理学统计物理学基础

1热学：

研究热现象规律的科学热现象：一切与温度有关的现象（宏观）

。大量微观粒子无规则的运动（微观）

。研究热现象规律有两种方法：热力学 统计力学热力学：以大量实验为基础研究宏观热现象规律。统计力学：从物质的微观结构出发

，

以每一个微观粒子遵循的力学规律为基础

，

利用统计规律

来导出宏观的热学规律。220章

统计物理学基础20-

1统计规律与概率理论20-2

温度与压强20-3

三种统计规律20-4

麦克斯韦—

玻尔兹曼统计在理想气体中的应用20-5能量按自由度均分定理理想气体的内能20-6

分子碰撞的统计规律20-1统计规律与概率理论1.统计规律.....---大量偶然事件整体所....遵从的规律。...●..加尔顿板实验:...3...............................单个粒子运动---偶然事件

(落入那个槽)大量粒子运动---统计规

律(粒子在槽中的分布)........●..●...●..●●...●●...........●●..(2)是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律。(3)与系统所处宏观条件有关。(4)存在起伏（涨落）。2.概率的定义实验总观测次数N,其中出现结果A的次数NA,事件A出现的概率

单个粒子遵循牛顿定律。

大量粒子遵从统计规律---牛顿运动定律无法说明。统计规律特点:(1)对大量偶然事件有效,对少量事件不适用。不矛盾4 或J和K为相容事件（可同时出现）,则同时发生J和K的 ---概率乘法定理（2）A和B为互斥事件（不可能同时出现）,则出现A或B的总概率W=W4+wg---概率叠加原理归一化条件:对所有可能发生的事件的概率之和必定为1。（1）0W1,W=0,为不可能事件,W=1,为必然事件。3.概率的基本性质（

3）

概率5146容体A,B两室中：（中间隔板打开）平衡态概率最大！斯特令公式lnΩ

＝

lnN!-lnx!-ln(N-x)!=NlnN-N-xlnx+x-(N-x)ln(N-x)+(N-x)=NlnN-xlnx-(N-x)ln(N-x)

lnx=ln(N-x)4.平衡态是概率最大的状态a,b,c,d4个热运动,可分辨6粒粒ABabc

abd

a

cd

bcdabc

abd

a

cd

bcdaba

cbc

cd

bd

adcdbd

ad

aba

cbc由41子,在等dcbadcbaabcdabcdA

B20-2温度与压强一、微观量与宏观量热力学研究的对象:大量微观粒子组成的宏观体系。热力学系统（系统）。统计物理的研究对象:大量微观粒子组成的体系。宏观量:描述系统整体特征和属性的物理量。如:气体的压强（p）,体积（V）,温度（T）等微观量:描述系统中单个粒子特征的物理量。如:粒子的质量（m），动量速度能量（E）等7的宏观量具有稳定值,统计物理认为:平衡态下系统宏观量是测量时间内,系统所有微观状态中相应的微观量的统计平均值!热力学系统的平衡态:在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的状态。

A

B

系统处于平衡态时,系统子的微观量在不断变化。汽

水微观量宏观量动态平衡！二

、平衡态统计平均而单个粒89三

、理想气体的压强公式压强由大量气体分子不断碰撞容器壁而产生

。它等于容器

壁单位时间单位面积上受到的平均冲量。建立理想气体微观模型(1)气体分子看成质点；(2)除碰撞外,忽略其它力；(3)完全弹性碰撞。利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动利用统计规律处理大量粒子的运动理想气体压强推导中用到的统计概念和统计假设:1.分子以各种方向入射角去碰S面的概率相同2.平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，因而有4.分子相互碰撞导致分子与

S面碰撞的次数增加和减少

的机会是相同的；5.推导中不考虑分子间的相互碰撞。3.气体分子相互碰撞时,一个分子失去多少动量必有另一个分子得到相同的动量；;

10x（2）在dt时间内,速度在区间内的所有分子对器壁的冲量。在dt时间内,凡是在底面积为dS,高为vixdt的斜柱体内的分子都能与dS相碰。这些分子作用于dS冲量为一个分子施于器壁的冲量2mvs

方向垂直dS面。的一个分子一次碰撞器壁dS面

后的动量变化为(1).速度在11（3）dt内各种速度分子对dS的总冲量为:为分子的平均平动动能（4）

压强其中由于12N=6.02×1023mol1

k玻耳兹曼常数13四

、理想气体温度公式m=NmM

=NAmiR=

8.31J.mol-1k-1n:气体分子数密度，单位体积内的分子数。理想气体状态方程另一种表达式:理想气体,平衡态普适气体常数热力学温度是分子平均平动动能的量度。对温度概念的理解:（1）温度是描述系统平衡态宏观性质的物理量，动态。（2）温度是一个统计概念，只能用来描述大量分子无规则运动剧烈程度的集体状态，对单个分子谈论它的温度没有意义。（3）温度所反映的运动，是在质心系中表现的分子的无规则运动（又叫热运动）。（4）温度的微观意义，从统计物理角度看，热力学系统的温度是分子平均平动动能的量度。分子热运动的平均转动动能和振动动能也都和温度有直接的关系。14对于处在平衡态的孤立系，其各个可能的微观态出现的概率相等。如果平衡态下孤立系的微观态总数为W，则系统的任一微观态出现的概率均为1/W，即系统自发趋向于最概然分布！求经典粒子（气体分子）按能量的最概然分布的思路：(1)现将N个粒子按NN2…N…分布，记为Ni，分别放到能量为6…6…（每一个i还有gi个量子态，）的各种量子态中去的可能占据的方式数a20-3

三种统计规律一

、等概率假设（平衡态统计理论的基础）1516（2）求a取最大值的分布，即最概然分布（3）求在最概然分布下，每个能级上的粒子数N=?能级上每个量子态被占据的概率（4）推导过程中要用到等概率假设和约束条件:孤立体系粒子数守恒:恒量能量守恒:恒量二、麦克斯韦—玻尔兹曼统计分布（M-B分布）经典粒子彼此可以区分，每个量子态中的粒子数不受限制。2个经典粒子在3个量子态中的可能分布共有多少种？飞机

飞机哈尔滨火车

北京

火车·上海

汽车

汽车

3×3=32=9种分布。（2个不同粒子放入3个盒子,分2步完成。）17相应的系统的微观态数最概然分布求a取最大值的分布个量子态的占据方式为N个可区分粒子,分为

个粒子分别占用能级的gg…g…因而,对麦-玻系统,与一个分布Nii能级的gi个量子态上的占据方式为Ni个经典粒子分布在个粒子的组合方式为18lnN!=ln1+ln2+…+lnNy

lnN!～N(lnN-1)证明:(N＞10)求最概然分布1

2

3

x斯特令公式19求在最概然分布下,每个能级上的粒子数Ni由宏观约束条件由拉格朗日乘子法原理20理论和实验证明

最后可得经典粒子按能级的最概然分布,M-B分布可求得和由2120-4麦克斯韦—玻尔兹曼统计在理想气体中的应用一、麦克斯韦分子速度分布律利用M-B分布可导出在没有势场情况下，理想气体按速度的分布规律。对理想气体，在温度T的平衡态下:分子速度在的概率22利用2324体积dV中动量为

p

附近的粒子数体积V中动量为

p

附近的粒子数速度分布律麦克斯韦速度分布律二、麦克斯韦分子速率分布律如果不考虑分子速度的方向,只考虑大小,由在温度为T的平衡态下,理想气体分子速率在vv+dv范围内的概率vyv麦克斯韦速率分布函数---概率密

度由0

2

积分速率分布函数0vz并对

由0vx25,26三

、麦克斯韦速率分布实验狭缝显示屏接抽气泵蒸汽（1）f（v）曲线为偏态分布，v→0,f(v)→0;v→∞,f(v)→0（2）f(v)曲线下，宽度为dv的窄条面积的物理意义:v1和v2区间的面积:曲线下总面积: 分布函数

f

(v)0

vp

v1

v2

vv~v+dvf(v)满足归一化条件四、讨论:27同样速率间隔dv,速率在vpvp+dv的分子数最多由及（

1）

最概然速率（最可几速率）曲线f(v)中极大值所对应的速率

vpvp附近概率密度最大,或者说,0可求得速率vpvp五

、三种速率（2）

平均速率f

(v)v281.三种速率都与温度成正比,与分子质量成反比2.讨论分子速率分布时用讨论分子碰撞用计算分子平均平动动能用三种速率都反映了大量分子作热运动的统计规律。29f

(v)（

3）

方均根速率可以看出v结论:Vp01.对同一种气体,三种速率均与温度T开平方成正比。温度越高,分子各种速率均增加,分布曲线右移。2.同一温度下,不同物质三种速率均与质量m开平方成反比。分子质量越小,速率越大,分布曲线右移。T

=

300KT2=

1200KN2

分子在不同温度下的速

率分布。同一温度下不同气体的速

率分布。Vp

Vp2例:30式中分子动能玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼将上述规律推广到有势场情况,得到理想气体在速度区间dvxdvydvz及位置区间dxdydz的分子数为 玻尔兹曼分布六、玻尔兹曼能量分布律等温气压公式麦克斯韦速度分布率理想气体在没有外势场,在温度为T的热平衡态下, vy→

vy+dv

v2→v2+dv2

的分子数为速度在31七、玻尔兹曼分布律的应用—重力场中粒子按高度的分布对所有速度积分,得体积元dxdydz内的总分子数:由速度分布函数的归一化条件,得32 用空间粒子数密度表示: 令C=n0为Ep=0处的粒子数密度八、重力场中等温气压公式EP=mgh重力场中粒子按高度的分布p=nkT ---恒温气压公式上式给出每升高10m,大气压强约降低133Pa33空气密度

p

=

n·m气体压强

p

可以看作单位面积上空气柱重量p=nkTdp=

KTdn-KTdn

=

nmgdh34另一种推导方法:重力场中粒子按高度的分布-dp=pgdh.l=nmgdh由系统内所有分子热运动动能和分子间相互作用势能的总和称为系统内能，用E表示。内能是状态量E=E(T,W)理想气体内能:E=E(T)理想气体的内能是温度的单值函数。20-5能量按自由度均分定理一

、

内能系统内所有粒子各种能量的总和U=U(V,T)35理想气体的内能热力学内能:二、能量均分定理1.自由度:确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数。单原子分子:i=3刚性双原子分子:i=5刚性多原子分子:i=62.能量均分定理:在温度为T的平衡态下，分子每一个可能的自由度都占有相同的能量，kT/2。例:粒子的平均平动动能zC(x,y,z)0xC(x,y,z)x

0z36yy37设分子有t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度,每个振动自由度又占有振动动能和振动势能2份能量则分子的平均能量为:常温下,理想气体单原子分子刚性双原子分子多原子分子(

i=t+r+2s)一定质量的理想气体的内能只是温度的函数,而且和热力学温度成正比。1mol理想气体分子数为

NA

,

内能为

:质量为m

的理想气体内能为

:3.理想气体内能:38部分体积均为V0,求（1）两种气体各自的内能；（2）抽去绝热板,两种气体混合后处于平衡时的温度。例.用绝热材料制成的一个容器,体积为2V0,被绝热板隔成A,B两部分,A内储有1mol单原子理想气体,B内储有2mol双原子理想气体。A,B两部分压强相等均为p0,两（2）初内能E1=EA+EB=4POVO末内能

A

B

·

解

:（1）39●由于分子向各个方向运动的概率相同,所有两分子运动方向的平均夹角将是0°至180°之间的平均值90°。因此所以du

dd4020-6

分子碰撞的统计规律一

、分子平均碰撞频率分子平均碰撞频率分子热运动

碰撞示意图估计平均自由程的数量级为～10-7m分子直径d~2x10-10m可以将气体分子看成质点例.估计氢气分子（H2

）在标准状况下（常温常压下）

的平

均碰撞频率数量级即每秒内一个分子要发生

几十亿次碰撞分子在连续两次踫撞间所通过的自由路程的平均值。将

p

=nkT

代入上式得二

、平均自由程41f

(v)5.平均碰撞频率和平均自由程3.速率分布函数0

4.三种速率总

结2.温度1.压强v42例1.用总分子数N，气体分子速率v和速率分布函数f(v)表示下列各量，指出其物理含义:（1）速率大于v0的分子数（2）速率大于v0的那些分子的平均速率（3）速率大于v0的分子数占总分子数的比例,或:多次观察某一分子的速率,发现其大于v0的几率。43温度T相同，哪个是H2?哪个是O2?都个是H2，温度不同，哪个温度高？44f(v)例2vp1vp2ⅡvⅠ045例3用

表示数率分布函数（简化运算）例4.求300K时，空气中速率在vp附近和10vp附近单位速率区间的分子数占总分子数的百分比各是多少？

=

415m/s=0.2%解:46求粒子平均速率。解

:

平均速率例5.有N个粒子,其速率分布函数为f(v)应满足归一化条件:cv0=

l4748例6:一瓶气体由N个分子组成。试证不论分子速率分布函数如何,总有证:当

T增加N2

增加

N1

减小当