三角函数的图象及性质-2025年高考数学一轮复习（新高考）

考点巩固卷08三角函数的图象及性质（六大考

点）

窿老堂先竞

考点01:三角函数的定义域与值域

考点02:三角函数性质的考察

考点03:解三角不等式

三角函数的图像与性质

原:t盛技巧及考克制依

考点01:三角函数的定义域与值域

1、三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图

象来求解.

注：解三角不等式时要注意周期，且Aez不可以忽略.

（1）分式：分母不能为零；

（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0,（如只要求Z20）对奇次根式中

的被开方数的正负没有要求;（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于

1

0即可，如,只要求Z〉0）

(3)零次嘉：x°中底数xwO；

(4)对数函数：对数函数中真数大于零,底数为大于0且不等于1；

(5)三角函数：正弦函数y=sinx的定义域为R,余弦函数.v=cosx的定义域为R,正

切函数…nx的定义域为卜卜丘+乎臼若…小),则

71

/(X)W左万+耳，左£Z

2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型

(1)形如3/=。5由％+6或3/=。(：05%+/)的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域

(2)形如丁=4§iiuor+方cosox+4的三角函数，可设sin0=-j=^=,cos0=-j="逆用

da2+b?卜+/

和角公式得到y=4sin(3：+0)+A,化为一次函数y=依+Z?型,再求值域(最值)；

对于由sinx,cosx两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；

例如①/(X)=asin(x+a)+bcos(x+尸)(特另4的f(x)=asinx-^-bcosx)可先用和差

角公式展开化为j=asin/x+Acossx+A：的形式；

②/(%)=asin(x+a)cos(x+Q)即=/sin?x+Bsinxcosx+Ccos?%逆用倍

角公式化为y=asiii/x+^costax+A：的形式;进一步都可以转化为y=Zsin®x+°)+4的形式,

然后结合一次函数求最值。

总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数歹=后6型，再由三角

函数的有界性得解.(其中x为正弦或余弦函数，左力为常数)

(3)形如歹=如也2*+加inx+c的三角函数，可先设sinx=。化为关于，的二次函数

、二m2+4+,求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；

对于由sinx(或cosx)与sin?或cos?%),由sinx(或cosx)与cos2x作和、差运算而

得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。

y=acos2x+bsinx+c=(2(l-sin2x)+Z7sinx+c

y=acos2x+bcosx+c

y=asin2x+bcosx+c=a(l-cos2x)+Z7cosx+c

y=acos2x+6sinx+c=(2(l-2sin2x)+Z?sinx+c

y-acos2x+Z?cosx+c=a(2cos2x-l)+Z7cosx+c

(4)形如^=〃8也现08工+〃(§也1±(：08*)+。的三角函数，可先设sinx±cosx=。化为关于

t的二次函数y=at2+4+。在区间上的值域，要注意，的取值范围；对于由sinx±cosx与

sin2x(sinxcosx)作和、差运算而得到的函数，例如

/(%)=(2(sinx±cosx)+Z?sin2x,都可以转化为二次型函数求最值。

一八-UHIasinx+bQCOSX+6asmx+bacosx+b.

⑸形如分式型：y=---------,y=----------9y=----------/=----------等

csinx+dccosx+dccosx+dcsinx+d

三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。

g甘.来列asinx+bacosx+b

①基本类型一:y=---------、y=----------型

csinx+dccosx+d

方法一：反解sinx,利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法.

一皿gasinx+b力,

②基本类型二：y=----------型.

ccosx+d

转化为4sinx+8cosx=C,再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值;

1.若/(cosa,sino,l),5(cos/7,sin/7,l),则以，的取值范围是()

A.[0,2]B.[1,V3]C.(0,2)D.(1,73)

【答案】A

【分析】先求出向量坐标，再求出模长，最后求范围即可.

[详解]由已知可得45=(cos/?-coscif,sin4一sin。,0),

则

222222

卜目=J(cos/7—cosaf+(sin/y-sincr)+0=cos/3+cosa-2cos[3coscr+sin+sin6ir-2sinsina

=Jl+1-2cos尸cosa-2sin夕sina=^2-2cos(4-a),

-1<COS(y0-6Z)<1,

所以0K2—2cos(/?—a)M4,

所以画=j2-2cos(£-a)6[0,2].

故选:A.

2.下列函数中最小值为4的是()

,4I.I4

A.y=\nx+-----B-4mx|+由

Inx

C.y=2x+22-x

【答案】CD

【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.

【详解】对于A：当lnx<0时，y=lnx+J—<0,故A错误；

Inx

对于B：令t=binx|,贝y=t+i>2^t^=4,当且仅当t=2时取等号，故B错

误；

对于C：y=2X+22-X>2A/2X-22-X=4，当且仅当x=l时取等号，故C正确；

____x2+5I-------4

对于D：由题意得+］〉。,-^y=,=y/x2+1+,>4,

Vx2+1Vx2+1

当且仅当*=±百时取等号，故D正确.

故选：CD.

3.对于函数/(%)=sinxcosx+sin2x-；,下列结论正确的是()

A.函数y=的图象关于点对称；

B.函数了=〃x)的对称轴是x="+二，丘Z；

2o

C.若函数>=/(x+0是偶函数，则冏的最小值为J；

O

D.函数了=/(x)在2,斗的值域为，，

03J14f£41

【答案】ABD

【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得/'(x),计算可判断A；求出函数

y=/(x)的对称轴方程可判断B；根据y=〃x+0)为偶函数求出。可判断C；根据2X-：

的范围求出Sin12x-(j最大值可判断D.

【详解】对于A,因为/(x)=sinxcosx+sin2x-；=；sin2x+^~~。；2工一；

V2..V2..八叫

=--------sin2x-------cosZx=-----sin2x—,

2(22)2{4)

=0,所以函数y=/(x)的图象关于点对称,

故A正确;

rtF-AC兀rATtZQ371kli1)

对于B,令2x—=—卜kit,kE.Z,解传x=-----1----,keZ,

4282

所以函数V=/(x)的对称轴是x="+自，keZ,故B正确;

28

对于C,因为》=/(1+")=乎5亩[2、+20—个)为偶函数,

LLt、t_7171,1rATI/口3兀KU,r

^j*以2(p----=—Fku,左£Z,角牛(P=---1----，左£Z,

4282

所以阉的最小值为3故C正确;

O

I.「兀2K1「I-7i「兀13兀

对于D，当xw-，贝lJ2x一

o341212

即X寸时’sin(2xf=l,^*勺，故D错误.

故选：ABD

4.函数〃x)=2cos[2x+；]+；,+teR,则下列说法正确的是()

A.3ZGR,使得/(x)为单调函数B.3/eR,使得了⑴有三个零点

C.3teR,使得有最大值gD.土eR,使得/(x)的值域为1;,|]

【答案】AC

7T/IT4711

【分析】根据题意得2x+§e[2/+5,2/+3~＞区间长度为兀.对于A,采用赋值法验证即可;

对于B,根据余弦函数图象知，若丁=。。$。在区间(西,9)有3个零点，则区间长度最小值为

2兀，与题干中2x+；的区间长度矛盾，即可判断；对于C,当cos0x+升1时，可得/(x)

有最大值即可判断；对于D,根据/(x),cos\2x+—,解三角

函数不等式即可判断.

【详角军】/(x)=2cos+y,xe^t,t+2x+ye^2/+y,2；+—

对于A,不防令f=则2x+ge(O,兀)，此时〃x)单调递减，故A正确;

对于B,根据余弦函数图象知，若＞=cos。在区间(x”X2)有3个零点，则区间长度最小值为

2兀,

7T/TT4冗1

而2工+3©12/+5,2/+三｝故不存在,使上述区间长度为2兀，故B错误；

TTSS

对于C,当2x+g=2所化eZ)时，“X)取得最大值;，，于eR,使得/(X)有最大值》

故C正确;

对于D,由/(X)=2COS[2X+])+51£12,cos\2x+—jG

22,2

2兀C7兀C7)y+2kR,g+2knk左£Z),

2xH---£———F2kjt,——+2ATIILJ

3

7T［T7T144冗兀1£3

又2、+§£［2/+§2+了〉故不存在止R,使得Ax)的值域为,故D错误.

33252

故选：AC.

5.已知/(x)=sinx+cosx+2sinxcosx,XG0,-1I,则/(x)的值域为.

【答案】［1,1+72］

【分析】令，=sinx+cosx,再结合平方关系将2sinxcosx用，表示，根据三角函数的性质求

出/的范围，再结合二次函数的性质即可得解.

【详解】令/=sinx+cosx二行sin［x+；］,

则〃=(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,故2sinxcosx=»-1,

因为XE0,—,所以％+7'彳1'所以，£口,收］,

4g(/)=/+Z2-l=p|Y-|,/e［l,V2］,则g(。在此［1,四］单调递增，

则当g(0mm=g6=l，g(<Lx=g(应)=1+立,

故答案为：［1,1+收］

6.已知函数/(%)=2百sin(兀一x)cosx+2cos2x.

⑴求函数/(X)的最小正周期；

TT7T

(2)若xe,求函数/⑴的值域.

63_

TT

(3)若函数g(x)=/(x)-l在上有且仅有两个零点，则求小的取值范围

0

【答案】(1)最小正周期兀

(2)[0,3]

5兀11兀)

⑶立五J

【分析】(1)利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算

可得；

(2)由x的范围，求出2》+占TT的范围，再根据正弦函数的性质计算可得;

6

7T

(3)首先求出g(x)的解析式，由x的范围，求出2X+B的范围，再根据正弦函数的性质计

6

算可得;

【详解】(1)f(x)=2A/3sin(;r-x)cosx+2cos2x

=2百sinxcosx+(cos2x+1)

I、

=百sin2x+cos2x+1=2sin2x+—cos2x+1

2J

=2sin12x+.)+1,

所以函数小)最小正周期丁=空27r=兀

7T71571

(2)当xe时,上W2xW生,——<2x+-<—,

6333666

所以一51Wsin[2x+.71)W1,-l<2sinf2x+-^-j<2,贝(J0K2sin12x+.兀)+1<3,

266

jrIT

因比，函数>=/(x)在区间7,7上的值域为[0,3].

OJ

(3)因为g(x)=/(x)-l=2sin[2x+Ej,

兀।7t_7C_7L

,/XE,贝！J——<2x+—<2m+—,

6666

TT

若函数g(x)=〃x)-l在-7"上有且仅有两个零点,

O_

TT57r117T

则兀〈2机+3<2兀，解得〈詈，

61212

5兀11兀

即加£1

IPITJ

71

7.已知函数/(x)=2sin3x+0)+lO〉O,O<e<7r),f3

3co

(1)求

(2)若方程f(x)=1在区间胡］上有且仅有3个解，求实数。的取值范围；

(3)从以下两个条件中选择一个，求Ax)的解析式.

①若函数/(x)在［n,2兀］上的值域为［-1,2］；

JTTT

②函数/(X)在-上的最大值与最小值差为3.

【答案】⑴m

6

1723

755

,TTTT

(3)选择①，/(x)=2sin(-x+：)+1或f(x)=2sin(x+-)+1

366

JT

选择②，/(x)=2sin(x+-)+l

6

【分析】⑴根据题意，可得sin|j+力1,从而得解;

(根据题意，卷-旌，可得，再由则,〃)兀711171「

2)TVy3404g<—+-<—,且

6612

号+£〈等，可确定实数0的取值范围;

266612

jr15立JT37r

(3)选择①，根据题意可得sin(s+z)£T，7，X—<^7i+-<—,

62662

—＜2^+-＜—,分。兀+二=亚和2。兀+色=包两种情况求解;

2666666

选择②，分析可知〉=5M回+巳)在TTTT上的最大值与最小值差为3S:，由三角函数图

2

7171£

象变换可知V=sin|。尤+：|在上先增后减，最大值为1,故sing+

k6oJ332

可解.

TTTTITT1

【详解】(1)根据题意，/(丁)=2sin(。丁+e)+l=2sin“+。+1=3,

3G3a)J

Ijr\TT冗

即sin|/+o|=l,则e=：+2E,又0＜夕＜无，所以夕=：；

[3J66

jr57r

(2)根据题意，/(x)=l在区间上有且仅有3个解，

OO

即sin(s+B)=0,在区间上有且仅有3个解，

6oo

所以T〈生/＜尹，即又”0,所以340＜苫,

0°z932

，一兀「。兀兀5。兀71

由于GX+—£——+—,+—,

66666

2兀,G717111兀Lt5兀71,5。兀714771

则—<——+—<,且——+—<---+—<

36612266612

根据正弦函数的图象性质,

所1以7仔23

TT

(3)因为/(x)=2sin(0x+—)+1,

6

选择①，当工£［兀,2兀］时，a)x+—eCDTI+—,2COTI+—,

6166

T2T24

根据题意，y<27l-K<y,所以§<0<H，

「Lu5兀兀3兀3兀八7i17兀

所以一<6071+—<一,—<2。兀+—<------,

662266

TT1

因为函数/(X)在［兀,2兀］上的值域为［-1,2］,即sin(Ox+/)e-1,-,

o|_2_

3JT兀13兀

根据正弦函数的图象性质，可知三<2如1+：〈耳，

266

IT57r2jr3冗

当。兀+2=?时，0=：,此时2。兀+==与，符合题意，

66362

2兀

所以/(x)=2sin(；x+：)+l,

36

IT13TTTT7JT

当2。兀+==多时，。=1,止匕时。兀+9=9,符合题意，

6666

7T

所以/(x)=2sin(x+7)+l,

6

27rIT

综上，/0)=25皿；%+:)+1或/0)=25皿%+7)+1；

366

TT7T

选择②，由函数"X)在上的最大值与最小值差为3,

即/=5m10尤+/在上的最大值与最小值差为］,

Iji］兀

又因为。>0,y=sin［ox+%J可由y=sinx向左平移后再伸缩得到,

所以片sin［Ox+1］在-K上先增后减，最大值为1,

IoJ53

JT

故〃x)=2sin(x+》+L

6

8.已知函数/(x)=2cos]2x+gj+l.

⑴求〃x)的单调递增区间；

⑵求“X)在上的值域.

271

【答案】(1)--71+ATI,--+A：7i,keZ

3o

⑵[T2]

【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得.

TTTT47r

（2）由X的取值范围求出+y,y,再根据余弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）/（x）=2cos^2x+y^+l,-7i+2kji<2x+y<2foi,A:eZ,

2兀

解得——TI+kR<x<---&kit,keZ,

36

2TT

所以函数的单调递增区间为-刀兀+航,-z+E,kwZ.

3o

/TT1TTTTTT47r

（2）/（x）=2cos^2x+yj+l,因为0,—,所以+,

+e-1,^-,贝I]2cos[2x+；1+l£[—1,2],

即函数/（X）在0g上的值域为[T2].

9.已知函数/（x）=V6sinxcosx-V2sin2x+,

⑴求〃%）的单调递减区间；

⑵若xe-患,关于x的不等式切怎+。+/（尤+。24后恒成立，求实数加的取值范

围.

【答案】⑴号+也,KeZ（2）[9,+8）

【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得.

的解析式，依题意可得关于的不等式

（2）首先得到了X+eJX

mcosx>5-2cos上恒成立，参变分离结合函数的单调性求出

———2cOSXI,即可得解.

COSXmax

【详解】（1）/（x）=V6sinxcosx-V2sin2x+-^-

V6.K1~cos2xV2

---sin2x—■\/2x----------1----

222

—sin2x+—cos2x=V2f—sin2x+-cos2x

=V2sinf2x+^-

22I22

7T元37r兀2IT

令一+2kji<2x+—<---F2kn,kGZ,解得—+kit<x<---Fkijke.Z,

26263

jr2冗

所以函数的单调递减区间为-+kn,—+kn，4eZ.

63

（2）因为/（工）二五5由]2'+己），

=>/2sinx+—=5/2cosx,

fx+=V2sin2x+互71+四71=5/2cos2x,

[l66

TTTT

因为当xe,关于x的不等式时+/+24&恒成立,

o3r?

即关于X的不等式加收COSX+亚cos2x24也在一公不上恒成立,

o5

兀71

即关于工的不等式以cosx+cos2xN4在-二，7上恒成立，

63

,.7C兀.._...、

即关于工的不等式加cosx25-2cos2%在一二,彳上怛成乂，

o3

一、t兀兀冗15-7171tt一八、

因为＜:,所以COSXW-51,所以加2-2cosx在一上恒成",

05cosxo3

因为y=*5-2x在1,1上单调递减，所以

---2cosxI=9,所以加之9,

XCOSXmax

即实数加的取值范围为［9,+8).

10.求函数目=J-2cos2x+3cosx-1+lg（36-J）的定义域.

71715兀,

【答案】I-6,-yuu——,6

~3933

【分析】根据函数特征得到不等式，求出答案.

1I

-2cos2x+3cosx-1>0—<COSX<1

【详解】欲求函数定义域，则由，解得2

2

36-X>0-6<x<6

--+2hi<x<—+2kTi（kwZ）,

解得33l乙取左二—1,0,1,

-6<x<6

可得到定义域为16,-gu-j,ju

考点02:三角函数性质的考察

1、求三角函数的周期，一般有三种方法

(1)定义法：直接利用周期函数的定义求周期.

(2)公式法，即将函数化为y=Nsin(@x+°)+8或歹=Zcos(<yx+o)+8的形式，再

2兀

利用7=;―求得，j=tan®x+°)的最小正周期为工

I口I依I

(3)图象法：利用三角函数图象的特征求周期.如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周

期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.相邻两对称轴间的距离为工，相邻两对称中心

2

间的距离也为工,相邻对称轴和对称中心间的距离也为二，函数的对称轴一定经过图象的最

24

高点或最低点.

2、与三角函数的奇偶性有关的问题

(1)对于函数y=4sin(@x+0)U>0,ft)>0)：0=左兀时，函数y=Zsin(@x+0)为奇函

数；0=左兀+]■时，函数y=/sin(公r+0)为偶函数.

(2)对于函数y=4cos3x+0)(4>0,口>0)：。=左兀时，函数y=/cos(公r+0)为偶

函数；0=左兀+]■时，函数y=/cos(公r+0)为奇函数.

3、与三角函数的单调性有关的问题

(1)求函数y=4sin(3+0)(4>0,刃w0)或y=4cos(s+0)(4>0,Gw0)的单调

区间，一般将视作整体，代入》=5亩工或丁=(^05%相关的单调区间所对应的不等

式，解之即得.

(2)当口<0时，先利用诱导公式将歹=4sin(5+0)(/>O0<O)变形为

y=-Asin(-6t;x-(p)

(/>0,G<0),将歹=4COS(S+0)(Z>O,G<O)变形为

歹二4cos(—GX—0)(/>0,刃<0),再求函数的单调区间.

(3)当N<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆.口

4、三角函数对称轴和对称中心的求解方法

(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于*轴的直线，对

称中心是图象与X轴的交点，即函数的零点.

kn9十九,/kn(p\

(2)公式法：函数y=4sin3x+0)的对称轴为x，对称中心为(，0|；

coco2co\co(O/

函数y=Zcos(sr+0)的对称轴为^=生一区,对称中心为kn(pn\

+—,0;函数『=4tanQx

(00)co(D2(o/

kn(p

+如的对称中心为kCL.

2(oco

CD

11.若函数/(x)=asin0x+cosax的对称轴方程为％=加+弓，keZ,则/—71)

A.显

B.正C.-V2D.V2

22

【答案】D

co=l

【分析】根据三角恒等变换可化简函数解析式，进而可得兀，代入即可得解.

1

【详解】由已知/(x)=asina)x+cosd>x=+1sin(ox+0),且tan。

a

1八

si"=「

yja+1

冗

由对称轴为.2“则相邻两条对称轴间距离为兀，即函数的最小正周期为7』,

令@=|^=1,/(x)=V«2+lsin(x+0),

兀

X+0=2+左］71,左］£Z,

—

贝［jx=万一0+4兀，艮［］—+k［K=—+kuf左EZ,E］£Z,

贝!J夕=+(左一')兀，左EZ,勺£Z,

又sme=^^=>0,

V6Z+1

7T

所以夕=^+鱼兀，心为偶数,

则/(耳=瓜瓦］71

x+—+左2兀=V2sinlx+二|,

44

CDTl71兀

则/V2sin=啦,

44

故选：D.

12.已知函数/(x)=4sin(0x+e)(/>0,。>0)的部分图象如图.若X]+2x2=0,则cos20=

【分析】由图可知/'(再)=/'(工2)=0,求出再,乙,再由国+2%=0可求出。，从而可求出

cos2°.

【详解】由图知/(』)=/(X2)=0,

所以GM+0=2标,。%2+0=2历1+兀,keZ,

「一…2kn-(p2左兀+兀一0,~

所以再=-----匕，x=------------匕，左eZ,

CD2CD

,32kn-(pC2左兀+兀一0八/口22

由再+2^2------------F2'--------------=0,(p——7i+2,/CJI,kwZ,

CDCD3

(2、41

所以cos20=cos2]§兀+2析I=cos§兀=--.

故选：C.

13.已知函数/(x)=sin3(0x+?](0>O)的最小正周期为n.则/⑺在的最小值

是()

A.--B.--C.0D.-

222

【答案】A

【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出。，得/(x)=Tin2x,再整体求出

77TT

xe时，2x的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.

12o

(兀、27r2

【详解】/(x)=sin3CDX+—=sin(36?x+7i)=-sin3cox,由7=——二冗得①=—,

V3J3a)3

71717171

即/(x)=-sin2x当工£时,2xG

12'669i

画出/(x)=-sin2x图象，如下图,

由图可知，/(x)=-sin2尤在上递减,

所以，当x=3时，/(x).=-sin-=-^

6J、/min32

故选：A

14.已知函数/(切=25缶卜：+"|，08%,则()

A./(x)的最小正周期为兀

B.不等式〃x”0的解集为卜卜-gwxW航丘z}

C.在区间常上单调递减

D.为了得到函数/(x)的图象，只要把函数y=sin2x曲线上所有的点向左平移三个单位

长度，再向上平移心个单位长度

2

【答案】AB

【分析】先应用两角和差及辅助角公式化简解析式，再结合周期判断A,再解三角不等式判

断B,整体代换判断单调性判断C,根据三角函数图像平移判断D即可

【详解】

J.i百)]V3

/(x)=2sinx+—cosx=2sinxx—+cosxx——cosx=sinxcosx+V3COS2X=—sin2x+-^-(1+cos2x)=sin12x+y

\227

对于A.最小正周期为兀，正确；

对于B.sinf2x+—^+>0,BPsinf2x+—,2kn-—<2x+—<2kit+—,所以解

(3j23J2333

集为[引左兀一gvxW兀+3,左ez1,正确；

I-(713兀)rrc兀(兀兀3兀兀\c兀(57111兀1“/\—d一一

对于C.因为工£：,丁，即2%+不£—+~,—卜2x+^w~7^~7~，/(%)在该区间

[44)312323)3(6o)

不单调递减，错误；

对于D.为了得到函数/(x)的图象，只要把函数N=sin2x上所有的点向左平移g个单位长

0

度，再向上平移好个单位长度，错误；

2

故选：AB.

15.已知函数/(》)=7^山出0%-3«)$2工，则下列说法正确的是()

B.函数“X)的最小正周期为兀

C.函数〃x)的图象的对称轴方程为片方+g(左eZ)

D.函数/(x)的图象可由y=sin2x的图象向右平移三单位长度得到

【答案】BCD

【分析】对于A：根据三角函数图象变换分析求解；对于B：根据正弦型函数周期公式运算

求解；对于C：以2》-?为整体，结合正弦函数的对称性运算求解；对于D：根据三角函数

0

图象变换分析求解.

由题意可得：/(x)=^-sin2x-^-cos2x=一.

【详解】对于选项A：sin12%故A错误;

对于选项B：函数/(%)的最小正周期为7=|=兀，故B正确；

对于选项C：^2x——=kjt-\--,kGZ,解得％=工+；,左eZ,故C正确；

6223

7T

对于选项D：y=sin2x的图象向右平移;单位长度，

可得y=sin2(x-^|)=sin(2x-e)=/(x),故D正确.

故选：BCD.

fx=x

16.已知函数/(x/)=(2x+6-siny)2+(x-cosy)2,当且仅当＜n,/(%,歹)取得最小值，则

下列说法正确的有()

A.g(y)=/(O,y)的最大值为37

B.Mx)=f(x,O)的最小值为—

C.F(x)=/(x,%)在x=%处导数等于0

D.当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4

【答案】BC

【分析】由已知可得g(y)=37-12siny可判断A；〃(x)=/(x,0)=5(x+£)2+?可判断B；由已

(〃=2x+6

知可得P(x)=/(x,%)在X=x。处导数等于o,判断c；设，所以点"(％”)的轨迹

[m=x

[a=cosy

为直线〃=2加+6,令'.，则N(a,6)的轨迹方程为/+/=1,进而求最小值判断D.

[b=siny

【详解】对于A：g(y)=f(0,1y)=(6-siny)2+(-cosy)2=36-12sinj;+sin2y+cos2=37-12sinj;<49,

当siny=-1时，最大值为49,故A错误；

116464

对于B：h(x)=/(尤,0)=(2%+6—sin0)2+(x-cos0)2=5x2+22x+37=5(x+y)2+y>y,

当且仅当x=-?■时取等号，故B正确；

fx=x

对于C：因为函数/(x/)=(2x+6-siny)2+a-cosy)2,当且仅当｛n,/('/)取得最小值，

所以/0)=/(%,%)在x=%o处导数等于0,故C正确；

[n=2x+6

对于D：设I,所以点的轨迹为直线〃=2机+6,

[m=x

[a=cosy

令，.,则N(a/)的轨迹方程为"+62=I,

[b=siny

又f(x,y)=(2x+6-siny)2+(x-cosy)2表示点Af与N的距离的平方，

|2x0-0+6|.6।

又心吐蓝-I,

/(Xj)min=(£T)2,故D错误.

故选：BC.

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