重难点03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理

重难点03梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理模型解密梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB=ZAOC=90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB最大值。即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中OB的最值模型二:如图所示,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时线段OD取最大值四边形中对角互补模型对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.模型一：含90°的全等型1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC.2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC.图1 图2 图3模型二、：含60°与120°的全等型如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC.梯形中位线定理（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。典例分析类型一：梯子模型【典例1】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是．【变式1-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是．类型二：四边形中对角互补模型【典例2】在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为；（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面积．【变式2-1】如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．（1）求点P的坐标．（2）当∠APB绕点P旋转时，①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA2+OB2的最小值．【变式2-2】四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A的度数为；（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．求证：AC平分∠BCD．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM＝BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为：；（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD＝60°，AB＝AD，试证明：①AC平分∠BCD；②CA＝CB+CD；（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC＝60°，AD＝CD，则BA、BC、BD三者关系为：．类型三：梯形中位线定理【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．【变式3-1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点，如果AB＝2，EF＝3，那么CD＝．【变式3-2】如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，那么＝．真题精练1．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线； ②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC； ④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向△ABC外侧作△ABD，使得∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②△CDE为等边三角形；③DC平分∠BDA；④DC＝DB+DA，其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论：①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．14．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当点B在ON上移动时，点A随之移动，AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是．6．如图，Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴和y轴上，且点A，B的坐标分别是（3，0）和（0，4），点C是半圆ACB上任意一点，则点O，C的最大距离为．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动．（1）当OB＝1时，点C的坐标为；（2）连结OC，则OC的最大值为．8．如图．△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动．（1）AB＝；（2）若点D是AC的中点．则点D在运动过程中经过的路径长为；（3）点B到原点O的最大的距离是．9．在学习三角形中位线定理时，小丽发现作以下辅助线能够证明三角形中位线定理．已知：如图1，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．求证：DE∥BC，．证明：（小丽的辅助线作法）延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．…（1）请在图1中画出小丽所说的辅助线，并补全三角形中位线定理的证明过程；（2）三角形中位线定理应用：如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，则线段AD，EF，BC之间的数量关系是．10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N．（1）若AE＝2，CF＝3，求EF的长；（2）求证；∠EFN+∠EMN＝180°；（3）若＝2，BE＝3，求EF的长．11．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是等补四边形．探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，BA＝BC，连接BD，BD是否平分∠ADC？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分线交AB的延长线于点E，AB＝20，CE＝10，求BE的长．12．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．【问题理解】如图1，点A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD、CD．求证：四边形ABCD是等补四边形；【拓展探究】如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；【升华运用】如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD＝6，DF＝2，求AF的长．13．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；（3）在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若＝，tan∠ABC＝，AC＝12，求FG的长；（4）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x，＝y，求y与x之间的函数关系式．14．阅读下面的材料．材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∵E、F是AB、CD的中点，∴EF∥AD∥BC，EF＝（AD+BC）．材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．如图②：在△ABC中，∵E是AB的中点，EF∥BC，∴F是AC的中点．请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．如图③：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC＝30°．（1）求证：EF＝AC；（2）若OD＝3，OC＝5，求MN的长．15．问题提出（1）如图1，在△ABC中，BC＝6，D是边BC上的一个动点，连接AD，若AD的最小值为4，则三角形ABC的面积为．问题探究（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD+∠C＝180°，试说明．问题解决（3）如图3，四边形ABCD是某学校操场上的一块空地，学校准备在这块空地上举办航模展．其中边AB和BC是用来展示航模展的历史，且满足∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC，边AD和DC用来放置电子显示屏，播放航模知识讲解，AD+CD＝18，求四边形ABCD的面积．

重难点03梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理模型解密梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。[考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。模型一:如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB=ZAOC=90°AC的中点为P,连接OP、BP、OB,则当O、P、B三点共线时,此时线段OB最大值。即已知RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中OB的最值模型二:如图所示,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当点A在边OM上运动时,点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接OP、PD、OD,则当O、P、D三点共线时,此时线段OD取最大值四边形中对角互补模型对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.模型一：含90°的全等型1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC.2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC.图1 图2 图3模型二、：含60°与120°的全等型如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC.梯形中位线定理（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。典例分析类型一：梯子模型【典例1】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是3+．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE＝＝，∵OD≤OE+DE，∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+，故答案为：3+．【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是2+．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，取AC的中点M，连接OM，BM．∵∠AOC＝90°，AM＝CM，AC＝4．∴OM＝AC＝2，在Rt△ABM中，∵∠BAM＝90°，AB＝1，AM＝2，∴BM＝＝，∵OB≤BM+OM，∴OB≤2+，∴OB的最大值为2+．故答案为2+．【变式1-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是5+5．．【答案】5+5．【解答】解：∵∠MEN＝90°，F是BC中点，∴EF＝BC＝5．如图：ED≤EF+DF，当点D，E，F三点共线时，取等号．此时F是BC的中点，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴FD＝＝＝5．∴ED最大＝EF+DF＝5+5．故答案为：5+5．类型二：四边形中对角互补模型【典例2】在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为AD+AB＝AC；（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面积．【答案】（1）AD+AB＝AC；（2）成立，理由见解答；（3）AC＝5，四边形ABCD面积为25．【解答】解：（1）∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，∴∠D＝∠B＝90°，∵对角线AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∵AC＝AC，∴Rt△DAC≌Rt△BAC（AAS），∴AD＝AB，∵∠DAB＝120°，∴，∴∠DCA＝30°，∴，∴，∴AD+AB＝AC．故答案为：AD+AB＝AC．（2）（1）中结论成立，理由如下：，以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，由（1）可得：∠CAB＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠AEC＝60°，∴∠CAB＝∠BAC＝∠AEC，∴△ACE为等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBE，∵∠ABC+∠D+∠DAC+∠DCB＝360°，∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，∴∠DCB﹣∠ACB＝∠ACE﹣∠ACB，∴∠DCA＝∠BCB，∴△CAD≌△CEB（AAS），∴AD＝BE，∵AC＝AE＝AB+BE，∴AC＝AD+AB．（3）过点C作CE⊥AC交AB延长线于点E，，∵对角线AC平分∠BAD，∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠DAC＝45°，∵CE⊥AC，∴∠ACE＝90°，∴∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝45°，∴∠E＝∠CAE，∠E＝∠DAC，∴AC＝CE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠D＝∠CBE，∴△ADC≌△EBC（AAS），∴AD＝BE，∴AE＝AB+BE＝AB+AD，∵AD＝3，AB＝7，∴AE＝10，在Rt△ACE中：AC2+CE2＝AE2，∴AC＝CE＝5，∴＝25，∵△ADC≌△EBC，∴S△ADC＝S△EBC，∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ACB＝S△EBC+S△ACB＝SACE＝25．【变式2-1】如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．（1）求点P的坐标．（2）当∠APB绕点P旋转时，①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA2+OB2的最小值．【答案】（1）P（2，2）；（2）①不变，值为4；②8．【解答】解：（1）∵点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，∴3m﹣1＝﹣2m+4，∴m＝1，∴P（2，2）；（2）①不变．过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝2，∴四边形QMPN是正方形，∴∠MPN＝90°＝∠APB，∴∠MPB＝∠NPA．在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM＝AN，∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝4，②连接AB，∵∠AOB＝90°，∴OA2+OB2＝AB2，∵∠BPA＝90°，∴AB2＝PA2+PB2＝2PA2，∴OA2+OB2＝2PA2，当PA最小时，OA2+OB2也最小．根据垂线段最短原理，PA最小值为2，∴OA2+OB2的最小值为8．【变式2-2】四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A的度数为90°；（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．求证：AC平分∠BCD．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM＝BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为：CD+BC＝AC；（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD＝60°，AB＝AD，试证明：①AC平分∠BCD；②CA＝CB+CD；（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC＝60°，AD＝CD，则BA、BC、BD三者关系为：BC+AB＝BD．【答案】（1）CD+BC＝AC；（2）CD+BC＝AC；（3）①见解析；②见解析；（4）BC+AB＝BD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为对角互补四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B：∠C：∠D＝2：3：4，∴∠B＝180°×＝60°，∴∠C＝90°，∴∠A＝90°，故答案为：90°；（2）∵△ABC≌△ADM，∴AC＝AM，BC＝DM，∵△ACM是等腰直角三角形，∴CM＝AC，∵CM＝CD+DM，∴CM＝CD+BC＝AC，故答案为：CD+BC＝AC；（3）①延长CD至M，使DM＝BC，连接AM，∵四边形ABCD为对角互补四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADM＝∠B，∵AB＝AD，∴△ABC≌△ADM（SAS），∴AC＝AM，∠BAC＝∠DAM，∵∠BAD＝60°，∴∠CAM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴∠ACM＝∠M＝60°，∵∠ACB＝∠M，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠ACM，∴AC平分∠BCD；②∵AC＝CM，BC＝DM，∴CM＝CD+DM＝CD+BC，∴AC＝CD+BC；（4）延长BC至M，使CM＝AB，连接DM，∵四边形ABCD为对角互补四边形，∴∠A+∠BCD＝∠BCD+∠DCM＝180°，∴∠A＝∠DCM，∵AD＝CD，∴△ADB≌△CDM（SAS），∴BD＝MD，∠ADB＝∠CDM，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠BDM＝120°，∴∠M＝∠DBM＝30°，过点D作DN⊥BM交于点N，∴N为BM的中点，∴BM＝2MN，在Rt△DNM中，MN＝DM＝BD，∴BM＝BD，∵BM＝BC+CM＝BC+AB＝BD，故答案为：BC+AB＝BD．类型三：梯形中位线定理【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：作BE∥AC，∵AB∥CE，∴CE＝AB，∵梯形中位线为6.5，∴AB+CD＝13，∴DE＝CE+CD＝AB+CD＝13，∵BE＝AC＝5，BD＝12，由勾股定理的逆定理，得△BDE为直角三角形，即∠EBD＝∠COD＝90°，设S△EBD＝S则S2：S＝DO2：DB2S1：S＝OB2：BD2∴＝∵S＝12×5×＝30∴＝．故本题答案为：．【变式3-1】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点，如果AB＝2，EF＝3，那么CD＝4．【答案】4．【解答】解：在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F分别是AD、BC的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝（AB+CD），∴CD＝2EF﹣AB＝6﹣2＝4．故答案为：4．【变式3-2】如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，那么＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AM，设DN＝x，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，又∵M是DE中点，∴DM＝DE，∴DM＝BC，又∵DM∥BC，∴DN：BN＝DM：BC，∴DN：BN＝1：4∴x：（x+AB）＝1：4，∴AB＝6x，∴AN＝2x，∴S△DMN＝S△ADM，又∵S△ADM＝S△ADE；S△ADE＝S△ABC，∴S△DMN＝S△ABC．∴S△DMN：S△ABC＝1：24．1．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解答】解：如图，①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC＝DB+BA．故④正确；故选：A．2．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向△ABC外侧作△ABD，使得∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②△CDE为等边三角形；③DC平分∠BDA；④DC＝DB+DA，其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠1+∠2＝60°，∵点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，∴∠ACB＝60°，即旋转角等于60°，CD＝CE，∠CAE＝∠CBD＝∠1+∠CBA＝∠1+60°，∵∠CAE+∠BAC+∠2＝∠1+60°+60°+∠2＝180°，即∠DAE＝180°，∴D、A、E三点共线，所以①正确；∵∠DCE＝∠ACB＝60°，CD＝CE，∴△CDE为等边三角形，所以②正确；∵△CDE为等边三角形，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，∴DC平分∠BDA，所以③正确；∵△CDE为等边三角形，∴CD＝DE，而点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，∴AE＝DB，∴DE＝DA+AE＝DA+BD，∴DC＝DB+DA，所以④正确．故选：A．3．如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP＝，Q为CD中点，则下列结论：①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCQ＝90°，∵PQ⊥PB，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，∴B、C、Q、P四点共圆，∴∠PBC＝∠PQD，∠BPC＝∠BQC，∴①正确；③正确；过P作PM⊥AD于M，PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，则E、P、F三点共线，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，∠DAB＝90°，∴∠MAE＝∠PEA＝∠PMA＝90°，PM＝PE，∴四边形AMPE是正方形，∴AM＝PM＝PE＝AE，∵AP＝，∴在Rt△AEP中，由勾股定理得：AE2+PE2＝（）2，解得：AE＝AM＝PE＝PM＝1，∴DF＝1，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，则BE＝PF＝a﹣1，∵∠BEP＝∠PFQ＝∠BPQ＝90°，∴∠BPE+∠EBP＝90°，∠EPB+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，在△BEP和△PFQ中，∴△BEP≌△PFQ（ASA），∴PE＝FQ＝1，BP＝PQ，∴②正确；∴DQ＝1+1＝2，∵Q为CD中点，∴DC＝2DQ＝4，∴正方形ABCD的面积是4×4＝16，∴④正确；故选：A．4．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当点B在ON上移动时，点A随之移动，AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为+1．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON＝90°，AB＝2，∴OE＝AE＝AB＝1，∵BC＝1，四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∴DE＝＝，根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE，∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1．故答案为：+1．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是3+3．【答案】3+3．【解答】解：如图，取CA的中点D，连接OD、BD，则OD＝CD＝AC＝×6＝3，由勾股定理得，BD＝＝3，当O、D、B三点共线时点B到原点的距离最大，所以，点B到原点的最大距离是3+3．故答案为：3+3．6．如图，Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴和y轴上，且点A，B的坐标分别是（3，0）和（0，4），点C是半圆ACB上任意一点，则点O，C的最大距离为5．【答案】5．【解答】解：取AB中点D，连接OD，CD．点D是Rt△AOB斜边AB的中点，∴，AB2＝OA2+OB2，∴AB＝5，∵AB是半圆ACB的直径，∴∠ACB＝90°，∵点D是Rt△ACB斜边AB的中点，∴∴当点O、D、C共线时，OC的值最大，OC的最大值为OC＝OD+CD＝5．故答案为：5．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动．（1）当OB＝1时，点C的坐标为（，2）；（2）连结OC，则OC的最大值为1+．【答案】（1）（，2）；（2）1+．【解答】解：（1）如图，如图，取AB的中点E，连接CE，OE，∵∠AOB＝90°，点E是AB的中点，AB＝2，∴OE＝BE＝AE＝1，AO＝＝＝，∴OB＝OE＝BE＝1，∴△AOB是等边三角形，∴∠OBA＝60°，∴∠BAO＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝2，∠BAC＝60°，∴∠CAO＝90°，∴点C坐标为（，2），答案为：（，2）；（2）如图，∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，∴CE⊥AB，∴CE＝＝＝，在△OEC中，OE+CE＞OC，∴当点E在OC上时，OC的最大值为1+，故答案为：1+．8．如图．△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动．（1）AB＝；（2）若点D是AC的中点．则点D在运动过程中经过的路径长为；（3）点B到原点O的最大的距离是+1．【答案】（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴，故答案为：；（2）连接OD，∵点D是AC的中点．∴OD＝1，∵顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，∴点D的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的在第一象限的圆弧，∴点D在运动过程中经过的路径长为，故答案为：；（3）连接BD，∵OB≤OD+BD，∴O，B，D三点共线时，OB最大，∵，∴，∴；故答案为：．9．在学习三角形中位线定理时，小丽发现作以下辅助线能够证明三角形中位线定理．已知：如图1，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．求证：DE∥BC，．证明：（小丽的辅助线作法）延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．…（1）请在图1中画出小丽所说的辅助线，并补全三角形中位线定理的证明过程；（2）三角形中位线定理应用：如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，则线段AD，EF，BC之间的数量关系是EF＝（AD+BC）．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝（AD+BC），理由见解析．【解答】（1）证明：如图1，延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC，∵E是AC中点，∴AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD∥CF，AD＝CF，∵D是AD中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF，∵BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DE∥BC，DF＝BC，∵DE＝DF，∴DE＝BC；（2）解：如图2，线段AD，EF，BC之间的数量关系：EF＝（AD+BC），理由如下：连接AF并延长交BC延长线于G，∵AD∥BC，∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，∵F是DC中点，∴FD＝FC，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AF＝FG，AD＝CG，∵E是AB中点，∴EF是△ABG的中位线，∴EF＝BG，∵BG＝BC+CG＝BC+AD，∴EF＝（AD+BC）．故答案为：EF＝（AD+BC）．10．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍．连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N．（1）若AE＝2，CF＝3，求EF的长；（2）求证；∠EFN+∠EMN＝180°；（3）若＝2，BE＝3，求EF的长．【答案】（1）EF＝5；（2）证明见解析；（3）EF＝2．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，∴BE+BF+EF＝AB+BC，∴EF＝AE+FC，若AE＝2，CF＝3，则EF＝2+3＝5；（2）如图，在BA的延长线上取点H，使得AH＝CF，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠HAD＝∠FCD＝90°，在△AHD和△CFD中，，△AHD≌△CFD（SAS），∴∠CDF＝∠ADH，HD＝DF，∠H＝∠DFC，∵EF＝AE+CF，∴EF＝AE+AH＝EH，在△DEH和△DEF中，∴△DEH≌△DEF（SSS），∴∠HDE＝∠FDE，∠H＝∠EFD，∠HED＝∠FED，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADH+∠ADF＝∠HDF＝90°，∴∠EDF＝∠HDE＝45°，∵∠H＝∠DFC＝∠DFE，∠EMN＝∠HED+∠EAM＝45°+∠DEF，∴∠EFN+∠EMN＝∠DFC+45°+∠DEF＝∠DFE+∠EDF+∠DEF＝180°即∠EFN+∠EMN＝180°；（3）作DG⊥EF于点G，连接GM，GN，在△AED和△GED中，∴△AED≌△GED（AAS），同理，△GDF≌△CDF（AAS），∴AG＝DG＝CF，∠ADE＝∠GDE，∠GDF＝∠CDF，∴点A，G关于DE对称轴，C，G关于DF对称，∴GM＝AM，GN＝CN，∠EGM＝∠EAM＝45°，∠NGF＝∠NCF＝45°，∴∠MGN＝90°，即△GMN是直角三角形，若＝2，则MN＝AM，∴GM＝MN，∴∠GNM＝30°，∴∠GMN＝90°﹣∠GNM＝60°，由轴对称可得∠AME＝∠GME，∵∠AME+∠GME+∠GMN＝180°，∴∠AME＝∠GME＝60°，∴∠EMN＝2∠GME＝120°，∵∠EFN+∠EMN＝180°；∴∠EFN＝180°﹣∠EMN＝60°，由轴对称可得∠NFE＝∠CFN＝60°，∴∠EFB＝180°﹣∠NFE﹣∠CFN＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝EF，由勾股定理可得：BE2+BF2＝FE2，∴9+EF2＝FE2，解得：EF＝2．11．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是等补四边形．探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，BA＝BC，连接BD，BD是否平分∠ADC？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分线交AB的延长线于点E，AB＝20，CE＝10，求BE的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）BD平分∠ADC，证明见解答过程；（3）10﹣10．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴弧AD＝弧CD，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是等补四边形；（2）BD平分∠ADC，理由如下：过点B分别作BE⊥DC于点E，BF垂直DA的延长线于点F，如图：则∠AFB＝∠CEB＝90°，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠C+∠BAD＝180°，又∠BAE+∠BAD＝180°，∴∠C＝∠BAF，∵AB＝BC，∴△ABF≌△CBE（AAS），∴BF＝BE，∴BD是∠ADC的平分线，即BD平分∠ADC；（3）连接AC，如图：∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，又∠BCD+∠BCF＝180°，∴∠BAD＝∠BCF，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝∠BCF，由（2）知，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠BAD，∴∠BCE＝∠BAC，又∠E＝∠E，∴△BCE∽△CAE，∴＝，∵AB＝20，CE＝10，∴＝，解得BE＝10﹣10（﹣10﹣10舍去），∴BE＝10﹣10．12．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．【问题理解】如图1，点A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD、CD．求证：四边形ABCD是等补四边形；【拓展探究】如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；【升华运用】如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F．若CD＝6，DF＝2，求AF的长．【答案】【问题理解】证明过程见解析；【拓展探究】AC平分∠BCD；【升华运用】AF＝4．【解答】【问题理解】证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是等补四边形；【拓展探究】解：AC平分∠BCD，理由如下：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则∠AEB＝∠AFD＝90°，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠ADC+∠B＝180°，又∵∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△AFD与△AEB中，，∴△AFD≌△AEB（AAS），∴AE＝AF，∴点A一定在∠BCD的平分线上，即AC平分∠BCD；【升华运用】解：连接AC，如图3，同（2）理得∠EAD＝∠BCD，由（2）知AC平分∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD，同理∠FAD＝∠EAD，∴∠FCA＝∠FAD，又∵∠F＝∠F，∴△FAD∽△FCA，∴∴AF2＝DF•CF＝DF（DF+CF）＝2×（2+6）＝16，∴AF＝4．13．有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形．（1）如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度数；（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，连接DO交AC于点E（不与点O重合），若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；（3）在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，交⊙O于点G，若＝，tan∠ABC＝，AC＝12，求FG的长；（4）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，BD为⊙O的直径，连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F，连接FC，设tan∠BAF＝x，＝y，求y与x之间的函数关系式．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：如图1中，作AH∥CD交BC于H．∵AD∥BC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形，∴AH＝CD，AD＝BC，∵AB＝CD，AB＝AD，BC＝2AD，∴AB＝BH＝AH，∴△ABH是等边三角形，∴∠B＝60°．（2）证明：如图2中，连接CD．∵ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC＝180°，∵AE＝EC，∴OD⊥AC，∴DA＝DC，∴四边形ABCD是等邻边互补四边形．（3）解：如图2﹣1中，连接OA，OC，AG，CG，作FM⊥CG于M，FN⊥AG于N．∵AE＝EC＝6，∴OD⊥AC，＝，∴∠AOE＝∠COE，GA＝GC，∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOE＝∠ABC，∴t