高等数学（第二版）课件：空间向量的数量积、向量积、混合积

一、数量积二、垂直（正交）向量和投影空间向量的数量积、向量积、混合积空间解析几何三、向量积四、混合积一、数量积当把空间中两个非零向量

和

的起始点重合在一起时，它们形成一个大小为

的夹角。空间中两个向量的数量积（或内积，点积）可以用定义平面向量数量积的同样方式定义。定义

设

和

是空间中的两个非零向量，

和

的数量积（点积、内积）为，其中

是

和

之间的夹角。1.数量积的定义空间中的两个非零向量

和

的数量积的计算：设

，

，则

把数量积定义中的

解出来，就得到求空间中的两个给定向量之间夹角的公式。空间中的两个非零向量

和

之间的夹角为例1.求

和

之间的夹角。解：2.数量积的性质若

和

是任意向量，而

是数，则（1）（2）（3）（4）（5）二、垂直（正交）向量和投影与平面向量的情形一样，两个非零向量

和

是垂直的或正交的，当且仅当

在一个非零向量

上的投影向量（如图）是由从Q到直线PS做垂线而得的向量

。这与平面向量的情形完全一样，该向量记为

（

在

上的向量投影）。

如果

表示一个力，那么

表示在方向

的有效力

由于在上的向量投影：故数

称为

在方向

的数量分量。我们可以通过

“点乘”

的方向求得数量分量。例2．求在上的向量投影和在方向的数量分量。解：

的数量分量。在方向

与平面向量一样，可以把一个向量表示成个平行于的向量和一垂直于的向量之和。例3．一个力作用在速度为的太空船上。把F表示成一个平行于的向量和一个垂直于的向量之和。解：

。三、空间中两个向量的向量积我们假定在空间中给定两个非零向量和。和我们用右手法则选择一个垂直于这个平面的单位向量。如果不平行，那么它们决定一个平面。1.定义设给定两个非零向量和，和的向量（叉）积为如果和中的一个或两个为零，我们定义为零。这样一来，和的叉积为零，和平行或它们中的一个或两个为零。当且仅当非零向量和称为平行向量，当且仅当2.向量积（叉积）的性质：通常，由于位于和所在的平面上，而在和所在的平面上，所以向量积乘法是不满足结合律的。当我们用定义计算

和

的两两向量积时，便得到

3.的行列式表示假定那么由分配律和

和

相乘的法则告诉我们于是我们可以用下列行列式计算向量积（叉积）

例5．求垂直于

，

和

所在的平面的向量。解：

向量

垂直于平面，因为它垂直于平面上的两个向量。利用分量我们求得

例6．

求顶点

，

和

的三角形的面积。解：由

和

所确定的平行四边形的面积是三角形的面积是这个值的一半

。

例7．求垂直于

，

和

所在的平面的单位向量。解：

向量

垂直于平面，它的方向

是垂直于平面的单位向量，由例5和例6有：4.转矩当我们在扳手上用一个力F转动一个螺栓时，我们产生一个转矩作用在螺栓的轴上以使螺栓前进。转矩的大小依赖于力作用在扳手的多远处及垂直于扳手的作用点处的力有多大。我们测量转矩大小的数是杠杆

的臂长和F的垂直于

的数量分量的乘积。

转矩的大小

转矩向量

如果令

是沿螺栓的轴并指向转矩方向的单位向量，那么转矩向量可以完整地表示为当

和

平行时，定义

为零。这与转矩的解释正好是吻合的。假如图中的力F平行于扳手，即我们试图通过沿着扳手的柄的方向拉或推扳手，所产生的转矩为零。四、混合积积

称为

和

（按这个次序）的混合积。从公式可以看出，积的绝对值是由

和

确定的平行六面体（由

组成的平行四边形为底面的箱体）的体积。数