南京航空航天大学矩阵论07-08A试卷及答案_第1页
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南京航空航天大学研究生考试参考答案及评分标准共4页第10页二00七～二00八学年第一学期课程名称：矩阵论试卷类型A卷课程编号：A000003参考答案及评分标准制定人：2008年1月12日南京航空航天大学研究生考试试卷共5页第1页二00七～二00八学年第一学期《矩阵论》课程考试日期：2008年1月16日试卷类型A课程编号：A000003学院学号姓名成绩一、（20分）设矩阵，（1）求的特征多项式和的全部特征值；（2）求的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求的最小多项式，并计算；（4）写出的Jordan标准型二、（20分）设是实数域上的全体实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。（1）求的维数，并写出其一组基；（2）设是全体实对称矩阵的集合，证明：是的子空间，并写出的维数和一组基；（3）在中定义内积，其中，求出的一组标准正交基；（4）给出上的线性变换：，写出线性变换在（1）中所取基下的矩阵，并求的核和值域。三、（20分）（1）设，求，，，；（2）设，令，证明：是上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：。四、（20分）已知矩阵，向量，（1）求矩阵的分解；（2）计算；（3）用广义逆判断方程组是否相容？若相容,求其通解；若不相容,求其极小最小二乘解。五、（20分）（1）设矩阵，，其中为实数，问当满足什么条件时，成立？（2）设阶Hermite矩阵，其中，证明：，。（3）已知Hermite矩阵，（），证明：正定一、（20分）解：（1），的特征多项式为，的特征值6分（2）的行列式因子：1,1,；的不变因子：1,1,；的初等因子：；7分（3）因为，，的最小多项式；4分（4）的Jordan标准形3分二、（20分）解：（1）的维数为4，一组基，，，；5分（2）,，则，；；。对加法和数乘封闭，所以是的子空间。的维数为3，一组基，，；5分（3），；，；，。所以、、为W的一组标准正交基。5分（4）在（1）中所取基下的矩阵为；的核：；的值域：。5分三、（20分）解：（1），，，；8分（2）若，则至少有一个，若，则，，，，所以是上的矩阵范数。所以是上的相容矩阵范数。8分（3），不妨设，则记,，则,，，综上可知：4分四、（20分）（1）矩阵的分解：6分（2）8分（3）该方程组不相容。极小最小二乘解6分五、（20分）（1），，，时成立即时成立。10分（2），为的前k阶顺序主子式，。存在可逆矩阵，使得，，。6分（3）设是矩阵的任一特

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