新人教版高中数学必修第一册单调性与最大（小）值（第三课时）导学案含答案及解析

第三章函数的概念与性质-PAGE8-§3.2.1单调性与最大（小）值（第三课时）导学目标：1．掌握函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．（预习教材P76~P81，回答下列问题）问题：如图所示为函数，的图象，请写出该函数的值域．图1【知识点一】函数的最值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)，都有；(2)，使得；那么，我们称是函数的最大值(maximumvalue)．一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)，都有；(2)存在，使得；那么，我们称是函数的最小值(minimumvalue)．自我检测1：上面图1函数有无最值？若有，请说明．【知识点二】函数单调性的应用（1）求函数的最值若在区间上递增，则在区间有最小值，最大值；若在区间上递减，则在区间有最小值，最大值；自我检测2：指出函数在上的最值情况？（2）比较大小与解不等式若在区间上递增（递减）且()；若在区间上递递减且.().【知识点三】函数最值的求法（1）图像法（2）单调性法自我检测3：函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2题型一利用函数图像求函数的最值【例1-1】已知函数，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．【例1-2】已知函数.（1）作出该函数的图像；（2）求在上的值域.题型二利用函数的单调性求函数的最值【例2】已知函数，求函数在上的最值．题型三利用函数的单调性求解不等式【例3-1】若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【例3-2】函数在上单调递减且，且，则的取值范围为_________．1．函数在上()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值2．函数在上的最小值和最大值分别是（）A． B． C． D．，无最大值3．设函数是定义在上的函数，满足，且在上单调递增，则，的大小关系是（）A． B．C． D．无法比较4．已知函数，则下列说法正确的是()A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值C．有最大值，无最小值D．有最大值，最小值5．若函数的定义域为，且为增函数，，求的取值范围．§3.2.1单调性与最大（小）值（第三课时）参考答案导学目标：1．掌握函数的单调性，会利用函数单调性的性质解决一些简单问题．（预习教材P76~P81，回答下列问题）问题：如图所示为函数，的图象，请写出该函数的值域．【答案】图1【知识点一】函数的最值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)，都有；(2)，使得；那么，我们称是函数的最大值(maximumvalue)．一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)，都有；(2)存在，使得；那么，我们称是函数的最小值(minimumvalue)．自我检测1：上面图1函数有无最值？若有，请说明．【答案】；．【知识点二】函数单调性的应用（1）求函数的最值若在区间上递增，则在区间有最小值，最大值；若在区间上递减，则在区间有最小值，最大值；自我检测2：指出函数在上的最值情况？【答案】有最大值，无最小值．（2）比较大小与解不等式若在区间上递增（递减）且()；若在区间上递递减且.().【知识点三】函数最值的求法（1）图像法（2）单调性法自我检测3：函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2【答案】C题型一利用函数图像求函数的最值【例1-1】已知函数，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．【答案】，图象如图所示．由图象知，函数的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．【例1-2】已知函数.（1）作出该函数的图像；（2）求在上的值域.【答案】（1）（2）由图像可知：时，为单调减函数，所以时，，时，，即的值域为.题型二利用函数的单调性求函数的最值【例2】已知函数，求函数在上的最值．【答案】先证明函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)的单调性，设x1，x2是区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的任意两个实数，且x2>x1>eq\f(1,2)，f(x1)－f(x2)＝eq\f(3,2x1－1)－eq\f(3,2x2－1)＝eq\f(6x2－x1,2x1－12x2－1).由于x2>x1>eq\f(1,2)，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是单调递减的，所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝eq\f(1,3)．题型三利用函数的单调性求解不等式【例3-1】若的定义域为且在上是减函数，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】因为，

函的定义域为且在上是减函数，

可得．故选：B．【例3-2】函数在上单调递减且，且，则的取值范围为_________．【答案】由，可移项得,因为，不等式化为,在上是减函数，,解得又由,且，解，取交集，得综上所述,可得的取值范围为．1．函数在上()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值【答案】A2．函数在上的最小值和最大值分别是（）A． B． C． D．，无最大值【答案】A3．设函数是定义在上的函数，满足，且在上单调递增，则，的大小关系是（）A． B．C． D．无法比较【答案】B4．已