数学学案：课堂导学椭圆的几何性质（二）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、椭圆的第二定义【例1】椭圆=1上有一点P，它到左准线的距离等于2。5，求P到右焦点的距离.解法一：如图，设P到左、右准线的距离分别为d1，d2，则d1+d2==12.5.又d1=2。5,所以d2=10。又,∴｜PF2|=解法二:由及d1=2.5，得｜PF1|=·d1=2。又｜PF1|+｜PF2｜=2a∴｜PF2｜=10—|PF1|=8。温馨提示根据椭圆的第二定义,往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准线的距离。二、焦半径【例2】对于椭圆=1。（a＞b＞0）它的左、右焦点分别是F1（-c，0）和F2(c,0),P（x0，y0）是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜=a+ex0，|PF2｜=a-ex0，其中e是椭圆的离心率。证明：椭圆=1(a＞b＞0)的两焦点F1(-c，0）、F2（c，0），相应的准线方程分别是x=2和x=.∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率。∴化简得：｜PF1｜=a+ex0，｜PF2｜=a—ex0.温馨提示｜PF1｜、｜PF2|都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径。｜PF1|=a+ex0，|PF2｜=a-ex0称作焦半径公式，结合这两个公式,显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点.三、利用椭圆第二定义求最值【例3】已知定点A（-2，），点F为椭圆=1的右焦点，点M的椭圆上移动时，求|AM|+2｜MF｜的最小值，并求此时点M的坐标.解析：由椭圆方程,得a=4，b=2，c=2，∴e=,右焦点F(2,0）,右准线l:x=8.设点M到右准线l的距离为d，则,即|2MF|=d.∴|AM|+2｜MF|=|AM|+d。由于A在椭圆内，过A作AK⊥l,K为垂足，易证|AM｜即为|AM｜+d的最小值，其值为8—(—2）=10。此时M点纵坐标为,得横坐标为2.∴|AM|+2|MF|的最小值为10,这时点M的坐标为(2，）。温馨提示（1)转化是一种重要的数学思想，本题利用第二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙地化解了。(2)本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解，在后面的双曲线、抛物线中也有类似问题，注意总结规律。各个击破类题演练1在椭圆=1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.解析：设P点的坐标为(x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点.∵椭圆的准线方程为x=±，∴∵｜PF1|=2|PF2|,∴把x=代入方程=1得y=±因此,P点的坐标为(）。变式提升1点M（x，y)与定点(3，0)的距离和它到直线l：x=的距离的比是常数，求点M的轨迹方程。解：设d是点M到直线l：x=的距离.由题意，点M的轨迹就是集合由此的化简得16x2+25y2=400即=1类题演练2设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过F的弦，试判断以AB为直径的圆与左准线的位置关系.解：设M为弦AB的中点(即圆心）,A′,B′，M′分别是A，B，M的准线l上的射影,由椭圆第二定义，得｜AB|=｜AF｜+|BF|=e(|AA′|+｜BB′｜).∵0＜e＜1，∴|AB|＜|AA′｜+｜BB′｜=2｜MM′｜,∴＜|MM′|，∴以AB为直径的圆与左准线相离。变式提升2椭圆=1上一点P到两焦点的距离之积为m,则当m取得最大值时，点P的坐标是()A.（5,0）和（—5，0）B.（)和（)C.（0,3)和（0，—3）D.()和()解析：设d1，d2是点P到两焦点的距离于是m=d1·d2=（a+ex0)·（a-ex0）=a2-e2x0.由于—5≤x0≤5，所以当x0=0时,m取得最大值a2.因此，点P的坐标为（0，3）和(0，-3）.答案：C类题演练3设P（x0,y0)是椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点,F1为其左焦点。（1）求|PF1|的最小值和最大值;(2)在椭圆=1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直.解：（1）对应于F1的准线方程为x=,根据椭圆的第二定义:∴|PF1|=a+ex0。又—a≤x0≤a.∴当x0=—a时，｜PF1|min=a+（-a)=a-c；当x0=a时，|PF1|max=a+·a=a+c。(2)∵a2=25,b2=5,∴c2=20,e2=.∵｜PF1|2+|PF2|2=｜F1F2｜2,∴(a+ex0）2+(a-ex0）2=4c2。将数据代入得25+x20∴x0=±，代入椭圆方程得P点的坐标为（，），（，-），(-,)，（—，—)变式提升3椭圆=1的右焦点为F，设A（)，P是椭圆上一动点，则|AP｜+5｜PF|取最小值时，P的