高等数学（第二版）课件：幂级数

高等数学（第二版）一、函数项级数的概念二、幂级数幂级数无穷级数三、幂级数的运算与性质如果给定一个定义在区间I上的函数列一、函数项级数的概念则由该函数列构成的表达式称为定义在区间I上的函数项无穷级数，简称函数项级数。（1）对于每一个确定的值，函数项级数（1）成为常数项级数这个级数（2）可能收敛也可能发散。如果（1）收敛，我们称点是函数项级数（1）的收敛点；如果（2）发散，我们称是函数项级数（1）的发散点。函数项级数（1）的所有收敛点的全体称为它的收敛域，所有发散点的全体称为它的发散域。（2）函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项均为幂次函数的函数项级数，即所谓的幂级数。形如二、幂级数的函数项级数我们将其称之为以为中心的幂级数，其中常数称作幂级数的第项系数。（3）我们先来讨论幂级数得收敛域，为了研究方便，不妨设幂级数中的=0，即讨论形如的幂级数，我们又称之为的幂级数。这不影响讨论的一般性，因为只需作代换，就可将式（3）化成式（4）。几何级数（4）是中心在的幂级数。它的收敛域是以原点为中心的对称区间(-1,1)。定理1（阿贝尔定理）(3)若幂级数在处发散，则对于满足不等式

的一切，幂级数发散。(2)若幂级数在处收敛，则对于满足不等式

的一切，幂级数绝对收敛。(1)幂级数在处收敛。阿贝尔定理给出了幂级数收敛域的结构情况，即若点是幂级数（4）的收敛点，则到坐标原点距离比点近的点都是幂级数（4）的收敛点；若点是幂级数的发散点，则到坐标原点距离比点远的点都是幂级数的发散点。数轴上的点不是幂级数（4）的收敛点就是发散点，假设幂级数（4）不仅仅在处收敛，也不是在整个数轴上收敛，设想从原点出发沿数轴向右行进，先遇到的必然都是收敛点，一旦遇到了一个发散点，那么以后遇到的都是发散点。自原点向左也有类似情况。因此，它在原点的左右两侧各有一个临界点，由定理1可知它们到原点的距离是一样的，记这个距离为R。有如下推论：推论：如果幂级数不是仅在一点收敛也不是在整个数轴上收敛，则必存在惟一的正数，使得(1)当时，幂级数绝对收敛；(2)当时，幂级数发散；(3)当时，幂级数可能发散也可能收敛。我们把满足推论的实数称为幂级数的收敛半径。开区间称为幂级数的收敛区间。根据幂级数在端点处的收敛性，就可以确定其收敛域有四种情形：或。特殊地，如果幂级数只在处收敛，此时收敛域内仅有一点其收敛半径；如果幂级数对一切均收敛，则规定其收敛半径，此时的收敛域为。定理2设为幂级数，且，为其收敛半径。(1)若，则。(2)若，则。(3)若，则。例1幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域。解：故收敛半径为，收敛区间为(-1,1)。当时，级数为莱布尼兹级数，是收敛的。当时，级数为调和级数，发散。所以原级数的收敛域为。例2求幂级数的收敛半径和收敛域。解：记，则有故收敛半径为，收敛域为。例3求幂级数的收敛半径和收敛域。解记，则有故收敛半径为，收敛域为0。例4求幂级数的收敛半径和收敛区间。解记，则有故收敛半径为，收敛区间为，即。三、幂级数的运算与性质1．幂级数的运算设幂级数与的收敛半径分别为与。记，则在内有(1)(2)

其中。值得注意的是，两个幂级数相加减或相乘的幂级数，其收敛半径2．和函数的性质则幂级数的和函数有如下性质设幂级数的收敛半径为，和函数为，即(1)（连续性）在内连续，且当在（或）处收敛时，在处左连续（或在处右连续）。(3)（逐项积分）在内任何子区间上可积，并可逐项积分，即(2)（逐项微分）在内可导，并可逐项求导，即且逐项求导后得到的幂级数与原幂级数的收敛半径相同。且逐项积分后得到的幂级数与原幂级数的收敛半径相同。解：所给幂级数的系数故收敛半径为，收敛区间为(-1,1)。由于几何级数所以例5求幂级数的收敛区间与和函数。且，所以由逐项微分的性质，当时，解：所给幂级数的系数