2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷

2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a5÷a3＝a2 D．（a+2a）2＝4a22．（4分）下列各数中是无理数的是（）A．cos60° B．1.3 C．83 D．273．（4分）下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（）A．y＝2x B．y=2x C．y＝2﹣x D．y＝﹣4．（4分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（）A．6 B．5 C．2 D．15．（4分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）A．15° B．30° C．45° D．60°6．（4分）下列说法正确的是（）A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：20-9=8．（4分）红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为．9．（4分）分解因式：x2﹣9x＝．10．（4分）方程x=4-3x的根是11．（4分）不等式组x-2＜02x12．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．13．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是．14．（4分）某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是．15．（4分）如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是．16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E、F分别是边AB、CD的中点．设AD→=a→，DC→=b→，那么向量EC→17．（4分）当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，⊙A的半径为1，如果以OB为半径的⊙O与⊙A“内相交”，且AB＝5，那么OB的取值范围是．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE的值为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：4x2-420．（10分）解方程组：y21．（10分）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD．（1）求AB的长；（2）如果tanC=43，判断直线AB与以点C22．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，小明骑自行车从A地去B地，小刚骑电动车从B地去A地然后立即原路返回到B地，如图是两人离B地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题：（1）求小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式；（2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到B地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG＝EF．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）联结AE、BD，如果AC⊥ED，求证：AE2＝2FG•BE．24．（12分）已知在直角坐标平面内，抛物线y=12(x-m)2+m+1(m≠0)与y轴交于点A，顶点为点（1）求点D的坐标；（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求△ABC的面积；（3）如果AB⊥BC，求抛物线的表达式．25．（14分）如图，已知圆O的半径AO＝r，P是半径AO上的一个动点（点P不与点A、点O重合），作线段OP的垂直平分线，分别交线段OP于点B、交圆O于点C和点E（点C在点E的上方）．联结CP并延长，交圆O于点D．（1）当点P是线段AB中点时，求ACAO（2）当r＝4时，①如果PA＝1，求PD的长；②联结OD交CE于点F，联结PF，如果△PDF为等腰三角形，求CD的长．

2024年上海市黄浦区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a5÷a3＝a2 D．（a+2a）2＝4a2【考点】整式的混合运算．【答案】C【分析】A、根据幂的乘方，底数不数，指数相乘的法则进行计算；B、根据同底数幂的乘法法则进行计算；C、根据同底数幂的除法法则进行计算；D、先合并同类项，再根据积的乘方法则进行计算．【解答】解：A、（a2）3＝a5，所以此选项不正确；B、a2•a3＝a5，所以此选项不正确；C、a5÷a3＝a2，所以此选项正确；D、（a+2a）2＝（3a）2＝9a2，所以此选项不正确；故选：C．2．（4分）下列各数中是无理数的是（）A．cos60° B．1.3 C．83 D．27【考点】无理数；特殊角的三角函数值．【答案】D【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：cos60°=12是分数，1.3是有限小数，27=33故选：D．3．（4分）下列函数中，满足y的值随x的值增大而减小的是（）A．y＝2x B．y=2x C．y＝2﹣x D．y＝﹣【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质．【答案】C【分析】根据一次函数、反比例函数以及二次函数的增减性即可得答案．【解答】解：A、函数y＝2x，y随自变量x的值增大而增大，故A不符合题意，B、函数y=2x，当x＞0或x＜0时，y随自变量x的值增大而减小，故C、函数y＝2﹣x，y随自变量x的值增大而减小，故C符合题意，D、函数y＝﹣2x2，在x＞0时y随自变量x的值增大而减小，x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故D不符合题意，故选：C．4．（4分）如果一组数据1，2，x，5，6的众数为6，则这组数据的中位数为（）A．6 B．5 C．2 D．1【考点】众数；中位数．【答案】B【分析】根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．【解答】解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，∴x＝6，把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，则这组数据的中位数为5；故选：B．5．（4分）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考点】平行线的判定．【答案】A【分析】先根据邻补角的定义得到∠3＝60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°．【解答】解：∵∠1＝120°，∴∠3＝60°，∵∠2＝45°，∴当∠3＝∠2＝45°时，b∥c，∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°＝15°．故选：A．6．（4分）下列说法正确的是（）A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形【考点】等腰梯形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；多边形内角与外角．【答案】D【分析】根据等腰梯形的概念判断即可．【解答】解：A、有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意；B、连接等腰三角形两腰的中点，得到的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意；C、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，例如直角梯形有两个相邻的内角相等，不是等腰梯形，故本选项说法不正确，不符合题意；D、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，说法正确，符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：20-9=【考点】实数的运算；零指数幂．【答案】﹣2．【分析】先根据零指数幂和算术平方根运算，然后进行减法运算即可．【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2．故答案为：﹣2．8．（4分）红细胞的直径约为0.0000077m，0.0000077用科学记数法表示为7.7×10﹣6．【考点】科学记数法—表示较小的数．【答案】见试题解答内容【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000077＝7.7×10﹣6，故答案为：7.7×10﹣6．9．（4分）分解因式：x2﹣9x＝x（x﹣9）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【答案】见试题解答内容【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x，然后提取公因式即可．【解答】解：原式＝x•x﹣9•x＝x（x﹣9），故答案为：x（x﹣9）．10．（4分）方程x=4-3x的根是x＝1【考点】无理方程．【答案】见试题解答内容【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．【解答】解：x=4-3x2＝4﹣3x，解得，x＝1或x＝﹣4，检验：当x＝﹣4不是原方程的根，故原无理方程的解是x＝1，故答案为：x＝111．（4分）不等式组x-2＜02x+1≥0的整数解是【考点】一元一次不等式组的整数解．【答案】0，1．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其整数解即可．【解答】解：x-解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x≥-1∴该不等式组的解集是-12≤x故该不等式组的整数解是0，1，故答案为：0，1．12．（4分）如果关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是m＞9【考点】根的判别式；解一元一次不等式．【答案】见试题解答内容【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＜0，解得：m＞9故答案为：m＞913．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是35【考点】概率公式；中心对称图形．【答案】35【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的5张纸片中，中心对称图形有圆、矩形、菱形这3个，∴抽到中心对称图形的概率是35故答案为：3514．（4分）某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是80%．【考点】频数（率）分布直方图．【答案】见试题解答内容【分析】根据频数分布直方图可得全班的总人数及成绩高于60分的学生，从而得出答案．【解答】解：∵全班的总人数为3+6+12+11+7+6＝45人，其中成绩高于60分的学生有12+11+7+6＝36人，∴成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是3645×100%＝故答案为：80%．15．（4分）如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是6．【考点】多边形内角与外角．【答案】见试题解答内容【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可．【解答】解：依题意有(n-解得n＝6．故答案为：6．16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，点E、F分别是边AB、CD的中点．设AD→=a→，DC→=b→，那么向量EC→用向量【考点】*平面向量；梯形．【答案】见试题解答内容【分析】根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出EF，然后根据向量的三角形法则解答即可．【解答】解：∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，FC=12∴EF=12（AD+∵BC＝3AD，∴EF=12（AD+3AD）＝2由三角形法则得，EC→=EF∵AD→=a∴EC→=2故答案为：2a→17．（4分）当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，⊙A的半径为1，如果以OB为半径的⊙O与⊙A“内相交”，且AB＝5，那么OB的取值范围是2.5＜OB＜3．【考点】圆与圆的位置关系．【答案】2.5＜OB＜3．【分析】设M为AB的中点，则BM=12AB＝【解答】如图所示，设M为AB的中点，则BM=12AB＝当O与M重合时，BO=12AB＝2.5，如图所示，此时A在圆B上，则OB＞当OB＝AB时，两圆“内相交”．∴2.5＜OB＜3．故答案为：2.5＜OB＜3．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好与△ABC的重心重合，A′B′与BC相交于点E，那么BE：CE的值为43【考点】三角形的重心；旋转的性质．【答案】43【分析】先根据旋转的性质得到CB′＝CB，CA＝CA′，∠ACA′＝∠BCB′，根据三角形重心的性质得到AD为BC边上的中线，AA′＝2DA′，则DA′=13AD，根据斜边上的中线性质得到AD＝BD＝CD，所以DA′=16B′C，接着证明∠B′CA′＝∠CA′A得到AD∥B′C，所以△A′DE∽△B′CE，然后利用相似比得到DECE【解答】解：∵△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，∴CB′＝CB，CA＝CA′，∠ACA′＝∠BCB′，∵点A′为△ABC的重心，∴AD为BC边上的中线，AA′＝2DA′，∴DA′=13∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD＝CD，∴DA′=13BD=13×12BC∵∠ACA′＝∠BCB′，∴∠ACA′+∠DCA′＝∠BCB′+∠DCA′，即∠ACD＝∠B′CA′，∵DC＝DA，∴∠ACD＝∠DAC，∵CA＝CA′，∴∠CAA′＝∠CA′A，∴∠B′CA′＝∠CA′A，∴AD∥B′C，∴△A′DE∽△B′CE，∴DECE∴BE故答案为：43三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：4x2-4【考点】分式的化简求值．【答案】见试题解答内容【分析】先化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题．【解答】解：4=4=4+2(=4+2=x=1当x=2时，原式=20．（10分）解方程组：y【考点】高次方程．【答案】x1=-1y【分析】由②得2x+y＝±2从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可．【解答】解：由②得：（2x+y）2＝4，∴2x+y＝±2，即2x+y＝2或2x+y＝﹣2，∴原方程组可化为两个二元一次方程组：（Ⅰ）y-2x解（Ⅰ）得：x1解（Ⅱ）得：x2∴原方程组的解是x1=-1y21．（10分）如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD．（1）求AB的长；（2）如果tanC=43，判断直线AB与以点C【考点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；圆周角定理．【答案】（1）45；（2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由见解析．【分析】（1）连接AD、OB，连接AO并延长交BC于E点，得出AE⊥BC，BE＝DE．根据垂径定理可得BE＝DE＝4，利用勾股定理求出OE＝3，则AE＝8，再利用勾股定理即可求解；（2）根据正切函数的定义得tanC=AECE=43，可得CE＝6，则BC＝BE+CE＝10，过C作CH⊥AB于H，根据sin∠ABE=AEAB=CH【解答】解：（1）连接OD、AD、OB，连接AO并延长交BC于E点，∵AB＝AD，OB＝OD，∴AE⊥BC，BE＝DE．∵BD＝8，∴BE＝DE＝4，∴OE=OB∴AE＝OA+OE＝8，∴AB=AE2（2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由如下：∵tanC=AECE=43∴CE＝6，∴BC＝BE+CE＝10，过C作CH⊥AB于H，∵sin∠ABE=AE∴84∴CH＝45＜9∴直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．22．（10分）在一条笔直的公路上有A、B两地，小明骑自行车从A地去B地，小刚骑电动车从B地去A地然后立即原路返回到B地，如图是两人离B地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题：（1）求小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式；（2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到B地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？【考点】一次函数的应用．【答案】（1）y＝﹣15x+30（0≤x≤2）；（2）1615【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”求出小明的速度，根据“小明离B地的距离＝A、B两地之间的距离﹣小明离A地的距离”作答即可；（2）求出小刚离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式，并写为分段函数的形式，根据“二人相遇时，二人离B地距离相等”列方程求出相遇时间；按照x的取值范围分别求出两人途中相遇后相距3千米时对应的时间，两者之差即为所求．【解答】解：（1）小明的速度为30÷2＝15（千米/小时），则y＝30﹣15x＝﹣15x+30，∴小明离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝﹣15x+30（0≤x≤2）．（2）小刚骑电动车从B地去A地和从A地返回B地过程中速度不变，均为30÷1＝30（千米/小时），则小刚从B地去A地过程中离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝30x（0≤x＜1）；小刚从A地返回B地过程中离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y＝30﹣30（x﹣1）＝﹣30x+60（1≤x≤2）；∴小刚离B地的距离y关于行驶时间x之间的函数解析式为y=30当二人相遇时，二人离B地距离相等，得﹣15x+30＝30x，解得x=2当23≤x≤1时，当两人间的距离为3千米时，得30x﹣（﹣15x+30）＝3，解得x当1＜x≤2时，当两人间的距离为3千米时，得﹣30x+60﹣（﹣15x+30）＝3，x=9由图象可知，两人途中相遇后当1115＜x＜995∴无法用无线对讲机保持联系的总时间是161523．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG＝EF．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）联结AE、BD，如果AC⊥ED，求证：AE2＝2FG•BE．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由AD∥BC，DE∥AB得四边形ABED是平行四边形，由FG∥AD得△CFG∽△CAD，得到FGAD=CFCA，同理得FGAD=EFAB，进而由（2）连接BD，与AE交于点H，证明△DHE∽△AFE得到EHEF=DEAE，进而由EH=12AE，DE＝BE，【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∵FG∥AD，∴△CFG∽△CAD，∴FGAD同理可得，EFAB∴FGAD∵FG＝EF，∴AD＝AB，四边形ABED是菱形；（2）证明：设BD，AE交于点H，如图，∵四边形ABED是菱形，∴EH=12AE，DE＝BE，∴∠DHE＝90°，∵AC⊥ED，∴∠AFE＝90°，∴∠DHE＝∠AFE，又∵∠DEH＝∠AED，∴△DHE∽△AFE，∴EHEF∵EH=12AE，DE＝BE，∴12∴12即AE2＝2FG•BE•24．（12分）已知在直角坐标平面内，抛物线y=12(x-m)2+m+1(m≠0)与y轴交于点A，顶点为点（1）求点D的坐标；（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求△ABC的面积；（3）如果AB⊥BC，求抛物线的表达式．【考点】二次函数综合题．【答案】（1）D（﹣1，0）；（2）S△ABC=1（3）y=12x2﹣2x【分析】（1）求出抛物线y=12（x﹣m）2+m+1顶点B（m，m+1），由B（m，m+1），C（0，1）得直线BC解析式为y＝x+1，故D（﹣1，（2）求出A（0，12m2+m+1），知A与O（0，0）不重合，根据抛物线与坐标轴共有两个不同的交点，可得12（x﹣m）2+m+1＝0有两个相等的实数解，从而m＝﹣1；可得A（0，12），B（﹣1，0），即可得S△ABC=（3）由AB⊥BC，有AC2＝AB2+BC2，即（12m2+m）2＝m2+（12m2）2+m2+m2，解得m＝0（舍去）或m＝2，即可得y=12（x﹣2）2+2+1=12x【解答】解：（1）抛物线y=12（x﹣m）2+m+1顶点B（m，m设直线BC解析式为y＝kx+b，把B（m，m+1），C（0，1）代入得：mk+解得k=1∴直线BC解析式为y＝x+1，在y＝x+1中，令y＝0得x＝﹣1，∴D（﹣1，0）；（2）在y=12（x﹣m）2+m+1中，令x＝0得y=12m2∴A（0，12m2+m+1∵12m2+m+1＝0∴A与O（0，0）不重合，∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点，∴抛物线y=12（x﹣m）2+m+1与∴12（x﹣m）2+m+1＝0∴﹣m﹣1＝0，解得m＝﹣1；∵A（0，12m2+m+1），B（m，m+1∴A（0，12），B（﹣1，0∵C（0，1），∴AC=1∴S△ABC=12×（3）∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴AC2＝AB2+BC2，∵A（0，12m2+m+1），B（m，m+1），C（0，1∴（12m2+m）2＝m2+（12m2）2+m2+m整理得：m2（m﹣2）＝0，解得m＝0（舍去）或m＝2，∴y=12（x﹣2）2+2+1=12x2﹣25．（14分）如图，已知圆O的半径AO＝r，P是半径AO上的一个动点（点P不与点A、点O重合），作线段OP的垂直平分线，分别交线段OP于点B、交圆O于点C和点E（点C在点E的上方）．联结CP并延长，交圆O于点D．（1）当点P是线段AB中点时，求ACAO（2）当r＝4时，①如果PA＝1，求PD的