第06讲 函数的单调性与最值（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第06讲函数的单调性与最值【人教A版2019】模块一模块一函数单调性的判断1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：名称定义图形表示几何意义单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的.单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的.)在区间D上单调递减.(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：函数单调性一次函数y=ax+b

(a≠0)a>0时，在R上单调递增；

a<0时，在R上单调递减.

反比例函数a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)；

a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,).二次函数y=a(x-m)²+n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)；

a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m].2．求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.3．判断函数单调性的方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)简单函数单调性；(4)单调性的四则运算：增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减；(5)复合函数：“同增异减”.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1.1】（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）函数f(x)=−x2A．(−∞,3] B．3,4 C．2,3 D．[3,+∞)【例1.2】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数fx=x+2x−1，则函数fA．在−2,+∞上单调递增 B．在−2,+C．在1,+∞上单调递增 D．在1,+∞上单调递减【变式1.1】（23-24高一上·河南安阳·期中）若定义在R上的函数fx满足fx=3fA．−∞,−10和0,1 B．−C．−10,0和1,+∞ D．−5,0和【变式1.2】（2024高一·全国·课后作业）下列命题正确的是（

）A．函数y=x2在R上是增函数 B．函数y=1C．函数y=x2和函数y=x的单调性相同 D．函数y=模块模块二函数单调性的应用1．函数单调性的应用函数单调性的主要应用有以下几个方面：(1)利用函数的单调性求参数；(2)利用函数的单调性比较大小；(3)利用函数的单调性解不等式.2．利用函数的单调性求参数的方法(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.需注意，若一个函数在区间[a,b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.3．利用函数的单调性比较大小的方法利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量的值转化到同一个单调区间上.

4．利用函数的单调性解不等式的方法解关于的不等式时，可利用函数的单调性脱去“f”，转化不等式，进行求解即可.【题型2已知单调性求参】【例2.1】（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知函数fx=1−ax在区间−1,2上单调递增，则实数aA．−∞,0 C．−∞,12 D．0,12【例2.2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数fxA．−3≤a≤0 B．−3≤a≤−2 C．a≤−2 D．a≤0【变式2.1】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）若函数f(x)=x2+2x+ax+1在[1,+∞A．(−∞,4] B．[0,1] C．【变式2.2】（23-24高二下·河南·期末）已知函数f(x)=ax2+x−3，若对任意的x1,x2A．(−∞,1) B．(−∞,1] C．【题型3利用函数的单调性比较大小】【例3.1】（2024高一上·全国·专题练习）已知f2−x=fx+2，且fx在0,2上单调递减，则f1，fA．f52<fC．f72<f【例3.2】（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数fx在3,+∞上单调递减，且fx的图象关于直线x=3对称，则a=f0.2，A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c【变式3.1】（2024高一·全国·专题练习）已知函数fx=4−x2，若0<x1<xA．fx1xC．fx3x【变式3.2】（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f1+x=f1−x，且∀x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【题型4利用函数的单调性解不等式】【例4.1】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）定义在(0,+∞)上的函数y=f(x)满足：∀x1,x2∈(0,+∞A．(12,+∞) B．(0,12) C．(0,4) 【例4.2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，当x>0时，f(x)>1，且f(2)=5，则关于x的不等式f(x)+f(4−3x)<6的解集为（

A．1,+∞ B．2,+∞ C．−∞，【变式4.1】（23-24高一上·安徽·期末）已知函数fx的定义域为0,+∞，∀x，y∈0,+∞，总有fx(1)判断并证明函数fx(2)若f12=3，求解关于x【变式4.2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数fx的定义域为0,+∞，对任意正实数x1，x2都有fx(1)求f1(2)试判断fx(3)若f6x2模块模块三函数的最值1．利用函数单调性求最值的常用结论(1)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；

(2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.2．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.【题型5求函数的最值】【例5.1】（23-24高一下·广东广州·期中）对任意实数x，规定y取4−x,x+2,136−x三个值中的最小值，则函数yA．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，最小值1C．有最大值1，无最小值 D．无最大值，无最小值【例5.2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）若x≥4，则函数fx=x+3A．23 B．23+1 【变式5.1】（23-24高三·河南郑州·阶段练习）已知函数fx满f2−x=f2+x，当（1）求fx（2）求fx在2,4【变式5.2】（23-24高一上·宁夏银川·期末）设函数fx=x2−2ax+3.(1)当a=1(2)设函数fx在区间−2,3的最小值为ga，求【题型6根据函数的最值求参数】【例6.1】（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数 y=3x+2x−1,x∈(1,m] A．-1 B．1 C．2 D．3【例6.2】（23-24高一上·浙江·期中）已知函数fx=x−2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fA．0 B．±12 C．±2【变式6.1】（23-24高一上·河南周口·阶段练习）已知函数fx（1）求证：fx在0,+∞（2）若fx在[1，3]上的最大值是最小值的2倍，求a【变式6.2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知f(x)=(1)根据单调性的定义证明函数f(x)在区间(2,+∞(2)若函数g(x)=2x+1x−2,x∈[3,a]（a>3一、单选题1．（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数y=1−−x2A．0,3 B．−∞,3 C．3,6 2．（23-24高一上·湖北·期中）已知函数fx=2x−1，x∈−2,1A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值C．既有最小值又有最大值 D．既无最小值，又无最大值3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）若函数fx=x2+2ax+3,x≤1A．−3,−1 B．−C．−1,0 D．−3,04．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数fx=x2−1,x≤1axA．112,+∞C．112,15．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数fx的图象关于直线x=1对称，当x1≠x2且x1，x2∈(1,+∞)时，fx2−fx1A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c6．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数f(x)=x+4x(x>0)，记该函数在区间[t−1,t](t>1)上的最大值与最小值的差值为g(t)，则g(t)A．17−2 B．1 C．13 7．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知定义在0,+∞上的函数fx满足f2=4，对任意的x1,x2∈A．3,7 B．−∞,5 C．5,+∞8．（23-24高三上·江西·期中）已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，当x>1时，f(x)<0，且对任意正数x，y，都有f(x⋅y)=f(x)+f(y)，f4=−1，给出下列四个说法：①f1=0；②函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；③f2+f12A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（23-24高一上·吉林白山·阶段练习）下列命题正确的是（

）A．若对于∀x1，x2∈R，x1≠B．若对于∀x1，x2∈R，x1≠C．若对于∀x∈R，都有fx+1<fx成立，则函数D．若对于∀x∈R，都有fx，gx为增函数，则函数y=f10．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知定义在0,+∞的函数fx满足：当x1≠xA．3fB．函数y=fxxC．函数y=xfx在区间0,+D．f11．（23-24高一上·江苏·单元测试）已知fx=3−2x，gx=A．最大值为3，最小值为−1B．最大值为7−27C．单调递增区间为−∞,2−7和1,3D．单调递增区间为−∞,0和1,3，单调递减区间为三、填空题12．（23-24高一上·河北保定·期末）若函数fx=x2−4ax−3在区间−4,+∞上单调递增，则实数13．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知mina,b=a,a≤bb,a>b，设f(x)=minx−2,−x2+4x−2，则函数f(x)的最大值是．14．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义在0,+∞上的函数fx满足x四、解答题15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数fx(1)证明：fx在2,6(2)求fx在2,616．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数f(x)=ax−bx+1(a,b∈R)(1)求a,b的值；(2)用定义法证明函数y=f(x)在区间(−1,+∞17．（23-24高一上·北京顺义·期中）已知函数fx(1)利用函数的单调性定义证明函数f