中考数学复习重难题型训练：二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）（原卷版+解析）

专题21二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）

1.（2022•山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=M一2x-3与x轴相交于点A、

B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,连接AC,3c.

（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当E4=PC时，求点P的坐

标；

⑶若点M为该抛物线上的一个动点，当ABCM为直角三角形时，求点M的坐标.

2.（2022•四川省遂宁市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x?+bx+c与x轴交于A、B两

点，与y轴交于点C,其中点A的坐标为（-1,0）,点C的坐标为（0,-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,E为AABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0,-2）,

求ADEF周长的最小值；

（3）如图2,N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、

N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d,4AMN面积为2d,当AAMN为等腰三角

形时，求点N的坐标.

3.（2021•四川南充市•中考真题）如图，已知抛物线丁=依2+"+4（。/0）与*轴交于点人

（1,0）和B,与y轴交于点C,对称轴为x=*.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,若点P是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作y轴的平行

线交抛物线于点Q,连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理

由.

（3）如图2,在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且

ZDQE=2ZODQ.在y轴上是否存在点F,使得石户为等腰三角形？若存在，求点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2021•湖北荆州市•中考真题）己知：直线y=—X+1与％轴、》轴分别交于A、3两点,

点C为直线A3上一动点，连接OC,NAOC为锐角，在0C上方以0C为边作正方形

OCDE,连接3E,设BE=t.

（1）如图1,当点C在线段A3上时，判断砥与A3的位置关系，并说明理由；

图1

（2）真接写出点£的坐标（用含f的式子表示）；

（3）若tanNAOC=左，经过点A的抛物线丁=⑦^+陵+4。＞。）顶点为「，且有

6a+3b+2c=0,△PQ4的面积为人.当.=交时，求抛物线的解析式.

2k2

5.（2021•四川广安市•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=-尤2+8+。的图

象与坐标轴相交于A、3、C三点，其中A点坐标为（3,0）,3点坐标为（—1,0）,连接AC、

BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒夜个单位长度向点C做匀速运动；同时，

动点。从点3出发，在线段B4上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到

达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ,设运动时间为f秒.

（1）求b、c的值；

（2）在p、Q运动的过程中，当/为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？

（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点使AMPQ是以点尸为直角顶点的等腰直

角三角形？若存在，请求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.

6.（2021•四川自贡市•中考真题）如图，抛物线y=（x+l）（x—a）（其中。＞1）与X轴交于A、

B两点，交y轴于点C.

（1）直接写出N0C4的度数和线段AB的长（用a表示）；

（2）若点D为5c的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为9：4,求此抛物线

的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y=（x+l）（x—。）上是否存在一点P,使得

NC4P=NDBA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

7.（2021・四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=-尤2+6x+c交x轴于点A

和C（l,0）,交了轴于点3（0,3）,抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F.

(1)求抛物线的解析式;

(2)将线段OE绕着点。沿顺时针方向旋转得到线段O?,旋转角为a0。</<90。)，连接

AE',BE',求的最小值.

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,N为

顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

8.(2021•江苏中考真题)如图，抛物线丫=-)/+法+。与x轴交于A(-l,0),B(4,0),与，

轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.

⑴求抛物线的表达式；

⑵如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当/CAQ=NCBA+45。时，求点P

的坐标；

⑶如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F,过点P作x轴的垂线交BC于点H,

当APFH为等腰三角形时，求线段PH的长.

9.（2021•黑龙江中考真题）如图，抛物线〉=。/+及+3（。*0）与*轴交于点4；1,0）和点

3（-3,0）,与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点

的三角形与ABOC相似，请直接写出点P的坐标.

10.（2021・湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线>=加+法+c与x轴交于点A（-1,O）

和点8,与丁轴交于点C,顶点。的坐标为（1,T）.

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1,若点尸在抛物线上且满足/PCB=NCBD,求点尸的坐标；

（3）如图2,M是直线BC上一个动点，过点M作MNLx轴交抛物线于点N,。是直线AC

上一个动点，当AQMV为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点。的坐标

11.（2021・湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称

该点为“雁点”.例如（1,1）,（2021,2021）……都是"雁点”.

4

（1）求函数y=—图象上的"雁点"坐标；

x

（2）若抛物线y=ax2+5x+c上有且只有一个"雁点"E,该抛物线与x轴交于M、N两点（点

M在点N的左侧）.当时.

①求c的取值范围；

②求的度数；

（3）如图，抛物线y=-f+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物

线丫=-产+2苫+3上一点，连接BP,以点P为直角顶点，构造等腰必△BPC,是否存在点

P,使点C恰好为"雁点"？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

12.（2021,湖南中考真题）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与v轴交于点C,且。4=2,

OB=4,OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与x轴交于点N.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与AMA®相似？

若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

（3）D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达X轴上的点E,再走到抛物线对称轴

上的点F,最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐

标，并求出最短路程.

（4）点Q是抛物线上位于X轴上方的一点，点R在X轴上，是否存在以点Q为直角顶点的

等腰放△CQR?若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

13.（2021•内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+4x经过坐标原点,

与x轴正半轴交于点A,点M（八〃）是抛物线上一动点.

（1）如图1,当机>0,n>0,且〃=3瓶时，

①求点M的坐标：

②若点在该抛物线上，连接。M,BM,C是线段BM上一动点（点C与点M,B

不重合），过点C作CZ）〃MO,交X轴于点D,线段OD与MC是否相等？请说明理由；

（2）如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点K,点在对称轴上，当机>2,n>0,

且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N,G为y轴

上一点，点G的坐标为10,g）,连接GF.若EF+NF=2MF,求证：射线FE平分/AFG.

3

14.（2021•湖北中考真题）如图，直线>=-万％+6与无轴交于点8,与>轴交于点A,点尸

为线段A5的中点，点。是线段OA上一动点（不与点0、A重合）.

（1）请直接写出点A、点8、点尸的坐标；

（2）连接PQ,在第一象限内将AOPQ沿尸。翻折得到AEPQ,点。的对应点为点E.若

ZOQE=90°,求线段A0的长；

(3)在(2)的条件下，设抛物线广依2-2a2尤+/+。+1("0)的顶点为点C.

①若点C在AP0E内部(不包括边)，求。的取值范围；

②在平面直角坐标系内是否存在点C,使|CQ-CE|最大？若存在,请直接写出点C的坐标;

若不存在，请说明理由.

图1图2

15.(2021•青海中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A8两

点，点A在x轴上，点8在丁轴上，C点的坐标为(1,0),抛物线y=a/+bx+c经过点

A,B,C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)根据图象写出不等式内2+g_l)x+c>2的解集；

(3)点P是抛物线上的一动点，过点P作直线A3的垂线段，垂足为。点，当=2时,

求P点的坐标.

16.（2021•湖南中考真题）如图，已知二次函数y=af+6x+c的图象经过点C（2,-3）且与x轴

交于原点及点8（8,0）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点A的坐标及直线的表达式；

（3）判断AABO的形状，试说明理由；

（4）若点尸为。。上的动点，且。。的半径为2后，一动点E从点A出发，以每秒2个单

位长度的速度沿线段转匀速运动到点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿线段9匀速运动

到点8后停止运动，求点E的运动时间/的最小值.

17.(2021•山东中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线>=-：》+3与x轴交于点A,

与了轴交于点8,抛物线yngd+bx+c经过坐标原点和点A,顶点为点

(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；

25

(2)点E是直线下方的抛物线上一动点，连接£B,EA,当钻的面积等于冷时,

求E点的坐标；

(3)将直线A3向下平移，得到过点”的直线>=盛+”,且与x轴负半轴交于点C,取

点0(2,0),连接DM,求证：ZADM-ZACM=45°.

18.（2021・湖北中考真题）抛物线”尔-2bx+b（"0）与V轴相交于点C（0,-3）,且抛

物线的对称轴为x=3,。为对称轴与x轴的交点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于后、/两点，若ADEF是

等腰直角三角形，求ADEF的面积；

（3）若尸（3#是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含f的代数式

表示）.

19.（2020•枣庄）如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3,0）,B（4,0）两点，与y

轴交于点C,AC,BC.M为线段OB上的一个动点，过点M作PMJ_x轴，交抛物线于点P,

交BC于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点P作PN_LBC,垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0),请用含m的代数式表

示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

(3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形

是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

20.(2020•泸州)如图，已知抛物线y=ax?+bx+c经过A(-2,0),B(4,0),C(0,4)

三点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)经过点B的直线交y轴于点D,交线段AC于点E,若BD=5DE.

①求直线BD的解析式；

②已知点Q在该抛物线的对称轴I上，且纵坐标为1,点P是该抛物线上位于第一象限的动

点，且在I右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角

形，求点P的坐标.

专题21二次函数与几何图形综合题(与特殊三角形问题)

1.(2022•山东滨州)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Y一2x-3与x轴相交于点A、

B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,连接4C,BC.

⑴求线段AC的长；⑵若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当R4=PC时，求点P的坐

标；

⑶若点M为该抛物线上的一个动点，当ABCW为直角三角形时，求点M的坐标.

【答案】(1)JIU'⑵(1，T)⑶(1，-4)或(―2,5)或J-5+f］或1,,二,

【分析】(1)根据解析式求出A,B,C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长；(2)求出对

称轴为x=l,设P(1,t),用t表示出PA?和PC?的长度，列出等式求解即可；(3)设点M

(m,m2-2m-3),分情况讨论，当CM?+3C?=ftW?,BM-+BC-=CM2,BM2+CM2=BC2

分别列出等式求解即可.

⑴

y=x2-2%-3与x轴交点：

令y=0,解得玉=-l,x2=3,

即A(-1,0),B(3,0),

y=x2-2x-3与y轴交点：

令x=0,解得y=-3,

即C(0,-3),

回AO=1,CO=3,

0AC=7AO2+CO2=7io；

(2)抛物线y=--2x-3的对称轴为：x=l,

设P(1,t),

0PA2=(l+l)2+(r-0)2=4+/2,PC2=(l—oy+(r+3)2=l+(r+3?，

2

04+产=i+(f+3)

0t=-l,

团p(1,-1);

⑶设点M(m,m2-2m-3),

BM2=(m—3)2+(加2-2m—3-0)2=(m-3)2+^m2-2m—3),

222

CM=(m-0)+(加之_2根一3+3『-m+(加2一2根『,

BC2=(3-0)2+(0+3)2=18,

①当CM2+5。2=皿2时，

m2+^m2-2m)+18=(m-3)2+^m2—2m-3),

解得，呵=0(舍)，m2=1,

团M(1,-4)；

②当即r+以丁=CA/2时，

(m-3)2+(m2-2m-3)+18=m2+(m2-2m),

解得，叫=-2,e=3(舍)，

团M(-2,5)；

③当5"+。河2=及丁时，

(m-3)2+(m2-2m-3)+m2+(m2-2m)=18,

解得，m=［土"，

综上所述：满足条件的M为（1,-4）或（-2,5）或宇）或［\后，一二!.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，

解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题.

2.（2022•四川省遂宁市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两

点，与y轴交于点C,其中点A的坐标为（-1,0）,点C的坐标为（0,-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,E为AABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0,-2）,

求ADEF周长的最小值；

（3）如图2,N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、

N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d,AAMN面积为2d,当AAMN为等腰三角

形时，求点N的坐标.

图1图2备用图

【解析［解：(1)•.・抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),点C(0,-3).

(1—b+c=0

tc=—3

fb=-2

tc=—3，

,抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)如图，设Di为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接

由对称性可知DE=DiE,DF=D2F,2kDEF的周长=DIE+EF+D2F,

・•.当DI,E.F.D2共线时，ADEF的周长最小，最小值为D1D2的长,

令y=0,则x2-2x-3=0,

解得x=-l或3,

.-.B(3,0),

...OB=OC=3,

・•.△BOC是等腰直角三角形，

・・・BC垂直平分DD2,且D(-2,0),

・・.D2(1,-3),

・・・D,Di关于x轴的长，

,Di(0,2),

•••D1D2=JD2c2+DIC2=A/52+M=后,

.-.△DEF的周长的最小值为国.

(3)・.・M到x轴距离为d,AB=4,连接BM.

**•S△ABM=2d,

又S△AMN=2d，

,*«SAABM~SAAMN，

・・.B,N到AM的距离相等，

vB,N在AM的同侧，

.-.AM||BN,

设直线BN的解析式为y=kx+m,

则有昭一3

fk=1

dm=-3，

・•・直线BC的解析式为y=x-3,

・•・设直线AM的解析式为y=x+n,

•・・A(-1,0),

・・.直线AM的解析式为y=x+l,

由忧？.给解得仁城蛰

••.M(4,5),

•・•点N在射线BC上,

二设N(t,t-3),

过点M作x轴的平行线1,过点N作y轴的平行线交x轴于点P,交直线1于点Q.

.-.AM=5V2.AN=J(t+1)2+(t—3)2,MN=7(t-4)2+(t-8)2,

・・・△AMN是等腰三角形，

当AM=AN时，5鱼幻(t+1尸+(t-3/,

解得t=l土何，

当AM=MN时，5V2=V(t-4)2+(t-8)2,

解得t=6±V21-

当AN=MN时，J(t+1)2+(t—3尸=J(t一40+(t—8尸,

解得t=|,

•；N在第一象限，

7

.；t的值为a，1+V21,6+VH,

二点N的坐标为弓，|）或（1+A/^I,-2+V^I）或（6+V21，3+V21）.

3.（2021•四川南充市•中考真题）如图，已知抛物线丁=g2+"+4（。/0）与*轴交于点人

（1,0）和B,与y轴交于点C,对称轴为x=3.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,若点P是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合）,过点P作y轴的平行

线交抛物线于点Q,连接0Q.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理

由.

（3）如图2,在（2）的条件下，D是0C的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且

ZDQE=2Z0DQ.在y轴上是否存在点F,使得小吕斯为等腰三角形？若存在，求点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）丁=必—5X+4；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0,

25

一）或（0,1）或（0,-1）

8

【分析】

（1）设抛物线y=a（x—l）（x—4）,根据待定系数法，即可求解；

（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4,设P（x,-x+4）,则Q（x,炉一5%+4），（0<x<4）,

得至UPQ=—（%-2丫+4,从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；

（3）过点Q作QM，y轴，过点Q作QNIIy轴，过点E作ENIIx轴，交于点N,推出

MQNE

ZMDQ=ZDQN=ZEQN,从而得卡=三二；，进而求出E（5,4）,设F（0,y）,

MDNQ

分三种情况讨论，即可求解.

【详解】

解：（1）：抛物线丁=4«2+云+4（。/0）与*轴交于点人（1,0）和B,与y轴交于点C,

对称轴为直线x=3，

2

B(4,0),C(0,4),

设抛物线y=a(x—l)(x—4),把C(0,4)代入得：4=«(0-l)x(0-4),解得：a=l,

二抛物线的解析式为：y=x2-5x+4；

(2)-.1B(4,0),C(0,4),

•••直线BC的解析式为：y=-x+4,

设P(x,-x+4),贝I]Q(x,%2_5%+4),(0<x<4),

,PQ=-x+4-(无2_5尤+4)=—％2+4x=—+4,

当X=2时，线段PQ长度最大=4,

此时，PQ=CO,

又PQIICO,

,四边形OCPQ是平行四边形；

(3)过点Q作QMJ_y轴，过点Q作QNIIy轴，过点E作ENIIx轴，交于点N,

由(2)得：Q(2,-2),

「D是OC的中点，

.D(0,2),

QNIIy轴,

ZODQ=ZDQN,

文:ZDQE=2ZODQ,

NDQE=2ZDQN,

ZMDQ=ZDQN=NEQN,

MQNE

tanZMDQ=tanZEQN,即：而=

、2x—2c

设E(x,5x+4)，则了=―”,二、，解得：西=5,X=2(舍去)，

4x--5x+4-(-2)2

E(5,4),

设F(0,y),则所2=(4—oy+(o—,了=16+/,

EF2=(5-0)2+(4-y)2=25+(4-yj,BE2=(5-4)2+(4-0)2=17,

0/J

①当BF二EF时，16+y?=25+（4-y）,解得：y=一，

8

②当BF二BE时，16+/=17,解得：y=l或y=—l,

③当EF二BE时，25+（4—y）2=17,无解，

25

综上所述：点F的坐标为：（0,—）或（0,1）或（0,-1）.

图2

【点睛】

本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征,

添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.

4.（2021•湖北荆州市•中考真题）已知：直线y=T+l与％轴、》轴分别交于A、B两点,

点C为直线A3上一动点，连接OC,NAOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形

OCDE,连接比，设BE=t.

（1）如图1,当点C在线段A3上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；

（2）真接写出点E的坐标（用含/的式子表示）；

（3）若tanNAOC=左，经过点A的抛物线丁=依2+及+。（。＞0）顶点为尸，且有

6a+3b+2c=0,△PQ4的面积为」-•当.=交时，求抛物线的解析式.

2k2

【答案】（1）BE±AB,理由见解析；（2）（-Al一旦）；（3）y=%?-4x+3

22

【分析】

（1）先求出点A、B的坐标，则可判断AAOB是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转

可证明AAOS△BOE（SAS）,可得NOBE=NOAC=45。，进而可得结论；

（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证△M08△NEO,可得CM=ON,

OM=EN,由（1）的结论可得AC=BE=t,然后解等腰直角4ACM,可求出AM=CM=^7，

2

进而可得答案；

（3）由抛物线过点A结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x=2,然后由（2）可求出

当/=交时k=L进一步即可求出点P的纵坐标，从而可得顶点P的坐标，于是问题可求

2

解.

【详解】

解：(1)BE_LAB,理由如下：

对于直线y=-x+l,当x=0时，y=l,当y=0时，x=l,

/.B(0,1),A(1,0),

OA=OB=1,

/.ZOBA=ZOAB=45°,

V四边形OCDE是正方形，

/.OC=OE,ZCOE=90°,

,/ZAOB=90°,

/.ZAOC=ZBOE,

/.△AOCM△BOE(SAS),

/.ZOBE=ZOAC=45°,

/.ZEBC=ZEBO+ZOBA=45°+45°=90°,

即BE±AB；

(2)作CM_LOA于点M,作EN_Lx轴于点N,如图1,贝l」NCMO=NENO=90。,

,/ZEON+ZNEO=ZEON+ZCOM=90°,

/.ZNEO=ZCOM,

又;OC=OE,

/.△MOS△NEO,

/.CM=ON,OM=EN,

在aACM中，ZCMA=90°,ZMAC=45°,AC=BE=t,

AM=CM=-^-t，

2

OM=1—乌，

2

•.・点E在第二象限，

•・•点E的坐标是(-包心％);

22

(3)抛物线过点A(1,0),

a+b+c=O,

6a+3b+2c=0,

消去c可得b=-4a,

•,・抛物线的对称轴是直线x=2,

如图1,当r=42时，由(2)可得AC=《Z,

22

AM=CM=-,

2

0M=X--=-=CM,

22

tanNAOC=l,即k=l,

•APOA的面积为上，

2

即;xlx|yp|=g,解得|词=1,

a>0,

顶点P的纵坐标是-1,

点P(2,-1),

设y=a(x-2)~-1,

把点A(1,0)代入，可求得a=L

抛物线的解析式是y=(x—2『—1=——4%+3.

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、

一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，熟练掌握相关

知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.

5.(2021・四川广安市•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-尤2+8+。的图

象与坐标轴相交于A、3、C三点，其中A点坐标为(3,0),3点坐标为(—1,0),连接AC、

BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒起个单位长度向点C做匀速运动；同时，

动点。从点8出发，在线段B4上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到

达终点时，另一点随之停止运动，连接尸Q,设运动时间为/秒.

(2)在尸、。运动的过程中，当f为何值时，四边形3CPQ的面积最小，最小值为多少？

(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使AMPQ是以点P为直角顶点的等腰直

角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)b=2,c=3；(2)t=2,最小值为4；(3)(3+后，23+折)

48

【分析】

(1)利用待定系数法求解即可;

(2)过点P作PE±x轴，垂足为E,利用S四边形BCPQ=SAABC&APQ表示出四边形BCPQ的面积,

求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可;

(3)画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E,过M作y轴的垂线，与EP交于F,证

明^PFM空AQEP,得至1JMF=PE=t,PF=QE=4-2t,得到点M的坐标，再代入二次函数表达式,

求出t值，即可算出M的坐标.

【详解】

解：(1)..,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0),

0=—9+3匕+c

则

0=-1-b+c

仿=2

解得：＜

c=3

(2)由(1)得：抛物线表达式为y="2+2x+3,C(0,3),A(3,0),

△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知:

AP=J五，过点P作PE_Lx轴，垂足为E,

AE=PE=^=t,即E(3-t,0),

V2

又Q(-1+t,0)，

■S四边形BCPQ=SAABC-SAAPQ

=gx4x3-：x[3-(-1+

=-t2-2t+6

2

•••当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动,

AC=V32+32=3A/2,AB=4,

0<t<3,

.•.当时，四边形BCPQ的面积最小，即为3级-2x2+6=4；

2X22

(3)■.■点M是线段AC上方的抛物线上的点，

如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E,过M作y轴的垂线，与EP交于F,

APMQ是等腰直角三角形，PM=PQ,NMPQ=90。，

ZMPF+ZQPE=90°,又NMPF+ZPMF=90°,

ZPMF=NQPE,

在^PFM和八QEP中，

Z=ZQEP

<ZPMF=ZQPE,

PM=PQ

...APFMV△Q,EP(AAS),

MF=PE=t,PF=QE=4-2t,

/.EF=4-2t+t=4-t,又0E=3-t,

点M的坐标为(3-2t,4-t),

.・•点M在抛物线y=-x2+2x+3上，

4-t=-(3-2t)2+2(3-2t)+3,

解得：t=9-后或9+万（舍），

88

M点的坐标为（3+而',23+M）.

48

【点睛】

本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角

形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

6.(2021,四川自贡市•中考真题)如图，抛物线y=(x+D(x—a)(其中a>1)与x轴交于A、

B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出NOC4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为6c的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为JIU：4,求此抛物线

的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x—上是否存在一点P,使得

NCAP=NDBA?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)NOCA=45°,AB=a+l；(2)y=x2-x-2；(3)存在，Pi(—',,

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出OA=OB=a,

OB=1,即可证明△OCA是等腰直角三角形，可得NOCA=45。，根据线段的和差关系可表示

AB的长；

(2)如图，作△ABC的外接圆。D,根据等腰直角三角形的性质可得AC=&a，利用两点

间距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得ND=2ZOAC=90%可得△DBC是等

腰直角三角形，即可证明4DBO△OCA,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出

a值即可得答案；

(3)如图，过点D作DH_LAB于H,过点C作AC的垂线，交X轴于F,过点。作OG_LAC

于G,连接AP交CF于E,可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的

解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，

根据=ZBHD=NACE=90。可证明ABHD-△ACE,根据相似三角形的性质可

求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，

联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

(1)抛物线y=(x+l)(x—a)(其中。>1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

当x=0时，y=-a,

当y=0时，(x+l)(x-a)=0,

解得：下=—1,%=。，

A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

/.OB=1,OA=OC=a,

△OCA是等腰直角三角形，

ZOCA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如图，作AABC的外接圆OD,

•・•点D为△ABC的外心，

DB=DC,

・・・△OCA是等腰直角三角形，OA二a,

ZOAC=45°,AC=y[2a»

NBDC和NBAC是3c所对的圆心角和圆周角，

/.ZBDC=2ZBAC=90°,

ZDBC=45°,

/.ZDBC=ZOAC,

/.△DB5△OCA,

△BCD与△ACO的周长之比为Ji6：4，

.BC_晒即Va2+1_M

AC4缶4

解得：a=±2,

经检验：±2是原方程的根，

<a>\,

a=2,

2

•••抛物线解析式为：y=(X+1)(X-2)=X_X-2.

(3)如图，过点D作DH_LAB于H,过点C作AC的垂线，交X轴于F,O作OGJ_AC

于G,连接AP交CF于E,

「a=2,

C(0,-2),A(2,0),AC=2A/2>

,,,Z0cA=45",

ZOCF=45°,

•△OCF是等腰直角三角形，

F(-2,0),

设直线CF的解析式为y=kx+b,

-2k+b=0

b=-2

k=-l

解得：《

b=-2,

直线CF的解析式为y=-x-2,

△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

.〔OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点,

•・•点D为6c的外心，

.,.点D在直线OG上，

A(2,0),C(0,-2),

G(1,-1),

设直线0G的解析式丫=!!^,

m=-l,

•••直线0G的解析式y=-x,

•••点、D为AABC的外心，

.,.点D在AB的垂直平分线上，

点D的横坐标为一-1「+2二二1,

把x=g代入y=-x得y=-g,

113

/.DH=—,BH=1+—=-,

222

•••/CAP=/DBA,ZBHD=ZACE=90°,

/.△BHD〜△ACE,

3

PH祟即上

~CE2

CE2A/2

解得“考

,・・点E在直线CF上，

「•设点E坐标为（n,-n-2）,

设直线AEi的解析式为y=kix+bi,

’24

—k+4=—

,­.<31}13,

2k]+4=0

解得：＜

b、=-1

•••直线AEi的解析式为y=：x—1,

同理：直线AE2的解析式为y=2x—4,

'1,

V——x-1

联立直线AEI解析式与抛物线解析式得r2

2c

y=x-x-2

1

X]=fG

解得：\；2，%=2c（与点A重合，舍去），

、，-9M=o

y=2x-4

联立直线AE2解析式与抛物线解析式得＜2C

y=x-x-2

%—1x?=2

解得：＜C（与点A重合，舍去），

J=—2[%=0

P2(1,-2).

综上所述：存在点P,使得NC4P="BA,点p坐标为P1（―,P2（1，-2）.

24

【点睛】

本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角

定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.

7.（2021・四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=-/+法+＜?交无轴于点A

和C（l,0）,交V轴于点8（0,3）,抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段OE绕着点。沿顺时针方向旋转得到线段O?,旋转角为1（0。＜/＜90。），连接

AE',BE：求的最小值.

（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,N为

顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）渔1；（3）存在，N点的横坐标分别为：2,-1,土石

32

或土立.

2

【分析】

（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为、=-犬+法+。将C（1,O）,3（0,3）两点代

入求得b,c的值即可；

（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化

为;DE，,再利用三角形两边之和大于第三边求得8E'+；AE'最值；

（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得

N点的坐标；

②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=3AB,利用两点距离公式求解方程可得N点

的坐标.

【详解】

解：（1）;y=-%2+—+c过C（l,0）,B（0,3）

.J-l+b+c=0

,,〔c=3

b=—2,c=3

二抛物线的解析式为：J=-X2-2X+3

（2）在OE上取一点。，使得OD=；OE,连接BD

•：OD=-OE=-OE'

33

对称轴彳=:一二一］

2

/.£(-1,0),OE=\

OE'=OE=1,OA=3

.OE'OP_1

ZDOE'=ZE'OA

*~OA~~OE'~3

：.ADOE^AE'OA

/.DE'=-AE'

3

：.BE'+-AE'=BE'+DE'

3

当8,。三点在同一点直线上时，BE*DE，最小为BD.

在RtABOD中，OD=」，OB=3

3

/.BD