现代信号处理第6章连续小波变换VIP

第六章连续小波变换及其工程应用6.1谐波小波变换及其工程应用6.2Laplace小波特征波形相关滤波

6.3Hermitian连续小波变换与信号奇异性识别 1整理ppt引言小波分析中被广泛使用的Daubechies类小波与样条小波都是实小波，它们没有明确的解析表达式，对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系数{hk}和{gk}运用Mallat快速算法实现的。除了这两类小波，其它类型的小波基函数也被陆续构造出来并且得到了深入研究和工程运用。本章介绍三种在工程实际应用中取得了理想效果的连续小波基函数，它们都具有明确的解析表达式。这三种连续小波分别是谐波小波、Laplace小波和Hermitian小波。2整理ppt6.1谐波小波变换及其工程应用6.1.1谐波小波的定义及正交性6.1.2Newland快速算法6.1.3谐波小波时频图6.1.4谐波小波滤波6.1.5谐波小波应用小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述3整理ppt6.1.1谐波小波的定义及正交性谐波小波(harmonicwavelet)是由剑桥大学D.E.Newland教授在1993年提出的。谐波小波是一种复小波，在频域紧支，有明确的函数表达式，其伸缩与平移构成了L2(R)空间的规范正交基。谐波小波小波具有完全“盒形”的频谱。谐波小波分解算法是通过信号的快速傅里叶变换（FFT）及其逆变换（IFFT）实现的，算法速度快，精度高，因而具有很好的工程应用价值。4整理ppt6.1.1谐波小波的定义及正交性实偶函数we(t)和实奇函数wo(t),它们的傅里叶变换分别为5整理ppt6.1.1谐波小波的定义及正交性W(

)所对应的函数w(t)=we

(t)+iwo

(t)由W(

)的傅里叶逆变换得

w(t)函数为谐波小波，它是复小波，在频域紧支，且具有完全“盒形”的频谱。6整理ppt6.1.1谐波小波的定义及正交性根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波函数族（j,k

Z）：设w(t)伸缩平移得到函数族为v(t)，即其频谱为随着小波层（即j）的变大，谐波小波的频谱宽度倍增而幅值降低分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波分解是一种小波分解7整理ppt6.1.1谐波小波的定义及正交性当j

0，W(

)与V(

)在频域中总处于不同的频段，因而总有说明处于不同层的谐波小波总是正交的对于处于同层的谐波小波w(t)，w(t–k),其中(k

0,k

Z)，说明处于第零层的谐波小波也是正交的。对其它层，以上结论可以类似得到。因此，w(t)及其伸缩平移函数族构成信号的正交基。以谐波小波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相互独立的空间，实现将信号成分分解到不同频段。8整理ppt6.1.2Newland快速算法谐波小波构成了L2(R)空间的规范正交基，则任何信号x(t)

L2(R)都可以表示为谐波小波的线性和，即aj,k为函数x(t)的小波展开系数用求内积的方法计算小波展开系数运算量太大，是很不实用的。因此谐波小波的提出者Newland给出了一种快速算法，可以快速而精确地求得谐波小波分解，对谐波小波运用于工程实践有很大好处。9整理ppt6.1.2Newland快速算法Newland快速算法是通过信号的快速傅里叶变换FFT和快速傅里叶逆变换IFFT实现。设有离散信号x(r)，r=0,…,N–1,其中N=2n，其谐波小波分解为as,s=0,…,N–1。令as由Fs经分段、对每一段作IFFT得到，下两式为其表达式：10整理ppt6.1.2Newland快速算法下图表示一数据长度为16的实序列的谐波小波分解示意图11整理ppt6.1.3谐波小波时频图谐波小波分解结果一般用小波时频图（WaveletTime-FrequencyMap）直观表示。在各网格以as模的平方为高作柱体就构成了谐波小波时频图。小波时频图是随|as|2起伏的面。这里高度取lg|as|2。由Parseval公式得到，谐波小波分解结果表明不同频率和时间的谐波小波能量对整个信号能量贡献的大小12整理ppt6.1.3谐波小波时频图下图为信号x(r)=sin(2

×15tr)，(r=0,…,511；tr=r/320)的波形及谐波小波分解时频图。该信号是单一频率的，所以谐波小波分解只有一个层有值，在小波时频图上表现为对应的层有峰值。谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内的数据点数多。13整理ppt6.1.4谐波小波滤波旋转机械状态监测与故障诊断利用机组同一截面两路相互垂直振动信号的合成轴心轨迹来监测其运行状态和识别故障类型。当设备出现故障时，信号表现出非平稳特性，而小波变换对处理非平稳信号是非常有效的，我们可以用相互垂直的X方向与Y方向的小波分解结果来合成轴心轨迹。Mallat算法分解时要隔二抽一，从而使得小波分解各层的数据点数和采样频率随分解层次增加而逐渐减小。这样，直接对运行转子垂直、水平方向振动信号进行小波分解，采用同一尺度同一频段的分解数据合成轴心轨迹，将使轴心轨迹不但不具有可比性，而且由于数据点数减少、采样频率降低会使合成的轴心轨迹失真，这种直接合成轴心轨迹的方法是不合适的。谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数据点数。14整理ppt6.1.4谐波小波滤波谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器，可以用下面的方法定义谐波小波其中m,n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n=2m，当m=0时，n=1。谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于转子轴心轨迹分析15整理ppt6.1.4谐波小波滤波16整理ppt6.1.4谐波小波滤波17整理ppt6.1.4谐波小波滤波为了对信号的某一特定频段的成分进行研究，在对信号的谐波小波分解进行重构时可将其它频段的谐波小波系数置为“0”，只保留该段的小波系数，由于谐波小波的正交性，如此重构的结果只包含信号该频段的成分，其它成分都被剔除了。这个算法与本节开始所给出的算法是一致的，实际是谐波小波重构算法的延伸，是对信号进行了滤波，我们称这一过程为谐波小波滤波。谐波小波滤波计算过程并未采用基于隔二抽取的Mallat算法，因此保证了信号各频段成分点数不变，采样频率不变，这样就可以实现机组同一截面互相垂直两个方向振动信号的轴心轨迹合成。18整理ppt6.1.4谐波小波滤波谐波小波包变换19整理ppt6.1.5谐波小波应用小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述小波变换只是把信号从时间域变换到时间—尺度域或时间—频率域，如何从小波变换后的信号中提取机械动态信息和故障特征才是工程应用领域最关心的问题。因此，为了使小波分析技术达到工程实用化，必须研究开发小波变换信号再处理技术20整理ppt小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同，小波变换从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和分形都具有自相似性，两者结合是可行的。小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解到正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号的盒维数，用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂程度由于一维离散信号的盒维数是介于1和2之间的一个实数，信号越复杂维数越大分形小波21整理ppt小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算设离散信号是n维欧氏空间Rn上的闭集。将Rn划分成尽可能细的Δ网格，若是网格宽度NΔ为Δ的离散空间上集合X的网格计数。盒维数定义为:由于离散信号的最高分辩率为采样间隔Δt，所以上式的极限是无法按其定义Δ→0求出。实际计算时一般采用近似方法，即将Δ网格视为最小网格，然后逐步放大为kΔ网格，k∈Z+，令则网格宽度为kΔ的信号x(j)的网格计数为

22整理ppt小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算在lg

kΔ~lg

NkΔ图中确定线性好的一段为信号无标度区，如果无标度区的起点和终点分别为k1，k2，则在此区域内，应该满足线性回归模型这样，用最小二乘法可求得信号x(j)的盒维数为即盒维数是最小二乘法拟合直线斜率的估计值小波分解l次后第i频带信号的盒维数分别记为，可以作为无量纲指标来描述振动信号在不同尺度下和不同频带内的复杂性和不规则性，从而提取出故障出现时信号的非平稳特征。23整理ppt谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述某大型化肥厂CO2压缩机发生喘振时，高压缸水平方向（X方向）和垂直方向（Y方向）由涡流式位移传感器拾取的振动信号，转子转速6530r/min，采样频率2000Hz，数据长度1024点。轴心轨迹较为复杂且不规则，加之较小的高倍工频分量影响使得轴心轨迹有一些局部能量突变点，且其分形盒维数也比较大。24整理ppt谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述X方向、Y方向信号的第2层谐波小波包分解与第0频段合成轴心轨迹及其分形盒维数第0频段小波对应的是低频喘振、工频振动和二倍频振动的特征，高倍工频分量影响已剔除，轴心轨迹光滑度提高，不规则度减少，其分形盒维数1.3536相对原始轴心轨迹也有所减少25整理ppt谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述第3层谐波小波包分解后，第0、1频段合成轴心轨迹及分形盒维数图(d)分形盒维数1.2604较前图有所减少，但其分形盒维数为明显比正常机组大，这说明低频喘振的确是一种低频不平稳性振动。图(f)的1.3501盒维数说明低频喘振不但自身是不平稳的晃动，而且影响着二倍频区的稳定性，导致二倍频区也有晃动现象发生26整理ppt6.2Laplace小波特征波形相关滤波6.2.1Laplace小波及其特性6.2.2Laplace小波基函数相关滤波6.2.3应用实例27整理ppt冲击响应信号检测的意义振动信号中出现冲击响应波形往往标志着旋转机械设备发生松动、碰撞、冲击等故障。如何从强大的工频振动、谐波振动和背景噪声中提取出冲击响应信号的发生时刻、振荡频率和阻尼比等参数对设备故障的诊断和定位至关重要。在往复机械中，活塞、连杆、气阀等运动部件对系统具有相同的激励频率，在频谱上频率特征互相重叠，很难分辨。然而，各个运动部件对系统施加的冲击并非同时发生，即相互之间有一定的相位差，因此在时域上表现为一系列有一定时间间隔的冲击响应波形，每一个冲击频率与某个特定运动部件相对应，如果将这些单个冲击响应波形提取出来，分别用特征参数表示，即可对往复机械机构的状态进行趋势分析和诊断，因此，冲击响应信号的提取对往复机械故障诊断意义重大。28整理pptLaplace小波的引入使用与信号波形最匹配的基函数对信号进行分解、提取出隐含故障特征是故障诊断专科门诊思想的精髓。自从将小波分析引入到机械故障诊断领域以来，我们就一直在寻找一种小波，它在满足小波的基本条件的同时，应该具备与冲击响应信号类似的单边衰减性质。对一个二阶欠阻尼系统进行Laplace反变换，StrangG.构造出了Laplace小波，该小波在复数空间内为螺旋衰减曲线，其实部和虚部与单自由度结构系统的自由衰减响应函数非常相似。LawrenceC.Freudinger等人将Laplace小波成功应用于无人驾驶飞机机翼模态参数的识别，取得了良好的效果29整理pptLaplace小波及其特性

与单自由度结构系统的自由衰减响应函数非常相似紧支性是显而易，不具备正交性，其频域盒形不好，故滤波特性较差30整理pptLaplace小波基函数库

课件下载地址/imea离散网格空间

Laplace小波基函数库

称作Laplace小波基函数库的小波原子。集合F相当于小波伸缩集合T相当于小波平移集合Z改变小波衰减形状31整理ppt相关滤波法

内积可以度量信号之间的相关性，若信号x(t)是某个系统S的输出，通过计算x(t)与Laplace小波原子的内积，可以估计它们之间的相似性，从而得到S的模态参数与的频率、阻尼特性的对应关系,和匹配追踪的思想类似

32整理ppt单自由度系统的脉冲响应信号33整理pptLaplace小波相关滤波方法具备在强大的噪声干扰中准确识别出脉冲响应信号频率的能力滤波法对频率参数较敏感相关滤波法也适合于识别多自由度系统的模态参数相关滤波法的计算量很大，为了减少计算量，加速计算过程，可采用了二次相关滤波法34整理ppt转子试验台模态参数识别

通过转子试验台的升速过程测得其一阶临界转速在115～118Hz35整理ppt内燃机缸盖振动信号识别

36整理ppt内燃机缸盖振动信号识别是进气阀关闭时刻，由此可以推断该缸进气阀存在异常。停机检修，发现4号缸进气阀明显磨损而导致漏气，必然导致较强的冲击37整理ppt大型水轮机轴系转动时一阶固有频率提取

大型水轮发电机组转轴系统动态固有频率是机组结构优化设计的重要技术指标。虽然动力学方法已经在水轮发电机组转轴系统分析中得到广泛应用[97-99]，但简化处理后的力学模型是近似的，由其得到的结果和实际工程对象往往存在很大的差别，因此，现场实测机组轴系的固有频率具有十分重要的意义意义难点大型水轮发电机组转轴系为刚性转子，无法通多升降速测量固有频率敲击产生的响应很微弱工作转速为1.136Hz，轴系转动时的一阶固有频率的理论计算值为3.78Hz，试验估计值可能在3～4Hz之间38整理ppt一次撞击振动信号识别

39整理ppt多次撞击振动信号识别

40整理ppt提高识别精度

从两种信号提取出的水轮机轴系固有频率（3.44Hz、3.64Hz）不完全相等，主要原因是强大的工频振动对相关滤波精度造成的影响。应用频带为3～6Hz的谐波小波带通滤波器，将信号中的工频振动分量滤掉41整理ppt小结冲击响应信号的有效提取和参数的正确识别对设备故障的诊断和定位至关重要。本章利用Laplace小波相关滤波法，建立了基于Laplace小波的冲击响应信号检测专科门诊。Laplace小波相关滤波法能够在强大噪声或其它干扰中准确捕捉到脉冲响应信号，识别出响应波形的参数。可以预测，Laplace小波相关滤波法在模态识别和设备故障诊断中具有良好的应用前景。42整理ppt6.3Hermitian连续小波变换与

信号奇异性识别6.3.1机械故障诊断中的奇异性6.3.2小波变换对信号奇异性检测的基本原理6.3.3Hermitian小波的定义及特性研究6.3.4Hermitian连续小波变换及分解结果的表达方式43整理ppt信号奇异性检测的意义机械设备由于局部异常而诱发的信号往往具有奇异性（Singularity），它表现为突变、尖点等不规则的瞬变结构。信号的奇异性包含了相应对象的重要状态特征信息，判断信号的奇异点出现时刻，并对信号奇异性实现科学的描述，在信号处理和故障诊断等领域具有重要的意义

奇异性提取要求对信号进行局部化分析。由于小波分析具有良好的时－频(尺度)局部化能力，它很自然被引入到信号奇异性分析领域

小波变换奇异性检测的研究工作主要包括两个方面：一是选择或构造局部化分析能力强的小波，二是研究小波变换结果的有效表达方式

44整理ppt小波变换对信号奇异性检测的基本原理

奇异性的定义

数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性。若函数在某处有间断点或某阶导数不连续，则称该函数在此处有奇异性，该点就是奇异点。信号的奇异性是由奇异点处的李氏指数（LipschitzExponents,LE）来度量的45整理ppt小波变换的极值点、过零点与信号奇异性的联系

46整理ppt小波变换在奇异性检测中的进展

Grossmann采用Morlet小波用于图像的边缘检测

-20-100102000.20.40.60.8-4-2024-1-0.500.51在支撑区域内Morlet小波是多次振荡的，根据Nyquist采样定理，在离散处理时需要较多的数据点来表达Morlet小波。点数较多的滤波器必然会平滑掉信号中的部分奇异性[104]，所以，奇异性检测需要振荡次数较少的小波，这正是本章选择Hermitian小波的出发点47整理pptMallat通过小波变换来求解LE，还研究了基于小波变换的奇异点信号重构，这些研究工作在信号压缩和图像识别中具有重大的贡献。

然而，就机械故障诊断而言，我们所关心的问题是信号奇异点的出现时刻和它的类型。对信号的过渡点比较敏感，而则适合于识别信号的极值点。若需要同时识别出信号的过渡点和极值点，两者不能兼顾。HaroldSzu创造性地将合并为Hermitian小波。美中不足的是，HaroldSzu只通过小波变换相空间截面图（相图）来对信号奇异性进行识别，忽略了小波变换时间-尺度幅值图（幅图）所包含的重要信息，没有真正发挥出Hermitian小波的优点。

48整理pptHermitian小波的定义及特性研究

-505-0.500.5-10-5051000.51-10-50510-101-10-50510-1012只需要少量离散点即可表达，具有很强的时域局部化能力能保证变换后信号奇异点的时间位置不变49整理pptHermitian连续小波变换及分解结果的表达方式

连续小波变换连续小波变换的幅图和相图

时间－尺度平面内分别用灰度图来描述上面两个参数，就构造了的幅图和相图幅图和相图的黑、灰