2025年中考数学热点题型归纳与变式演练（全国）专题10 三角形压轴题综合（原卷版）

专题10三角形压轴题综合目录热点题型归纳 1题型01三角形与旋转变换 1题型02三角形与平移变换 4题型03三角形与翻折变换 5题型04三角形类比探究问题 8中考练场 10题型01三角形与旋转变换【解题策略】三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法。【典例分析】例.（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．

(1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．【变式演练】1．（2023·贵州贵阳·二模）在中，，在中，，已知和有公共顶点A，连接和．(1)如图①，若，，当绕点A旋转，和的数量关系是______，位置关系是______；(2)如图②，若，当绕点A旋转，（1）中和的数量关系与位置关系是否依然成立，判断并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，，在旋转过程中，当C，B，D三点共线时，请直接写出的长度．2．（2023·广西桂林·一模）在数学活动课上，小丽将两副相同的三角板中的两个等腰直角三角形按如图1方式放置，使的顶点D与的顶点C重合，在绕点C的旋转过程中，边、始终与的边分别交于M、N两点．(1)老师提了一个问题：试证明．小丽开动脑筋，作了如下思考：考虑到且，可将绕点C顺时针旋转至位置，连结，若能证明、分别等于的另两边则可以解决问题．请帮小丽继续完成证明过程．证明：将绕点C顺时针旋转至位置，连结；(2)如图2，小昆另取一块与相同的三角板，放在位置，边与边相交于点H，连、．①小昆猜想：，请帮他给出证明；②图2中始终与相等的线段有；③请探索、、之间的数量关系，并直接写出结论：．3．（2023·吉林·一模）如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点．(1)如图1，若和是等腰三角形，求证：；(2)如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．(3)在（1）的条件下，，，若把绕点A旋转，当时，请直接写出的长度．题型02三角形与平移变换【解题策略】考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．【典例分析】例．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图1，在中，，沿方向向左平移得到，A、对应点分别是、．点是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接．

(1)当点与点重合时，求的长；(2)如图2，连接、．在点的运动过程中：①和是否总是相等？若是，请你证明；若不是，请说明理由；②当的长为多少时，能构成等腰三角形？【变式演练】1．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，中，经过点A，且，垂足为E，．(1)以点E为中心，逆时针旋转，使旋转后的的边恰好经过点A，求此时旋转角的大小；(2)在（1）的情况下，将沿向右平移．设平移后的图形与重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．2.（2023·四川成都·一模）如图1，在中，，以为底边作等腰，连接，作，使得，且．

(1)如图2，若，请按题意补全图形，并写出画图步骤；(2)将线段沿的方向平移得到线段，连接，①如图3，若，求的长；②若，直接写出的长．题型03三角形与翻折变换【解题策略】考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．【典例分析】例．（2023·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系．

问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．【变式演练】1．（2024·安徽阜阳·一模）（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长；（2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长；（3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长．2．（2023·陕西榆林·一模）【问题背景】（1）如图1，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，则______（2）如图2，在正方形中，，点在边上，将沿翻折至，连接，求周长的最小值；【问题解决】（3）如图3，某植物园在一个足够大的空地上拟修建一块四边形花圃，点是该花圃的一个入口，沿和分别铺两条小路，且，，，．管理员计划沿边上种植一条绿化带（宽度不计），为使美观，要求绿化带的长度尽可能的长，那么管理员是否可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带？若可以，求出满足要求的绿化带的最大长度（用含的式子表示）；若不可以，请说明理由．题型04三角形类比探究问题【解题策略】考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论。【典例分析】例．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

【变式演练】1．（2023·河南洛阳·三模）在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________．【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积．2．（2023·湖北十堰·二模）【问题背景】（1）如图，，，．求证：；【变式迁移】（2）如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值；【拓展创新】（3）如图，是内一点，，，，，，直接写出的长．

3．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，和是直角三角形，，，求证：；【尝试应用】（2）如图2，在与中，直角顶点重合于点C，点D在上，，且，连接，若，求的长；【拓展提高】（3）如图3，若，，，，过A作交延长线于Q，求的值．1．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．

2．（2023·辽宁锦州·中考真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接．【尝试探究】（1）如图1，当时，易知；

如图2，当时，则与的数量关系为；

（2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；

【拓展应用】（3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．

3．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．4．（2023·四川成都·中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．

【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．5．（2022·广东深圳·中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．6．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．

【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．7．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；(2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．8．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点落在上时，．”小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰中，由翻折得到．（1）如图1，当点落在上时，求证：；（2）如