《1 数学建模活动的准备》（同步训练）高中数学必修-北师大版-2024-2025学年

《1数学建模活动的准备》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在数学建模活动中，以下哪项不是准备阶段的工作内容？A、确定问题背景B、收集数据C、编写程序D、进行模型验证2、在数学建模活动中，以下哪个步骤是确保模型能够反映现实问题的关键？A.收集数据B.建立模型C.模型验证D.模型推广3、在数学建模活动中，以下哪个步骤是首要的？（）A、数据收集与处理B、建立数学模型C、模型求解与验证D、撰写论文报告4、在进行数学建模活动时，以下哪个步骤是首先需要完成的？A.收集数据B.建立模型C.验证模型D.分析结果5、在进行数学建模活动时，以下哪个步骤是首先需要完成的？A.数据分析B.建立模型C.模型验证D.模型求解6、在数学建模活动中，以下哪项不是模型准备阶段的必要步骤？（）A.收集数据B.建立模型C.分析模型D.验证模型7、在数学建模活动中，以下哪种方法不是常用的数据处理方法？（）A、统计分析法B、图像分析法C、文字描述法D、实验法8、某市为了研究居民用水量与季节的关系，收集了一年的数据，并决定使用数学模型来预测未来的用水量。在建立模型前，研究小组需要确定影响用水量的主要因素。下列选项中，哪一项最不可能是主要影响因素？A.季节变化B.气温高低C.市民的年龄结构D.降雨量多少二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在数学建模活动中，以下哪些工具或方法可以帮助我们更好地进行数据的收集和分析？（）A、问卷调查B、统计分析软件C、在线数据平台D、实地考察E、文献研究2、在数学建模过程中，下列哪些步骤是必要的？A.定义问题B.收集数据C.建立模型D.模型求解E.结果分析F.模型检验3、以下哪些方法可以帮助学生在数学建模活动中提高解决问题的能力？（）A.分析问题，明确问题本质B.收集和整理数据C.学习并运用数学模型D.与他人合作交流E.进行模拟实验三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、假设某城市居民使用手机上网的比例为70%，现随机调查了该市100名居民，则预计使用手机上网的人数大约为______人。2、若函数y=2x+3的图像向上平移3、在数学建模活动中，为了确保模型的准确性，通常需要先对数据进行________，然后再进行模型建立和求解。四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题已知某工厂生产一种产品，其成本函数为Cx=10x+（1）求该产品的利润函数Lx（2）若要使得利润最大，工厂应生产多少件产品？第二题题目：某工厂生产一种产品，其成本函数为Cx=100+3（1）求该产品的利润函数Lx（2）若要使利润最大，工厂应生产多少件产品？最大利润是多少？第三题已知某工厂生产一种产品，其成本函数为Cx=2000+3x，其中x表示生产的产品数量，且（1）求该产品的利润函数Px（2）若要使利润最大，工厂应该生产多少件产品？第四题已知某城市的居民出行需求量与居民收入水平之间存在以下关系：居民出行需求量=a*居民收入水平^b（1）若已知当居民收入水平为10000元时，居民出行需求量为2000人次，求参数a和b的值；（2）若居民收入水平每增加1000元，居民出行需求量增加400人次，求参数a和b的值。第五题已知某城市居民在一年内的消费情况如下表所示：项目消费金额（元）百分比食品500030%衣物300020%居住400025%交通200015%其他100010%（1）根据表格数据，建立消费金额与各项目百分比之间的关系模型；（2）计算居民在食品、衣物、居住、交通和其他五个项目中消费金额的期望值；（3）分析居民消费结构是否合理，并给出改进建议。《1数学建模活动的准备》同步训练及答案解析一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在数学建模活动中，以下哪项不是准备阶段的工作内容？A、确定问题背景B、收集数据C、编写程序D、进行模型验证答案：C解析：数学建模活动的准备阶段主要包括确定问题背景、收集数据、建立模型等步骤。编写程序通常属于模型实施阶段的工作内容。因此，C选项不属于准备阶段的工作内容。2、在数学建模活动中，以下哪个步骤是确保模型能够反映现实问题的关键？A.收集数据B.建立模型C.模型验证D.模型推广答案：B解析：在数学建模活动中，建立模型是确保模型能够反映现实问题的关键步骤。收集数据是建立模型的基础，但仅仅收集数据并不能确保模型准确反映现实问题。模型验证和模型推广是在模型建立之后进行的步骤，它们是为了检验模型的准确性和适用性。因此，正确答案是B。3、在数学建模活动中，以下哪个步骤是首要的？（）A、数据收集与处理B、建立数学模型C、模型求解与验证D、撰写论文报告答案：A解析：在数学建模活动中，首要的步骤是数据收集与处理。因为只有收集到准确的数据，才能为后续的模型建立和求解提供依据。而建立数学模型、模型求解与验证以及撰写论文报告都是在数据收集与处理之后进行的。4、在进行数学建模活动时，以下哪个步骤是首先需要完成的？A.收集数据B.建立模型C.验证模型D.分析结果答案：A解析：在数学建模活动中，首先需要完成的是收集数据。这是因为数据是建立数学模型的基础，没有数据就无法进行建模。在收集到足够的数据之后，才能进行模型的建立、验证和分析。因此，选项A是正确的。5、在进行数学建模活动时，以下哪个步骤是首先需要完成的？A.数据分析B.建立模型C.模型验证D.模型求解答案：D解析：在数学建模活动中，首先需要完成的步骤是建立模型。这是因为只有建立了模型，才能进一步进行数据分析、模型验证和模型求解等后续步骤。建立模型是数学建模活动的核心，它为后续的各项工作奠定了基础。数据分析、模型验证和模型求解都是在模型建立之后才进行的。6、在数学建模活动中，以下哪项不是模型准备阶段的必要步骤？（）A.收集数据B.建立模型C.分析模型D.验证模型答案：B解析：在数学建模活动的准备阶段，首先需要收集与问题相关的数据（选项A），然后根据数据和分析结果建立模型（选项C），最后对模型进行验证以确保其有效性和准确性（选项D）。选项B“建立模型”实际上是数学建模活动的一个重要步骤，但题目要求选择“不是”模型准备阶段的必要步骤，因此正确答案是B。7、在数学建模活动中，以下哪种方法不是常用的数据处理方法？（）A、统计分析法B、图像分析法C、文字描述法D、实验法答案：C解析：在数学建模活动中，常用的数据处理方法包括统计分析法、图像分析法和实验法。统计分析法用于对数据进行分析和总结，图像分析法通过图形直观地展示数据特征，实验法则通过实际操作获取数据。文字描述法通常不作为数据处理方法，因为它更多的是对数据结果的描述而非分析。因此，C选项文字描述法不是常用的数据处理方法。8、某市为了研究居民用水量与季节的关系，收集了一年的数据，并决定使用数学模型来预测未来的用水量。在建立模型前，研究小组需要确定影响用水量的主要因素。下列选项中，哪一项最不可能是主要影响因素？A.季节变化B.气温高低C.市民的年龄结构D.降雨量多少答案：C.市民的年龄结构解析：在研究居民用水量与季节关系的问题中，季节变化、气温高低以及降雨量多少都是直接影响用水量的因素。比如，夏季高温会导致更多的生活用水和灌溉用水；而降雨量的增加则可能减少某些类型的用水需求。相比之下，市民的年龄结构虽然对特定类型的服务（如学校、医院等）用水有影响，但它不是直接导致用水量随季节变化的主要因素。因此，选项C最不可能是主要影响因素。二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在数学建模活动中，以下哪些工具或方法可以帮助我们更好地进行数据的收集和分析？（）A、问卷调查B、统计分析软件C、在线数据平台D、实地考察E、文献研究答案：A、B、C、D、E解析：在数学建模活动中，数据的收集和分析是至关重要的环节。问卷调查可以帮助我们收集大量的数据，统计分析软件可以对数据进行处理和分析，在线数据平台可以提供丰富的数据资源，实地考察可以获取第一手数据，文献研究可以借鉴前人的研究成果。因此，以上五个选项都是数学建模活动中常用的工具或方法。2、在数学建模过程中，下列哪些步骤是必要的？A.定义问题B.收集数据C.建立模型D.模型求解E.结果分析F.模型检验答案：A,B,C,D,E,F解析：数学建模是一个系统的过程，它包括但不限于定义问题、收集数据、建立模型、模型求解、结果分析以及模型检验等环节。每个步骤都是为了确保模型能够准确反映实际情况，并且能够有效地解决实际问题。因此，选项A至F所列的步骤都是数学建模过程中必不可少的组成部分。3、以下哪些方法可以帮助学生在数学建模活动中提高解决问题的能力？（）A.分析问题，明确问题本质B.收集和整理数据C.学习并运用数学模型D.与他人合作交流E.进行模拟实验答案：ABCD解析：在数学建模活动中，学生需要通过分析问题、明确问题本质（A），收集和整理数据（B），学习并运用数学模型（C），以及与他人合作交流（D）来提高解决问题的能力。虽然模拟实验（E）也是一种提高能力的方法，但在高中数学必修《1数学建模活动的准备》中并未提及，故排除选项E。三、填空题（本大题有3小题，每小题5分，共15分）1、假设某城市居民使用手机上网的比例为70%，现随机调查了该市100名居民，则预计使用手机上网的人数大约为______人。答案：70人解析：根据题目给出的信息，某城市居民使用手机上网的比例为70%。如果从这个城市中随机抽取100名居民作为样本，那么可以预期这100人中有70%的人会使用手机上网。计算方法为100×2、若函数y=2x+3的图像向上平移答案：y=2x+3解析：根据函数图象平移的规则，当函数y=fx向上平移a个单位时，其新的函数表达式为y=fx+a。在本题中，原函数3、在数学建模活动中，为了确保模型的准确性，通常需要先对数据进行________，然后再进行模型建立和求解。答案：清洗解析：在数学建模活动中，数据是建立模型的基础。由于实际收集到的数据往往存在缺失、异常、重复等问题，因此在正式建立模型之前，需要先对数据进行清洗，即对数据进行筛选、整理和修正，以确保数据的准确性和可靠性。这样可以避免因数据问题而导致的模型错误或不准确。四、解答题（第1题13分，第2、3题15，第4、5题17分，总分：77）第一题已知某工厂生产一种产品，其成本函数为Cx=10x+（1）求该产品的利润函数Lx（2）若要使得利润最大，工厂应生产多少件产品？答案：（1）利润Lx等于总收入减去总成本，即LLx=20（2）为了求利润最大值，需要找到利润函数Lx的最大值点。由于Lx是一个二次函数，其开口向下（因为−0.1x2的系数为负），其最大值出现在顶点处。二次函数a在本题中，a=−0.1x=−10因此，工厂应生产50件产品以实现利润最大化。解析：（1）利润函数Lx通过将售价函数和成本函数相减得到。注意，这里的售价函数Px是每件产品的售价，而x是销售的产品数量，所以总收入是（2）通过求导数找到利润函数的极值点，或者直接使用二次函数顶点公式求解。由于利润函数是一个二次函数且开口向下，最大值出现在顶点处。通过计算得到顶点的x值为50，即工厂应生产50件产品以获得最大利润。第二题题目：某工厂生产一种产品，其成本函数为Cx=100+3（1）求该产品的利润函数Lx（2）若要使利润最大，工厂应生产多少件产品？最大利润是多少？答案：（1）利润Lx为销售收入减去成本，即代入Px和Cx的表达式，得Lx=（2）要使利润最大，需要找到Lx的最大值。由于Lx是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处。二次函数ax2+对于Lx=−0.1x2+47x−因此，工厂应生产235件产品以实现最大利润。将x=235代入Lx中，得最大利润为L235=−解析：（1）通过定义利润函数Lx，我们得到了一个关于x的二次函数。这个函数的系数a（2）通过求导或者直接使用顶点公式，我们找到了利润函数的顶点，即利润最大化的产品数量。将这个数量代入利润函数中，我们得到了最大利润的数值。这个方法利用了二次函数的性质，是解决此类问题的有效方法。第三题已知某工厂生产一种产品，其成本函数为Cx=2000+3x，其中x表示生产的产品数量，且（1）求该产品的利润函数Px（2）若要使利润最大，工厂应该生产多少件产品？答案：（1）利润函数Px为产品总收入减去总成本，即Px=x×售价（2）要使利润最大，需要找到利润函数Px的最大值。由于Px是关于x的一次函数，其最大值发生在x的取值范围的端点，即x=当x=0时，当x=150时，因此，要使利润最大，工厂应该生产150件产品。解析：本题考查了函数在实际问题中的应用。首先，根据题意建立利润函数Px；其次，求出利润函数的最大值，即找到使利润最大化的x第四题已知某城市的居民出行需求量与居民收入水平之间存在以下关系：居民出行需求量=a*居民收入水平^b（1）若已知当居民收入水平为10000元时，居民出行需求量为2000人次，求参数a和b的值；（2）若居民收入水平每增加1000元，居民出行需求量增加400人次，求参数a和b的值。答案：（1）代入已知条件，得：2000=a*10000^b由于10000^b=(104)b=10^(4b)，所以上式可写为：2000=a*10^(4b)又因为当居民收入水平为10000元时，居民出行需求量为2000人次，所以：a=2000/10^(4b)将a的表达式代入原方程，得：2000=(2000/10^(4b))*10^(4b)2000=2000由此可知，无论b取何值，方程都成立，因此参数a和b的值无法唯一确定。（2）根据题意，当居民收入水平每增加1000元，居民出行需求量增加400人次，可以列出以下方程组：2000=a*10000^b2400=a*(10000+1000)^b将第二个方程中的10000+1000替换为10100，得：2400=a*10100^b接下来，将第一个方程中的a表示为2000/10^(4b)，代入第二个方程，得：2400=(2000/10^(4b))*10100^b化简得：2400=2000*(10100/10(4b))b进一步化简，得：1.2=(10100/10(4b))b两边取对数，得：ln(1.2)=b*(ln(10100)-4b*ln(10))这是一个关于b的一元二次方程，可以通过求解一元二次方程来得到b的值。解得：b≈0.0168或b≈-0.0168将b的值代入第一个方程，得：2000=a*10^(4*0.0168)或2000=a*10^(4*-0.0168)解得：a≈0.0145或a≈2.736综上所述，当居民收入水平每增加1000元，居民出行需求量增加400人次时，参数a和b的值分别为a≈0.0145，b≈0.0168或a≈2.736，b≈-0.0168。解析：本题主要考查了指数函数和指数方程的应用。通过代入已知条件，我们可以建立关于参数a和b的方程，进而求解出a和b的值。需要注意的是，在求解过程中，需要对方程进行化简和转换，以便于求解。此外，本题的解答过程还涉及到了一元二次方程的求解，需要掌握一元二次方程的解法。第五题已知某城市居民在一年内的消费情况如下表所示：项目消费金额（元）百分比食品500030%衣物300020%居住400025%交通200015%其他100010%（1）根据表格数据，建立