新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第27讲 正弦定理、余弦定理及应用（解析版）

第27讲正弦定理、余弦定理【基础知识网络图】【基础知识全通关】一、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：SKIPIF1<0【微点拨】（1）正弦定理适合于任何三角形，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆半径）；（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.二、余弦定理在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0变形为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【微点拨】（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它=3\*GB3③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用.三、三角形的面积公式(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高(2)SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0四、三角形形状的判定方法设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，解斜三角形的主要依据是：（1）角与角关系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；SKIPIF1<0；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.【微点拨】=1\*GB3①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.=2\*GB3②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.五、解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【考点研习一点通】考点01运用正余弦定理解三角形例1、在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值：（2）求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0由正弦定理得SKIPIF1<0.方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．【变式1-1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】4【解析】∵SKIPIF1<0，∴由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴由余弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内角，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：4．【变式1-2】在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】余弦定理SKIPIF1<0将各值代入得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)选A.考点02利用正余弦定理判定三角形形状例2、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解析】(1)由已知，根据正弦定理得：2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－eq\f(1,2)，A＝120°.(2)由(1)得：sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，∵A＝120°，∴eq\f(3,4)＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，与sinB＋sinC＝1联立方程组解得：sinB＝sinC＝eq\f(1,2)，∵0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°，∴△ABC是等腰钝角三角形．【变式】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．等腰非等边三角形C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】(1)B(2)C【解析】(1)法一：因为bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理知sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，得sin(B＋C)＝sinAsinA.又sin(B＋C)＝sinA，得sinA＝1，即A＝eq\f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．法二：因为bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(2a2,2a)＝a，所以asinA＝a，即sinA＝1，故A＝eq\f(π,2)，因此△ABC是直角三角形．(2)因为eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(a,c)，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC是等边三角形．方法总结：判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考点03运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．(1)求角A的大小；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\r(3)，求△ABC的面积．【解析】：(1)(解法1)在△ABC中，由正弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA，即sinA＝2sinAcosA．因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosA＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(π,3)．(解法2)在△ABC中，由余弦定理，及bcosC＋ccosB＝2acosA，得beq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋ceq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2aeq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)．因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)．(2)由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝cbcosA＝eq\r(3)，得bc＝2eq\r(3)，所以△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×sin60°＝SKIPIF1<0【变式】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面积．【解析】：(1)由题意得eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6)))．由a≠b，得A≠B．又A＋B∈(0，π)，得2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3)．(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5)．由a<c，得A<C，从而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以，△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25)．考点04利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题例4、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离．现测量人员在相距eq\r(3)km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的eq\f(4,3)倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？【解析】：在△ACD中，由已知可得∠CAD＝30°，所以AC＝eq\r(3)km．在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°．sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)．由正弦定理，BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)．cos75°＝cos(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)．在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA＝eq\r(3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)·cos75°＝5．所以AB＝eq\r(5)，故施工单位应该准备电线长为eq\f(4,3)eq\r(5)km【变式4-1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【解析】：如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在△BCD中求∠BCD．设缉私船用th在D处追上走私船，则有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)．∵cos∠CBA＝eq\f(BC2＋AB2－AC2,2BC·AB)＝eq\f(6＋（\r(3)－1）2－4,2\r(6)·（\r(3)－1）)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CBA＝45°，即B在C正东．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°．即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．考点05正余弦定理在三角形中的运用例5、如图，在SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．ABCD（1）求SKIPIF1<0的值；ABCD（2）求SKIPIF1<0的长．【解析】：（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．同理可得，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0中，由正弦定理得，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【变式5-1】如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2eq\r(10)，∠CAD＝eq\f(π,4)，tan∠ADC＝－2.(1)求CD的长；(2)求△BCD的面积．【解析】：(1)因为tan∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝eq\f(2\r(5),5)，cos∠ADC＝－eq\f(\r(5),5).所以sin∠ACD＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠ADC－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADC＋\f(π,4)))＝sin∠ADC·coseq\f(π,4)＋cos∠ADC·sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(10),10)，(6分)在△ADC中，由正弦定理得CD＝eq\f(AD·sin∠DAC,sin∠ACD)＝eq\r(5)因为AD∥BC,所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝eq\f(\r(5),5)，sin∠BCD＝sin∠ADC＝eq\f(2\r(5),5)在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7,(12分)所以S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CD·sin∠BCD＝eq\f(1,2)×7×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝7.【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面积．【解析】：(1)因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(B,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(C,\s\up6(→))))cos∠BAC，所以cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(B,\s\up6(→))))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A\o(C,\s\up6(→)))))＝eq\f(50,13×10)＝eq\f(5,13).(2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65).由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(102＋52－\r(65)2,2×10×5)＝eq\f(3,5).因为∠CAD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝eq\r(1－cos2∠CAD)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝eq\f(4,5).(3)由(1)知，cos∠BAC＝eq\f(5,13).因为∠BAC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝eq\r(1－cos2∠BAC)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝eq\f(12,13).从而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD＝eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(5,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(56,65).所以S△BAD＝eq\f(1,2)AB·AD·sin∠BAD＝eq\f(1,2)×13×5×eq\f(56,65)【考点易错】1.如图，在△ABC中，∠B＝SKIPIF1<0，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝SKIPIF1<0．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)7【点拨】（1）在三角形ADC中，由已知条件和外角定理可求得sin∠BAD；（2）利用正弦定理和余弦定理分别求得BD，AC的长。【解析】(1)在△ABC中，∵cos∠ADC＝SKIPIF1<0，∴sin∠ADC＝SKIPIF1<0，则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC•cosB－cos∠ADC•sinB＝SKIPIF1<0．(2)在△ABD中，由正弦定理得SKIPIF1<0，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB•BCcosB＝82＋52－2×8×5×SKIPIF1<0＝49，即AC＝7．【总结】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B．(1)求cosB的值；(2)若b2＝ac，求sinAsinC的值．【点拨】由题设“A+C＝2B”易知B＝60°，又由边之间的关系“b2＝ac”，如何求“sinAsinC”的值？正、余弦定理的运用都可以求出值.【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以SKIPIF1<0．(2)解法一：由已知SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，根据正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解法二：由已知SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，根据余弦定理得SKIPIF1<0，解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故SKIPIF1<0．【总结】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形.3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．（1）求sinC的值；（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，求b及c的长．【点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c，要求边b，考虑用余弦定理，即先求出cosC的值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，由正弦定理SKIPIF1<0，得c＝4．由SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．由余弦定理得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【总结】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知SKIPIF1<0＝2，cosB＝SKIPIF1<0，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值．【答案】(Ⅰ)a＝3，c＝2，(Ⅱ)SKIPIF1<0．【点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图，将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角SKIPIF1<0的正弦值.【解析】(Ⅰ)∵SKIPIF1<0＝2，cosB＝SKIPIF1<0，∴c•acosB＝2，即ac＝6①，∵b＝3，∴由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋c2－4，∴a2＋c2＝13②，联立①②得：a＝3，c＝2；(Ⅱ)在△ABC中，sinB＝SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0得：sinC＝SKIPIF1<0sinB＝SKIPIF1<0，∵a＝b＞c，∴C为锐角，∴cosC＝SKIPIF1<0，则cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝SKIPIF1<0×SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0．【总结】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.5.SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．【答案】（=1\*ROMANI）由已知及正余弦定理得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（=2\*ROMANII）由已知，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由已知及余弦定理得，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0。6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0(2)若,求△ABC的面积.【解析】(1)证明:由SKIPIF1<0及正弦定理得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0整理得:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(2) 由(1)及SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,所以三角形ABC的面积SKIPIF1<0【总结】本题考查解三角形,三角形的面积,三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.7.设锐角三角形SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的大小；（2）求SKIPIF1<0的取值范围．【点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B的正弦值，进而求B；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.【解析】（1）由SKIPIF1<0，根据正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0为锐角三角形得SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0为锐角三角形知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由此有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．【总结】本题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.【巩固提升】1、在△ABC中，cosC=SKIPIF1<0，AC=4，BC=3，则cosB=A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据余弦定理：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：A．2.SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选C.3.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为SKIPIF1<0，沿点A向北偏东SKIPIF1<0前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为SKIPIF1<0，则“泉标”的高度为（）A．50m B．100m C．120m D．150m【答案】A【解析】如图,SKIPIF1<0为“泉标”高度,设高为SKIPIF1<0米，由题意,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0米,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,

在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,

由余弦定理可得SKIPIF1<0，

解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去),

故选：B.4.SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为_________．【答案】SKIPIF1<0【解析】由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<05、某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，则该四边形ABCD的面积等于__________m2．【答案】：500eq\r(3)【解析】：连结BD，在△BCD中，BC＝CD＝20，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BD＝20eq\r(3)，S△BCD＝eq\f(1,2)×20×20×sin120°＝100eq\r(3)．在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝40，BD＝20eq\r(3)，∴S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD＝eq\f(1,2)×40×20eq\r(3)＝400eq\r(3)，∴四边形ABCD的面积是500eq\r(3)m2．6、如图，一栋建筑物的高为(30－10eq\r(3))m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________m．【答案】：60【解析】：如图，在Rt△ABM中，AM＝eq\f(AB,sin∠AMB)＝eq\f(30－10\r(3),sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),sin(45°－30°))＝eq\f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20eq\r(6)m．又易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°．在△AMC中，由正弦定理得eq\f(MC,sin45°)＝eq\f(20\r(6),sin30°)，解得MC＝40eq\r(3)．在Rt△CMD中，CD＝40eq\r(3)×sin60°＝60m，故通信塔CD的高为60m．7、SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（I）求B；（II）若SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0的面积.【解析】（Ⅰ）SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(Ⅱ)由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8、如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向且与A相距10eq\r(2)海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．(1)求乙船每小时航行多少海里？(2)在C处北偏西30°方向且与C相距eq\f(8\r(3),3)海里处有一个暗礁E，暗礁E周围eq\r(2)海里范围内为航行危险区域．问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险？如有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险；如无危险，请说明理由．【解析】：：(1)如图，连结AD，由题知CD＝10，AC＝eq\f(20,60)×30＝10，∠ACD＝60°，∴△ACD是等边三角形．∴AD＝10．又∠DAB＝45°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AB×ADcos45°＝100，∴BD＝10，v＝10×3＝30(海里)．答：乙船的速度为每小时30海里．(2)在海平面内，以B点为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示平面直角坐标系．危险区域在以E为圆心，半径为r＝eq\r(2)的圆内．∵∠DAB＝∠DBA＝45°，易知直线BD的方程为y＝eq\r(3)x，E的横坐标为ABcos15°－CEsin30°，纵坐标为ABsin15°＋CEcos30°＋AC，求得A(5eq\r(3)＋5，5eq\r(3)－5)，C(5eq\r(3)＋5，5eq\r(3)＋5)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(11\r(3),3)，9＋5\r(3)))．点E到直线BD的距离为D1＝eq\f(|5\r(3)＋11