湖南省联考联合体2024-2025学年高一年级上册第一次联考数学试卷

名校联考联合体2024年秋季高一第一次联考

数学

时量：120分钟满分：150分

一,选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

M-]1x\1-2<x<2,集合N={-1,0,1,2},

1.已知集合则/nN=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1,2)

C.x\-l<x<2D.x\-l<x<2

2.已知命题夕:Dx£R,+1]>1,命题夕：三工〉0,x3=x，则（）

A.夕是真命题，9是假命题B.〃是假命题，乡是真命题

C.〃和夕都是真命题D.。和9都是假命题

3.使9成立的一个充分不必要条件的是（)

A.x<3B.0<x<3-3<x<3D.x>0

4.下列命题为真命题的是（）

1

A.若a>b,贝！JQ?B.若a>b，贝Ua，>be

....八b+1b

若a>b,贝！J—<一D.右。〉6〉0,贝U-->-

ab。+1a

1

5已知集合幺=k|0<x<1},B=\yy>—\,则(

2

A.P1B.2，+C°C.(0,+e)D.°4

6.已知集合A满足{1,2}口幺口{1,2,3,4,5},且3e/,则满足条件的集合A有（）

A.2个B.4个C.8个D.16个

7.已知正实数满足Q+6=3ab,则Q+4b的最小值为（

8

A.9B.8C.3D.-

3

Ik1,kez[,5==：+左ez1,则下列结论中正确的是（

8.设集合/=XX——l—)

136

A.A=BB.4uB

CAnBD.403=0

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知不等式af+bY+cwo的解集为1或XN3},则下列结论正确的是（）

A.a>0B.a+b+c>0

C.4a—2b+c<0D.ex?一加+^<0的解集为{xx

10.已知a〉0,b>Q,且a+2Z>=2,则下列说法正确的是（）

,111c

A.ab>—B,-+——>2

2a2b

2

c./+〃的最小值为《D.y[^+y[2b<2

11.对任意A,B^R,记/△5={x|xeND8,x史Nc5},并称448为集合A,5的对称差.例如：

若幺={1,2,3},3={2,3,4},则/△§={1,4}.下列命题为真命题的是（）

A.若力={x|x>0},B={x|x<2},则NAB={x|xN2或x«0}

B.若ZqR,且/△{1,2,3}=4,则Nu{1,2,3}

C.若A,则/△45=条（22^）

D.若A,B,CaR,贝ij（/△5）Z\C=

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知集合2={4,-27〃},5={4,"户},且/=3，则"/的值为.

13.若命题：“VxeR,不等式x2+（a-2）x+1>0成立”为假命题，则实数。的取值范围是.

14.设集合2={x|x2—6x+8<0},5={x|蛇一1=0},若力08=5,则实数。的取值范围为

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.已知集合尸={x|a+lWxV2a+1},Q=[x\-2<x<5],其中实数q>0.

⑴若a=3,求集合(41P)Pl。；

(2)若尸[1。=0,求实数。的取值范围.

16.已知集合2={》|m+l<x<=^x|x2-5x-6<o1.

(1)若“命题。与无€/,工€8”是真命题，求实数机的取值范围；

(2)若“xeZ”是“xeB”的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

17.如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为C,有两条与圆形景观相切且互相垂直的

道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，

便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道48.

设点A到道路2的距离为。米，点B到道路1的距离为b米.

道路2。一_、

。|A道路1

(1)当a=8,求b的值；

(2)求VZ08面积的最大值，并求此时a,b的值.

18.已知函数〉=口/一(4+1)》+1,(Z6R.

(1)若a=2,当x>l时，求z=^—2x+10的最小值;

x-1

(2)求关于X的不等式办2—(4+1卜+1〉0(4〉0)的解集；

⑶当。<0时，已知Z={x|—2<x<—l},8={x[y+a>0},若AjB,求。的取值范围.

19.已知二次函数y=ax?+bx+l,对VxeR,都有歹》0,且当x=-2时，丁=0.

(1)求。，b的值；

⑵存在feR,对任意xe{x,VxWm+/},都有yWxT+1,求正实数加的最大值；

⑶若％=%2+如+1。=1,2),是否存在正整数再<々，使得为正整数？

V2f

名校联考联合体2024年秋季高一第一次联考

数学

时量：120分钟满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.）

1.已知集合拉=3一2<、<2},集合N={-1,0,1,2},则（）

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{x|-l<xK2}D,^X|-1<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的定义直接求解即可.

【详解】因为河=卜卜2cx<2},N={-l,0,l,2},

所以XcN={—1,0,1},故A正确.

故选：A

2.已知命题?：VxeR,>1,命题q：mx〉0,x，=x，贝U（）

A.。是真命题，q是假命题B.。是假命题，q是真命题

c.2和q都是真命题D.。和q都是假命题

【答案】B

【解析】

【分析】举出反例得到。为假命题，举出实例得到4为真命题.

【详解】对于命题。：当x=0时，卜+1|=1,故。为假命题；

对于命题q：当x=i时，x3=1=x>故q为真命题.

故选：B.

3.使/<9成立的一个充分不必要条件的是（）

A.x<3B.0<X<3C.-3<x<3D.x>0

【答案】B

【解析】

【分析】首先解不等式Y<9得到-3<x<3,根据题意找到｛耳-3cx<3｝的一个真子集即可.

【详解】由/<9得—3<x<3,

对于A,因为｛#3<》<3｝是｛#<3｝的真子集，所以x<3是—3<x<3的必要不充分条件，故A错误；

对于B,因为｛x[0<x<3｝是｛43<%<3｝的真子集，所以0<x<3是—3<x<3的充分不必要条件，

故B正确；

对于C,因为｛巾3<》<3｝是｛H-3VXW3｝的真子集，所以-3Vxv3是—3<x<3的必要不充分条件,

故C错误；

对于D,因为｛x|-3<x<3｝与｛x\x>0｝不是包含关系，所以x>0是-3<x<3的既不充分也不必要条件，

故D错误.

故选：B.

4.下列命题为真命题的是（）

A.若。>6,则/>/B.若。>b,贝!1〃°2>602

C.若〃>6,则工〈工D.若a〉b〉0,则^-7>—

ab。+1a

【答案】D

【解析】

【分析】对A,B,C举反例说明，对D,作差法求解判断.

【详解】若取Q=0,b=-19则/<62,故A错误;

若a>b,当。=0时，贝故B错误;

若a>b,取。=1,b=-1,则一>一，故C错误;

ab

b+1b(6+l)a—(a+l)ba-b

右a>b>0,则------->0,故D正确.

Q+1a

故选：D.

5.已知集合/={乂0<%<1},3=<w〉；>,则4UB=()

C.(0,+8)

【答案】c

【解析】

【分析】由并集的概念即可直接得答案.

【详解】因为Z=｛x[0<x<l｝,5=«”，

所以ND5=（0,+8）.

故选：C.

6.已知集合A满足｛1,2｝=月口｛1,2,3,4,5｝,且3金幺，则满足条件的集合A有（）

A.2个B.4个C.8个D.16个

【答案】B

【解析】

【分析】根据子集和真子集的概念求解即可.

【详解】由题意可知，集合A中一定包含元素1,2,一定不包含元素3,

且A是｛1,2,3,4,5｝的真子集，所以4=｛1,2｝或｛1,2,4｝或｛1,2,5｝或｛1,2,4,5｝,

即满足条件的集合A有4个.

故选：B.

7.已知正实数满足6=,则。+46的最小值为（）

8

A.9B.8C.3D.-

3

【答案】C

【解析】

【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可

【详解】由条件知，+?=3,

当且仅当a=2Z>=1时取等号.

故选：C

k\IIk\

8.设集合/二（丫归=彳+二^6%>,B=\x\x=--V-,keZ\,则下列结论中正确的是（）

36I63

A.A=BB.4uB

C.A^BD.AQB=0

【答案】B

【解析】

【分析】将两集合结构化为一致即可判断.

【详解】N==g+左ez1=<xx=2k；'#eZ>

k+2

B=<x\x=—+—,k^Z<xx=,kEZ>

I1636

2左+1代表所有奇数，左+2代表所有整数

所以ZuB

故选:B

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知不等式办2+乐+°<0的解集为{x|x4-1或x23},则下列结论正确的是（）

A.a>0B.a+b+c>0

c.4a-2b+c<0D.c?—bx+a<0的解集为<§或>

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得-1和3为方程ax2+bx+c=0的根，且a<0,进而结合韦达定理得到

b=-2a

c,进而判断ABC；将不等式化简可得，求解即可判断D.

c=-3a

【详解】由题意得，一1和3为方程〃/+乐+。=0的根，且〃<0,

二匚即〔b=-2a

则故A错误;

ac=-3a

a+b+c=a-2a-3a=-4a>0,故B正确;

4〃—2Z)+C=4Q+4Q—3Q=5Q<0,故C正确;

由ex2一bx+。<0，即一3。12+2ax+a<0，

即3x2—2x—1<0，解得—；<X<1,故D错误.

故选：BC.

10.已知a>0,b>0,且a+2Z>=2,则下列说法正确的是（）

,111c

A.ab之一B.—I--之2

2a2b

2

c./+〃的最小值为《D.G+J办42

【答案】BD

【解析】

【分析】根据基本不等式及其变形可判断A：利用常值代换可判断B；利用消元法可判断C；根据重要不等

式2ab4/+廿得到。+办《^2（a2+b2）,代入即可判断D.

2

【详解】对于A,=1,即

当且仅当。=2^,即。=1,8=,时等号成立，故A错误：

2

K…11If11Y2ba1c

对于B,因为一+弁=二一+二T（。+23）=彳2+—+-->2,

a2b2v672bJ2（a2bJ

当且仅当。=26,即a=l,Z>=L时等号成立，故B正确；

2

对于C,因为a+2b=2,所以。=2-26,

'2-2b>0

因为。>0,b>Q,所以1八，则0<，<1,

所以^+62=（2—%）2+02=562-85+4=5（6一+1,

44

当6=《时，，+方2取最小值不，故c错误；

对于D,由2仍4/+，2得（a+g2<2,2+62）,即a+A«j2（a2+/）,

所以G+病4小2（五『+（回/=j2（a+26）=2,

当且仅当〃'=>/工，即a=l,6时等号成立，故D正确.

故选：BD.

11.对任意A,5cR,记45={乂》6幺。民XENCB},并称ZAB为集合A,5的对称差.例如:

若/={1,2,3},6={2,3,4},则NAB={1,4}.下列命题为真命题的是（）

A.若/={x|x>0},B={x\x<2},则/={x|x22或xV0}

B.若Z=R,且♦△{1,2,3}U幺,则N={1,2,3}

C.若A,BjR,则/△48=«（幺△6）

D.若A,B,CCR,贝=

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，求出幺。民Nc5,根据定义得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，可利用韦恩

图进行说明.

【详解】A选项，Nu8=R,4门8={叱）<x<2},故NZ\B={x|xN2或x<0},A正确；

B选项,AA{1,2,3}^A,不妨设/={1,2,3,4},

则ZU{L2,3}={1,2,3,4},ZC{1,2,3}={1,2,3},故ZA{1,2,3}={4}=3,

但不满足幺口{1,2,3},B错误；

C选项，当且/与2不是包含关系时，如图1,

①为集合{乂xeN且xeNc8},②为集合{x|xe3且xeNc8},

③为集合{x|xeNc8},①为集合{乂X€^（238）},

表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集，

Zc18为集合①，故NA'B为集合③④的并集，

^△8为集合①②的并集，故％（ZAB）为集合③④的并集，故=

图2

当Zc8=0时，如图2,①为集合{x|xeQ(Nu8)},表示集合①和集合A的并集,

2口18表示集合①和集合A的并集，2门18为集合人，故为集合①，

为集合46的并集，故/(人与为集合①，故4％8=%(48)；

图3

如图3,当4口5时，表示集合①，Nc%8为集合0,

故幺A'B为集合①和集合A的并集，

AAB为集合48的并集去掉A,B的交集，即集合②部分，

故生(AAB)为集合①和集合A的并集，故4&B='(A®；

图4

如图4,当时，②为{x|xeN且xeNc8},①为{x|xeQ(Nu8)},

表示集合①和②的并集，=

Nc%8表示集合②，故为集合①和集合8的并集，

AAB为集合A,B的并集去掉A,B的交集，即集合②部分，

故％(45)为集合①和集合B的并集，故4&B=%(人为.

综上，C正确；

D选项，画韦恩图，如下：

情况较多，我们就第一个图进行说明，

①为{x|xeN且且xeZcC},

②为{x|xe3且且xe8c。},

③为{x|xeNc3且x^ZcBcC},④为{x|xeQ(ZuC)},

⑤为{x|xeNcC且xeNcBcC},⑥为{x|xeNc8cC},

⑦为{x|xe5cC且xeNcBcC},⑧为{x|xeC且x^ZplC且xe8cC},

NAB表示集合①⑤②⑦的并集，故(NAB'C表示集合①②⑥⑧的并集，

B&C表示集合②③⑤⑧的并集，44BAC)表示集合①②⑥⑧的并集，

故=4A(BAC),

当4瓦。满足其他关系时，经检验，也满足(48)AC=ZA(BAC),故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解,

其直观易懂，可大大减少思维量.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知集合幺={4,一2根},8={4,加2},且2=3,则机的值为.

【答案】0

【解析】

【分析】根据集合相等，列出关于加的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.

【详解】因为4=5,所以相2=一2根，解得机=0或一2,

当〃z=-2时，病=-2加=4,

而集合的元素具有互异性，故加力-2,所以机=0,

故答案为：0

13.若命题：“VxeR,不等式一+("2卜+；〉0成立"为假命题，则实数。的取值范围是.

【答案】或。23}

【解析】

【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R上恒成立求解即可.

【详解】由题意得：3xeR,不等式/+("2)x+；W0成立为真命题，

21

所以△?(),即(a—2)-4x->0,解得或a23.

所以实数。的取值范围是或a23}.

故答案为：或a»3}.

14.设集合/={x|6x+8<0},8={x|ax-1=0},若=则实数。的取值范围为

【答案

【解析】

【分析】先求出集合A,结合=5可得进而分a=0和a两种情况讨论求解即可.

【详解】Z={x|X2-6X+8<0}={2,4},

由=得87Z,

当Q=0时，B=0,符号题意；

当a70时，5={x|ax-l=0

则工=2或！=4,解得口=」或口=」.

aa24

综上所述，则实数0的取值范围为

故答案为：jo,—.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知集合尸={x|a+lWxV2a+1},Q=[x\-2<x<5],其中实数q>0.

⑴若a=3,求集合(41P)Pl。；

(2)若尸口。=0,求实数。的取值范围.

【答案】(1)(«P)n0={x1—2Wx<4}

(2){a|a>4}.

【解析】

【分析】(1)根据集合的交集和补集运算求解；

(2)根据集合的交集的定义及空集的概念求解.

【小问1详解】

当a=3时，集合尸={x|4WxW7},QP={<4或%>7},

又集合°={X「2WX<5},所以(aP)n0={x|—2WX<4}.

【小问2详解】

因为。>0,所以。+1<2。+1,则集合P非空，

因为尸口。=0,所以a+l>5或2a+l<—2,

3...

解得。>4或,又。>0,所以。>4,

2

故实数。的取值范围是{4a>4}.

16.已知集合/={x|m+l<x<=^x|x2-5x-6<o1.

(1)若“命题。《工€/,天€8”是真命题，求实数机的取值范围；

(2)若“xeZ”是“xe3”的充分不必要条件，求实数机的取值范围.

【答案】⑴[m\2<m<5]

(2)

【解析】

【分析】(1)由题意可知/口5力0,进而求解；

(2)由题意可得A是2的真子集，分类讨论求解即可.

【小问1详解】

8={x|x2-5x-6<0|=|-1<x<6|,

因为命题夕与^^4不£8是真命题，则幺口5工0,

77/4-1<2"l—17〃+1<2m-1

所以或4

—1<2m-1<6-1<777+1<6

解得2<7〃<5,

所以实数7〃的取值范围为{7〃|2<7〃<5}.

【小问2详解】

（2）若“xe/”是“xe3”的充分不必要条件，则A是8的真子集,

当8=0时，m+即〃/M2；

〃？+1<2?n-1p7/+l<2ni-1

当8工0时，有<7〃+1之一1或<7〃+l>—1,

2ni-1<62ni-1<6

解得2<77/<—.

2

综上所述，7〃的取值范围是）〃|7〃w|j.

17.如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为C,有两条与圆形景观相切且互相垂直的

道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，

便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.

设点A到道路2的距离为。米，点8到道路1的距离为6米.

（1）当〃=8,求b的值；

（2）求V4OB面积的最大值，并求此时〃，5的值.

【答案】（1）z>=—

3

（2）最大值为300—200五平方米，4=6=20-10亚米.

【解析】

【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式a，+200=20（a+6）,

将a=8代入即可求出6的值；

（2）利用（1）中得到的关系式。6+200=20（。+分）结合基本不等式求出的范围即可求出面积的最大

值以及此时。，，的值.

【小问1详解】

设圆C与道路1、道路2、直线45的切点分为。，E,F,连接8,CE,CF,

道路外_______

O\AD道路1

由切线长定理可知班：=3尸，AF=AD,则+=

由题知OD_LOE且OD-OE-10,OA-a,OB-b,

即（10-4）+（10-。）=力2+。2,化简得+200=20（。+力入①

把a=8代入①，解得。=W；

3

【小问2详解】

由题有0<。<10,o<z><io,

因为a+bN2y[^，所以a6+200=20（a+Z>）N40V^，

令f=>/^（0<r<10）,则产+200N40/,解得0<Y20—10匹，

所以0<仍M600-4000，

当且仅当a=b时等号成立，即/+200=40°，

解得。=6=20-10A/I，此时0<。<10，0<6<10，

则§/\AOB~万ab<300—200V2,

所以V/O3的面积的最大值为300-200亚平方米，此时a=6=20—10五米.

18.已知函数了=仃2-（。+1）》+1,aeR.

(1)若4=2,当X>1时，求2=--------的最小值;

x-1

(2)求关于x的不等式水2-(°+1"+1〉0(。>0)的解集：

(3)当a<0时，已知幺={x|-24x4-l},5={x[y+a>0},若力之8,求。的取值范围.

【答案】(1)7(2)答案见解析

、

3

(3)--<。<0

7

【解析】

【分析】(1)变形后，利用基本不等式求出最小值；

(2)因式分解，得到y=(ax—l)(x—l),分，〉1,1<1和1=1三种情况，得到不等式的解集：

aaa

(3)y+a>0化为ax2-(a+i)x+l+a〉0,根据ZqB,转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函

数的开口方向，得到不等式，求出答案.

【小问1详解】

当a=2时，-=."2x+10=2x2-5x+ll=2(x—l]—(x—1)+8

x-1x-1x-1

=2(.”1)+展7H2(1).弓7=7,

Q

当且仅当2(x—1)=——，即x=3时取等号，

x-1

故当x>l时，N=.—2X+11的最小值为7

x-1

【小问2详解】

由题知J=-(<7+l)x+l=(<7X-l)(X-l),

当,>1,即0<4<1时，解原不等式得X>工或X<1,

aa

当!<1,即时，解原不等式得x<1或x>l,

aa

当'=1,即4=1时，解原不等式得XW1.

a

综上,

当。>1时，原不等式解集为｛x|x<1或x>l｝：

a

当0<。<1时，原不等式解集为｛x|x<l或x>,｝：

a

当a=l时，原不等式解集为卜1xw".

【小问3详解】

不等式y+a>0可化为ax?-（a+l）x+l+<?>0,

因为N=3,所以不等式ax2-（a+i）x+l+。〉0在—24x4—1时恒成立，

4<7+2（<7+1）+1+<7>0

又。<0,结合二次函数图象知，，。+（。+1）+1+。〉0,解得—2<。<0.