《极坐标系的概念》

极坐标系的概念平面直角坐标系中的点P与坐标(a,b)是_____对应的.P(a,b).xyOab温故引入平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系,但不是唯一的一种坐标系.有时用别的坐标系比较方便.我们先看下面的问题.还有什么坐标系呢？与角α终边相同的角:β=α+2kπ,k∈Z一一5海里想一想？（1）距离:5海里（2）方向:东偏北20º.Ox稽查船20º发现走私!!!如何确定以下两船的位置关系呢？距离40km

xO方向：以长城路为X轴以都蔚路为Y轴...请问：去五星花园怎么走？从这向东2000米。请问：去五星花园怎么走？请分析这句话，他告诉了问路人什么？从这向东走2000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。1.极坐标系的建立：在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线OX,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）.这样就建立了一个极坐标系.XO建构数学2.极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M,用

表示线段OM的长度,用

表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,

叫做点M的极径,

叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标。XOM

极点的极坐标为____________________(0,),

可为任意值.思考:对比直角坐标系,比较异同。要素:________________________________________；(2)平面内点的极坐标用_____表示.极点、极轴、长度单位、计算角度的正方向(,)例1.如图，写出各点的极坐标：。Ox

A•B•C•D•E•F•G•A(4,0)B(3,)

4C(2,)

2D(5,)56E(4.5,

)F(6,)43G(7,)531数学运用[变式训练]请描出下列点:[小结]由极坐标描点的步骤:(1)先按极角找到点所在射线；(2)在此射线上按极径描点.思考:①平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？3.点的极坐标的表达式的研究XOM

如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的表达式？思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同,终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。极径相同,不同的是极角.4.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定（

,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M[2]给定平面上一点M,但却有无数个极坐标与之对应。原因在于:极角有无数个。OXPM(ρ,θ)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.数学运用在一般情况下,极径都是取正值。但在某些必要的情况下,也允许取负值(<0):当<0时如何规定(,)对应的点的位置？°Ox当<0时，点M(,)的位置规定:

))|

|•

M(,)°OxM(-2,)56)56¬¬点M:在角终边的反向延长线上，且|OM|=||•M(-2,)565.关于负极径小结:从比较来看,负极径比正极径多了一个操作,将射线OP“反向延长”.。Ox

4

2565453

1162332A(-4,0)C(-2,)

2B(3,)56D(-1,)53E(3,-)

6(-4,-)

3F•A•B•C•D•E•F[小结](,)(,2k

+)(-,+

)(-,+(2k+1)

)都是同一点的极坐标.1[3]一点的极坐标有否统一的表达式？[1]