2024-2025学年白城市实验高中高三数学上学期期中考试卷附答案解析

-2025学年白城市实验高中高三数学上学期期中考试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设，，，则（）A. B. C. D.2.已知抛物线的准线方程为，，，为上两点，且，则下列选项错误的是（）A. B.C若，则 D.若，则3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.4.已知角，且，则的值为（）A. B. C. D.5.已知数列满足，数列的前项和为，则（）A.1012 B.1013 C.2024 D.20266.已知在数列中，，，则（）A. B. C. D.7已知平面向量，，若与垂直，则（）A. B.1 C. D.28.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）A.12800 B.24800 C.25600 D.51200二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（）A.函数是偶函数 B.函数的图象关于点对称C.函数是偶函数 D.函数是奇函数10.若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（）A. B.C D.11.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，则下列计算结果正确的有（）A. B.C. D.12.以下函数求导正确的是()A.若，则B.若则C.若，则D.设的导函数为，且，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即，，且.设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为an，则______.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______．①；②是偶函数；③在上单调递增．15.设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．16.已知曲线在处的切线经过点，则________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．18.已知．（1）求函数在上单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.20.设数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．21.设函数（Ⅰ）试问函数能否在处取得极值，请说明理由;（Ⅱ）若，当时，函数图像有两个公共点，求的取值范围.22.一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时．（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多长时间点P距水面的高度不小于(2＋2)m？白城市实验高级中学2024-2025学年度高三上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出函数、、的图象，结合图象可得出、、的大小关系.【详解】作出函数、、的图象如下图所示：因为，，，由图象可得.故选：D.2.已知抛物线的准线方程为，，，为上两点，且，则下列选项错误的是（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】求得抛物线，设直线，联立方程组求得，，结合向量的数量积的运算，可得判定A正确；由，可判定B正确；由，，可判定C错误；结合弦长公式和面积公式，可判定D正确.【详解】由抛物线的准线方程为，可得，解得，所以抛物线，设直线，且，，联立方程组，整理得，则，解得，且，，由，所以A正确；由，所以B正确；当时，由，可得，则，或，，所以，所以C错误；由，解得，所以，则，所以D正确．故选：C3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直及数量积的运算律列方程得，再应用向量夹角的坐标表示求夹角余弦值.【详解】因为，，所以，，因为，所以，得，所以，所以.故选：D.4.已知角，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以.故选：5.已知数列满足，数列的前项和为，则（）A.1012 B.1013 C.2024 D.2026【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的定义判断得数列的奇数项与偶数项分别为等比数列，再利用分组求和法求得，从而得解.【详解】因为，所以数列的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列，故，所以，故故选：B.6.已知在数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．故选：A7.已知平面向量，，若与垂直，则（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】先求，利用向量垂直可得数量积为0，进而可得.【详解】由已知得，因为与垂直，所以，得，解得，故选：D8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（）A.12800 B.24800 C.25600 D.51200【答案】D【解析】【分析】根据题意得，再结合对数运算解方程即可.【详解】解：因为时，，所以，解得，所以，时，，即，所以，解得．故选：D．二、多项选择题（本大题共4小题．每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（）A.函数是偶函数 B.函数的图象关于点对称C.函数是偶函数 D.函数是奇函数【答案】AD【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义判断ACD，由奇函数图象的平移判断B.【详解】对于A：令，，为偶函数，A正确；对于B：是奇函数，故图象关于原点对称，将的图象向左移1个单位可得到图像，故对称中心为，B错误；对于C，令，如果，则，由，此时，不是偶函数，故C错误；对于D，，为奇函数，故D正确.故选：AD.10.若定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据条件，分析函数的单调性和对称性，再根据的性质逐项分析即可.【详解】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，即当时，单调递增，当时，单调递减，对于A，，错误；对于B，，正确；对于C，，正确；对于D，，正确；故选：BCD.11.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，则下列计算结果正确的有（）A B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由已知利用三角形的内角和定理可求的值，由正弦定理可求得的值．在中可求，可得，在中，由余弦定理即可计算得解的值．【详解】解：中，，由正弦定理得．在中，，，，在中，由余弦定理得：．．故选：CD12.以下函数求导正确的是()A.若，则B.若则C.若，则D.设的导函数为，且，则【答案】ACD【解析】【分析】利用求导法则逐项检验即可求解.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，所以，故D正确．故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即，，且.设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为an，则______.【答案】【解析】【分析】根据递推关系可得的周期性，故可求.【详解】的各项除以的余数分别为，故可得的周期为，且前项分别为，而，故答案为：.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式______．①；②是偶函数；③在上单调递增．【答案】（满足条件即可）【解析】【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》【详解】解：如，，，故，是偶函数，又在上单调递增，故答案为：（满足条件即可）15.设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．【答案】【解析】【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案.【详解】解：，∴，，又，则，，∴，∴.故答案为：.16.已知曲线在处的切线经过点，则________．【答案】【解析】【分析】求得，根据导数的几何意义和斜率公式，列出方程求得即可求得.【详解】由题意，函数，可得，则，所以，可得，所以．故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解；（2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解.【小问1详解】若，由，解得，则，又，即等价于，解得，则，.【小问2详解】由等价于，当时，集合，符合；当时，由，解得，即，又，，解得，综上，实数的取值范围是.18.已知．（1）求函数在上的单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，由正弦型函数即可求函数在上的单调增区间；（2）根据三角函数的图象变换与函数的对称性即可得所求.【小问1详解】，.因为，，所以，故函数在单调增区间为；【小问2详解】将向左平移个单位得到将纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到，又因为的图象关于直线对称，则，解得：因为，所以当时，，故.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据分类讨论，利用导数求出函数的单调区间；（2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可.【小问1详解】，.当时，，在R上单调递增.当时，令，得.时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，故当时，的单调递增区间是R；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.【小问2详解】，，，∵，∴，在上单调递增，.当，即时，，在上单调递增，则，，故.当，即时，，，，即或，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，则，，∴.令函数，且，，在上单调递增，，∵（），∴.综上，实数a的取值范围是.20.设数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合探讨数列特征，再求出通项公式即得.（2）由（1）结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.【小问1详解】依题意，当时，，解得，当时，，整理得，即有，两式相减得，因此数列为等差数列，由，，得公差，所以数列的通项公式．【小问2详解】由（1）知，，因此，则，显然数列是递增数列，即有，而，所以．21.设函数（Ⅰ）试问函数能否在处取得极值，请说明理由;（Ⅱ）若，当时，函数的图像有两个公共点，求的取值范围.【答案】（1）f(x)在x=-1处无极值.（2）或c=【详解】解：22.一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时．（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多长时间点P距水面的高度不小于(2＋2)m？【答案】（1）z＝4sin＋2；（2）5s；（3）2.5s.【解析】【分析】（1）设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，可知以Ox为始边，OP为终边的角为t＋φ，结合进而t＝0时求得的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即可求得时间；（3）由z＝4sin＋2