是待定常数.这时有将上式代入(2.1.07),得

齐次方程!ifHowtoselectα,βsuchthattheEQholds?

Solvingtheequations(3)常数项c1,c2不全等于零.

(2.1.07)若即则有

代入(2.1.07),得

可分离变量方程!这时令这个等式等于常数λ,令例11.求解常微分方程解:

因为解方程组作变换方程化成代入方程,得齐次方程!作变换代入方程,得齐次方程!作变换则y=xu,从而

作变换则

从而

代入方程作变换则

从而

代入方程integrate通解!

此外,由u=1,u=2,知也是方程的解!

Q.E.F.例12.求解常微分方程解:

令代入方程,得integrate通解:

Q.E.F.课堂练习.求解常微分方程提示:

令通解:

■启发!

令

作为本节的结尾,我们还要加以说明的是,上述解题方法和步骤也适用于更一般的常微分方程类型.例如,方程都可通过适当的变量变换化成可分离变量的方程.例3.求解常微分方程解:

令通解:

■例14.求解常微分方程解:

令【分析】■本节结束！(2.2.01)第二节一阶线性方程

一、一阶线性方程及其解法

1.一阶线性方程的通解形如的常微分方程称为一阶线性方程.我们假定,系数P(x)和自由项Q(x)在所考虑的区间上都是连续的.若自由项Q(x)不恒为零,则称(2.2.01)为非齐次线性方程,将(2.2.01)的右端改写成零而成为(2.2.02)称(2.2.02)为(2.2.01)对应的齐次线性方程.

为求一阶线性方程(2.2.01)的解,先考虑对应的齐次线性方程(2.2.02)其中C是任意常数.常数变易法!

(2.2.01)常数变易法!

(2.2.01)非齐次线性方程(2.2.01)的通解为齐次线性方程的通解非齐次线性方程特解例1.求常微分方程解:

将方程改写成的通解.解法一:常数变易法求对应的齐次线性方程的通解.常数变易通解!

代入通解例1.求常微分方程解:

将方程改写成的通解.解法二:公式法Q.E.F.例2.求常微分方程解:

的通解.

这个方程初一看不是线性方程,但经过仔细观察发现,如果我们将y视为自变量而将x视为未知函数,则方程就是一个一阶线性方程

所以方程的通解为Q.E.F.2.一阶线性方程的初值问题

为了求解初值问题(2.2.07)求解对应的齐次线性方程的初值问题常数变易特解:

例3.设函数f(x)在[0,+∞)上连续且有界,试证明:方程证明:

的所有解均在[0,+∞)上有界.设y=y(x)为方程的任一解,它满足初始值条件于是,由求解公式,它可以表示为设当时,所以当时,所以y(x)在[0,+∞)上有界.Q.E.D.例4.求解微观动态市场模型(见第0章第一节)解:

利用公式,方程的通解为所以初值问题的解为Q.E.F.二、伯努利方程形如(2.2.11)的方程,称为伯努利(Bernoulli)方程.非线性微分方程一阶线性微分方程通解:

例5.求常微分方程解:

的通解.Q.E.F.这是一个伯努利方程,且n=2.

于是方程的通解为例6.求常微分方程解:

将方程改写成的通解.这是一个伯努利方程,且n=3.于是方程的通解为Q.E.F.三、里卡蒂方程若一阶微常微分方程的右端函数f(x,y)是一个关于y的二次多项式(2.2.14)则通常称其为里卡蒂方程(Riccatiequation).P(x),Q(x)和R(x)都在某区间I上连续,且P(x)≠0.一译“黎卡提”其中函数里卡蒂方程是形式上最简单的非线性方程,它已不能用初等积分法求解,但是我们有下面的结论.定理2.1若已知里卡蒂方程(2.2.14)有一个特解y=g(x),则可用积分法求得它的通解.证明:因y=g(x是里卡蒂方程(2.2.14)的一个特解,故作变换

其中u是新的未知函数,将其代入里卡蒂方程(2.2.14),得到这是一个伯努利方程,可以用初等积分法求出通解.Q.E.D.例6.求常微分方程解:

将方程改写成的通解.这是一个里卡蒂方程.对这个方程的观察可猜测,它应具有形如的特解.取正号,得特解作变换伯努利方程!

伯努利方程!

所以所以原方程的通解为Q.E.F.设里卡蒂方程为定理2.2(2.2.16)其中a,b,m都是常数,且a≠0.又设x≠0,y≠0,则当时,黎卡提方程可通过适当变换化成变量可分离的方程.证明大意:不妨设a=1(否则用变换t=ax即可),这时

方程为(1)m=0,方程(2.2.18)是一个分离变量方程(2.2.18)(2)m=-2,方程(2.2.18)成为即(k=1,2,...)(2.2.17)设里卡蒂方程为定理2.2(2.2.16)其中a,b,m都是常数,且a≠0.(k=1,2,...)又设x≠0,y≠0,则当时,黎卡提方程可通过适当变换化成变量可分离的方程.(2)m=-2,方程(2.2.18)成为即(2.2.18)可分离变量方程!(2.2.17)设里卡蒂方程为定理2.2(2.2.16)其中a,b,m都是常数,且a≠0.又设x≠0,y≠0,则当时,黎卡提方程可通过适当变换化成变量可分离的方程.(2.2.18)(3)作变换则方程(2.2.18)化成Q.E.D.(k=1,2,...)(2.2.17)定理2.2是由JohannBernoulli之子DanielBernoulli在1725年建立的.这个定理指出,对于里卡蒂方程(2.2.16)能用初等积分法求解,条件(2.2.17)是充分的.时隔一百多年之后,刘维尔在1841年证明了条件(2.2.17)还是一个必要条件.刘维尔的这一工作,在常微分方程的发展史上具有重要的意义.在此之前,人们把主要注意力放在常微分方程的(初等积分法)求解上,而刘维尔的研究结果表明,即即形式上很简单的里卡蒂方程(例如注记:

一般也不能用初等积分法求解.

令人感到惊奇的是,近30年来,里卡蒂方程(或变体的里卡蒂方程)的解还可用来构造非线性演化方程的孤立子解.注记:具体作法是:or求出各ai

孤立子解、周期解本节结束！(2.3.01)一、全微分方程设微分形式的一阶方程的系数函数M(x,y),N(x,y)在某矩形区域内连续,且一阶连续可微.若方程(2.3.01)的左端恰好是某一个二元函数U(x,y)的全微分,(2.3.02)则称(2.3.01)是全微分方程或恰当方程,第三节全微分方程积分因子即这时(2.3.03)而函数U(x,y)称为微分式(2.3.02)的原函数.

容易证明,若U(x,y)是一个原函数,则全微分方程(2.3.01)的通解就是(2.3.04)其中C是任意常数.所以求解全微分方程的关键就是求原函数的问题.现在的问题是:(1)如何判断方程(2.3.01)是全微分方程？(2)若(2.3.01)是全微分方程,怎样求解?

(3)若(2.3.01)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?下面我们首先回答前两个问题.定理2.3

微分形式的一阶方程(2.3.01)是全微分方程的充要条件是(2.3.05)证明:必要性

设方程(2.3.01)是全微分方程,则存在原函数U(x,y),使得(2.3.03)成立,(2.3.01)(2.3.03)将(2.3.03)的第一式关于y求导,第二式关于x求导,得(2.3.06)关于x求导,得连续连续下面我们首先回答前两个问题.定理2.3

微分形式的一阶方程(2.3.01)是全微分方程的充要条件是(2.3.05)证明:充分性设条件(2.3.05)成立,要证明(2.3.01)是全微分方程,只须证明存在原函数U(x,y),使得(2.3.02)或(2.3.03)成立即可.(2.3.01)(2.3.03)只要求出即可.

由此得到原函数U(x,y),从而充分性得证!Q.E.D.

我们不仅完成了定理的证明,还给出了具体求全微分方程的通解的方法与步骤:(1)判断(2.3.01)是否是全微分方程.若是,进入下一步;(2)求(3)由求出这样就求出了原函数U(x,y),也就求出了全微分方程的解.例1.求常微分方程的通解解:

所以所给方程是全微分方程.从出发,有其中为待定函数,再利用有其中为待定函数,再利用有所以方程的通解为Q.E.F.往往在判断方程是全微分方程后,并不需要按照上述一般方法来求解,而是采用“分项组合”的方法,先将那些本身已构成全微分的那些项分出,再将剩下的项凑成全微分.这种方法常称为分项组合法,其优点是计算相对简单.当然,这种方法要求熟记一些简单二元函数的全微分.例如例2.求常微分方程的通解解:

所以所给方程是全微分方程.将方程重新分组,得所以方程的通解为Q.E.F.例3.求常微分方程的通解解:

所以所给方程是全微分方程.将方程重新分组,得所以方程的通解为Q.E.F.二、积分因子全微分方程通过积分很容易求出它的通解,但(2.3.01)未必是一个全微分方程.因此,若能将(2.3.01)化成全微分方程就有很大的意义.所以,引进积分因子的概念就成为必要的了.若存在这样的连续可微函数使方程

(2.3.09)成为全微分方程,即存在原函数V(x,y),使

(2.3.10)则称为方程(2.3.01)的一个积分因子.这时是(2.3.09)的通解,因而也是方程(2.3.01)的通解.下面就来研究求积分因子的方法.方程是全微分方程解此偏微分方程,困难!特殊情形:积分积分因子!积分积分因子!积分积分因子!积分积分因子!结论1.

方程(2.3.01)存在只与x有关的积分因子的充要条件是只与x有关,且此时积分因子积分积分因子!积分积分因子!结论2.

方程(2.3.01)存在只与y有关的积分因子的充要条件是只与y有关,且此时积分因子例4.求方程的通解.解:

所以所给方程不是全微分方程.注意到所以所以方程有积分因子将方程两端乘以积分因子,就得到全微分方程例4.求方程的通解.将方程两端乘以积分因子,就得到全微分方程Q.E.F.通解:

例5.求方程的通解.解:

所以所给方程不是全微分方程.注意到所以所以方程有积分因子将方程两端乘以积分因子,就得到全微分方程例5.求方程的通解.将方程两端乘以积分因子,就得到全微分方程Q.E.F.通解:

例6.求方程的通解.解:

所以所给方程不是全微分方程.注意到所以所以方程有积分因子将方程两端乘以积分因子,就得到全微分方程例6.求方程的通解.将方程两端乘以积分因子,就得到全微分方程Q.E.F.通解:

前面例题中的积分因子或是x的函数或是y的函数这种特殊类型的积分因子,若方程只有同时是x,y的二元函数这种一般积分因子,如何求出它呢？令人十分遗憾,没有一般的方法.但我们不是一点办法也没有,也有接近于求它的手段,这就是“分组求积分因子法”,其理论基础就是下面的定理2.4若是方程(2.3.01)的一个积分因子,使得则也是方程(2.3.01)的一个积分因子,其中是任一可微非零函数.证明:略.下面就是对分组求积分因子法的一般作法.设方程(2.3.01)的左端可以分成两组,即其中第一组有积分因子:第二组有积分因子:使得由定理2.4,对任意非零的可微函数有结论是第一组的积分因子,是第二组的积分因子.如果能适当选取使得则就是方程(2.3.01)的一个积分因子.例7.求方程的通解.解:

所以所给方程不是全微分方程.注意到所以所以方程没有特殊类型的积分因子或例7.求方程的通解.解:

为求出方程的一般积分因子,我们将方程分组第一组积分因子积分因子积分因子1第一组积分因子寻找适当的函数使得取取从而得到原方程的积分因子例7.求方程的通解.解:

为求出方程的一般积分因子,我们将方程分组乘以积分因子从而得到原方程的积分因子所以方程的通解为Q.E.F.有时,方程分组后,有些组的积分因子是通过观察和猜测得到的,这就要求读者多做练习题,积累经验.一般而言,下列形式的函数可作为备选积分因子的参考:此外,若是齐次方程,则函数是一个积分因子.例8.求方程的通解.解:

这是一个齐次方程,所以有积分因子乘以积分因子所以方程的通解为Q.E.F.本节结束！(2.4.01)第四节一阶隐式方程前面几节介绍的是求解显式方程些初等积分法.的一些

当导数不能解出或解出后的显示方程表达式很复杂时,就要求我们直接研究隐式方程的解法.类型I.隐式方程(2.4.01)不显含x或y,这时写成(2.4.02)或(2.4.03)类型II.隐式方程(2.4.01)显含x和y,并且可解出y或x:

(2.4.04)或(2.4.05)(2.4.01)第四节一阶隐式方程前面几节介绍的是求解显式方程些初等积分法.的一些

当导数不能解出或解出后的显示方程表达式很复杂时,就要求我们直接研究隐式方程的解法.

设隐式方程(2.4.01)有解y=g(x),则y=g(x)表示平面上的曲线(即积分曲线),因此它可用参数表示为(2.4.06)开、闭区间,也可以是无穷区间想法?!

设隐式方程(2.4.01)有解y=g(x),则y=g(x)表示平面上的曲线(即积分曲线),因此它可用参数表示为(2.4.06)开、闭区间,也可以是无穷区间想法?!

既然隐式方程(2.4.01)的解可用参数方程表示,那么我们的想法是:是否可用参数方程直接表示隐式方程(2.4.01)的解呢?

ThisisaYesorNoquestion.参数法!所谓参数法,就是在隐式方程(2.4.01)中当y′解不出来时,先把方程(2.4.01)化成等价的参数形式,然后根据某种恒等式,可以求出其参数形式的解.根据不同的类型,我们具体叙述其作法如下:(1)首先考虑类型I的隐式方程(2.4.02)引入变换由于只须求出参数形式的解,所以根据方程(2.4.02)求出另一支参数表示

即可.于是得到方程(2.4.02)的参数表示的通解关键(2)首先考虑类型I的隐式方程(2.4.03)引入变换由于只须求出参数形式的解,所以根据方程(2.4.03)求出另一支参数表示

即可.于是得到方程(2.4.03)的参数表示的通解关键例1.求常微分方程解:

的通解.Q.E.F.这是一个不显含x的一阶隐式方程.为了引入变换通过观察发现,令方程的通解例1.求常微分方程解:

的通解.Q.E.F.这是一个不显含x的一阶隐式方程.为了引入变换通过观察发现,令方程的通解例2.求常微分方程解:

的通解.Q.E.F.这是一个不显含y的一阶隐式方程.为了引入变换通过观察发现,令方程的通解例3.求解最速降线模型解:

Q.E.F.这是一个不显含x的一阶隐式方程.为了引入变换通过观察发现,令方程的通解所以模型的解最速降线问题注记:历史背景:1696年,瑞士著名数学家约翰·伯努利(JohannBernoulli)在《教师报》上发表了一封写给他哥哥雅各布·伯努利(JacobBernoulli)的公开信,在这封信中他提出了一个著名的难题——“最速降线问题”.此信的发表轰动了欧洲,引起了数学家的极大兴趣.后来此问题被牛顿、莱布尼兹和伯努利兄弟等人所解决,从而产生了一门应用极为广泛的学科——变分法.

问题:

设A和B是铅直平面上不在同一直线上的两点,在所有连接A,B的平面曲线中,求出一条曲线,使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所用的时间最短(介质的摩擦力和阻力忽略不计).如图,选取A为铅直平面直角坐标系的原点,x轴为水平轴,y轴正向铅直向下.显然,最速降线应在这个平面内.圆滚线(摆线)方程!这说明,最速降线就是圆滚线:它是半径为a的圆沿x轴滚动时,圆周上一定点的轨迹.例4.求常微分方程解:

的通解.Q.E.F.这是一个不显含x的一阶隐式方程.为了引入变换通过观察发现,令方程的通解常数!(3)首先考虑类型II的隐式方程(2.4.04)引入变换关于x求导

这是一个关于x和p的显示方程!隐式方程的通解(4)首先考虑类型II的隐式方程(2.4.05)引入变换关于y求导

这是一个关于y和p的显示方程!隐式方程的通解例5.求常微分方程解:

的通解.这个方程已解出y,令代入方程,得特解!通解!Q.E.F.例6.求常微分方程解:

的通解.从方程中解出x,得关于y求导例6.求常微分方程解:

的通解.从方程中解出x,得方程特解:Q.E.F.方程通解:例7.求解克莱洛方程(ClairantEquation):解:

方程是其中是二次可微函数且形式的方程.令则关于x求导

特解!通解!Q.E.F.例7.求解克莱洛方程(ClairantEquation):其中是二次可微函数且克莱洛方程结论:特解:通解:例:克莱洛方程,特解:通解:解出p=p(x)代入例7.求解克莱洛方程(ClairantEquation):其中是二次可微函数且克莱洛方程结论:特解:通解:例:克莱洛方程,特解:通解:解出p=p(x)代入例7.求解克莱洛方程(ClairantEquation):其中是二次可微函数且克莱洛方程结论:特解:通解:例:克莱洛方程,特解:通解:?解出p=p(x)代入例7.求解克莱洛方程(ClairantEquation):其中是二次可微函数且克莱洛方程结论:特解:通解:例:克莱洛方程,特解:通解:?解出p=p(x)代入例7.求解克莱洛方程(ClairantEquation):其中是二次可微函数且克莱洛方程结论:特解:通解:例:?常数令克莱洛方程,解出p=p(x)代入例7.求解克莱洛方程(ClairantEquation):其中是二次可微函数且克莱洛方程结论:特解:通解:例:?常数令克莱洛方程,特解:通解:解出p=p(x)代入本节结束！

本节介绍几种特殊类型的的高阶常微分方程的解法,这些解法的基本思想就是把高阶方程通过某些变换降为较低阶的可求解的方程,这种方法常称为“降阶法”.第五节某些可降阶的方程一、

型微分方程

微分方程

的右端只含有自变量x,只要连续积分n次,便可得含有n个任意常数的通解.例1.求微分方程的通解.解:

这是一个三阶微分方程,右端只含有自变量x,故积分三次就可得到方程的通解

.例1.求微分方程的通解.解:

这是一个三阶微分方程,右端只含有自变量x,故积分三次就可得到方程的通解

.第一次积分:第二次积分:第三次积分:Q.E.F.二、

型微分方程

微分方程是一类不显含y的二阶微分方程,令代入方程,得到一阶微分方程通解!

设其通解为这是一个以p为求知函数,x为自变量的一阶常微分方程,例2.求微分方程的通解.解:

Q.E.F.这是一个不显含y的二阶微分方程,令代入方程,得到一阶微分方程例3.求微分方程的通解.解:

Q.E.F.这是一个不显含y的二阶微分方程,令代入方程,得到一阶微分方程这是一个克莱洛方程且特解:通解:通解:特解:例4.求解追线的数学模型解:

这是一个不显含y的二阶微分方程,令代入方程,得到一阶微分方程例4.求解追线的数学模型解:

Q.E.F.注记:追线问题

某缉私舰雷达发现,距c处有一艘走私船正以匀速度va沿直线行驶,缉私舰立即以最大速度vb追赶,若用雷达进行跟踪,保持舰的瞬时速度方向始终指向走私船,试求缉私舰追逐路线和追上的时间.追线问题

某缉私舰雷达发现,距c处有一艘走私船正以匀速度va沿直线行驶,缉私舰立即以最大速度vb追赶,若用雷达进行跟踪,保持舰的瞬时速度方向始终指向走私船,试求缉私舰追逐路线和追上的时间.将缉私舰发现走私船时间作为初始时刻,取初始时刻走私船所在的位置为原点O(0,0)处,逃跑的方向为y轴正向,缉私舰所在的位置为C(c,0).狼追击兔子问题!

这类方程的解法还可推广到n阶方程中不显含y及其k阶以下的导数的情形,即

令解积分k次得到方程的通解三、

型微分方程

微分方程是一类不显含x的二阶微分方程,代入方程,得到一阶微分方程这是一个以p为求知函数,y为自变量的一阶常微分方程,设其通解为积分得通解!

则变量变换的目的是将方程化成以y为自变量的方程,故令

例5.求微分方程的通解.解:

Q.E.F.这是一个不显含x的二阶微分方程,

变量变换的目的是将方程化成以y为自变量的方程,故令

则通解:当时,有特解:例6.求微分方程的通解.解:

Q.E.F.这是一个不显含x的二阶微分方程,

变量变换的目的是将方程化成以y为自变量的方程,故令

则四、恰当导数方程

若方程的左端恰是某一函数的导数,即

(2.6.04)则称(2.6.04)为恰当导数方程.(2.6.05)若(2.6.04)是恰当导数方程,则由(2.6.05)知,解方程(2.6.04)就等价于解低一阶的方程然后设法解方程(2.6.06)就可以了.(2.6.06)例7.求微分方程的通解.解:

Q.E.F.对方程观察发现,方程是恰当导数方程

,且例8.求微分方程的通解.解:

Q.E.F.对方程观察发现,若方程的两端乘以即此外,方程还有特解y=0,是因为方程乘以时丢掉的.

若让C2可取零值,则此特解包含在了通解中,

通解为例9.求微分方程的通解.类比例题8,解:

对方程观察发现,若方程的两端乘以即此外,方程还有特解y=C,是因为方程乘以时丢掉的.

若让C2可取零值,则此特解包含在了通解中,

以方程的通解为所Q.E.F.例10.求微分方程的通解解:

若将方程重新分项组合,得到例10.求微分方程的通解解:

若将方程重新分项组合,得到例10.求微分方程的通解解:

两边积分,得到方程的通解Q.E.F.有些方程虽然不是恰当导数方程,可是用求解恰当导数方程的思路变形会给求解带来实质性便宜.请看下例.例11.求微分方程的通解.解:

原方程改写成令则例11.求微分方程的通解.解:

原方程改写成令则积分两次若即积分,得Q.E.F.通解!特解!本节结束！在前几节我们讨论了一阶常微分方程的初等积分法,解决了几类特殊的方程.但我们知道有许多的一阶常微分方程,例如简单的里卡蒂方程第六节初值问题解的存在唯一性定理、奇解、包络一、解的存在唯一性定理

是不能通过初等积分法求解的.这就产生了一个问题:不能通过初等积分法求解的常微分方程是否有解呢?换言之,一个常微分方程在什么条件下有解呢?当有解时,它的初值问题有多少解？什么条件下初值问题有唯一解呢？下面的存在唯一性定理彻底回答了这个问题,它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性,它是常常微分方程理论中的最基本的定理,有其重大的理论意义.另一方面,由于具有精确解(初等函数表示的解)的常微分方程是很少的,所以求常微分方程的近似解就具有十分重大的实际意义,而解的存在和唯一是近似计算的前提.

最后,存在唯一性定理的根本意义还在于,它是整个常微分方程理论与方法的基础.定理2.5设初值问题(2.6.01)右端的函数f(x,y)定义在闭矩形区域(2.6.02)上,若f(x,y)满足两个条件:(1)f(x,y)在R上连续;

(2)f(x,y)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件,即存在常数N,使对于R上任何一对点(x,y1)和(x,y2)有不等式(2.6.03)则初值问题(2.6.01)在区间上存在唯一解这个定理称为解的存在唯一性定理.我们不给出证明,只给出几点说明:(i)如何判断f(x,y)在矩形闭区域R上连续.

若f(x,y)是初等函数且在R上有定义,则必在R上连续,从而它的绝对值函数|f(x,y)|也在R上连续,因此|f(x,y)|必在R上取得最大值M和最小值m；

(ii)如何判断f(x,y)在矩形闭区域R上关于变量y满足李普希兹条件

若偏导数fy(x,y)(用下标表示偏导数,下同)在R上有界或连续,则f(x,y)在R上关于变量y满足李普希兹条件.Infact中值定理||||(iii)若f(x,y)在任任何区域G上连续时,(x0,y0)∈G,则初值问题(2.6.01)存在定义在点x0的某一邻域中的解y=y(x).也就是说,方程右端函数的连续性保证初值解的存在性.如果除了初值解的存在性,我们还希望保证解的唯一性,则需将区域G修改为(2.6.02)表示的闭矩形区域R,并且在R上f(x,y)关于变量y满足李普希兹条件.例1.指出初值问题的解的存在区间.解:

显然函数在以(1,0)为中心的任意

有限矩形

上连续;又且故f(x,y)关于变量y满足李普希兹条件.例1.指出初值问题的解的存在区间.解:

显然函数在以(1,0)为中心的任意

有限矩形

上连续;又且故f(x,y)关于变量y满足李普希兹条件.因此,初值问题在区间上存在唯一解.Q.E.F.例2.判断下列方程在什么区域上能保证初值问题解的存在且唯一?(1)(2)(3)(4)解:

(1)因和

在整个xy平面上连续,所以在整个xy平面上满足解的存在唯一性条件,进而在整个xy平面上保证初值解的存在且唯一.例2.判断下列方程在什么区域上能保证初值问题解的存在且唯一?(1)(2)(3)(4)解:

(2)因

所以在除去y轴外的整个xy平面上满足解的存在唯一性条件,进而在除去y轴外的整个xy平面上保证初值解的存在且唯一.在除去y轴外的整个xy平面上连续,且例2.判断下列方程在什么区域上能保证初值问题解的存在且唯一?(1)(2)(3)(4)解:

(3)因

所以在除去直线y=0外的整个xy平面上满足解的存在唯一性条件,进而在除去直线y=0外的整个xy平面上保证初值解的存在且唯一.在整个xy平面上连续,但只有在除去直线y=0外的整个xy平面上连续.例2.判断下列方程在什么区域上能保证初值问题解的存在且唯一?(1)(2)(3)(4)解:

(4)因

所以在除去直线y