数学学案：课堂探究2空间中的垂直关系第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一面面垂直的判定(1)面面垂直的定义，判定的方法是：①证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直；②证明这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直;③根据定义，这两个平面互相垂直．(2）面面垂直的判定定理．在证明两个平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在现有的图中不存在,则可通过作辅助线来解决．【典型例题1】在正方体AC1中，求证：平面BDD1B1⊥平面ACC1A1．证明：如图所示，因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD．又在底面ABCD内，对角线AC⊥BD，且AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面ACC1A1．又BD⊂平面BDD1B1，所以平面BDD1B1⊥平面ACC1A1．【典型例题2】如图，在四面体ABCD中，BD＝，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证:平面ABD⊥平面BCD．思路分析:图形中的垂直关系较少，不妨考虑利用定义法证明．证明：取BD的中点为E，连接AE，CE，因为CB＝CD＝AB＝AD，所以AE⊥BD，CE⊥BD,则有BD⊥平面AEC．因为AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a,BD＝，所以△ABD和△BCD都是等腰直角三角形,AE,CE都是斜边上的中线．所以AE＝CE＝BD＝．又AC＝a,所以AE2＋CE2＝AC2．所以AE⊥CE．又AE,CE分别是平面AEC与平面ABD、平面BCD的交线,所以平面ABD⊥平面BCD．探究二面面垂直的性质(1）当所给的题目中有面面垂直的条件时，一般要注意是否有垂直于两个平面交线的垂线，如果有，可利用性质定理将面面垂直转化为线面垂直或线线垂直；如果没有，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．(2)面面垂直性质定理的常用推论：①两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线也垂直于第三个平面．②两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直．③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线与另一个平面平行或在另一个平面内．【典型例题3】(1）如图所示，三棱锥P.ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A,B是定点,则动点C运动形成的图形是（)A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点．解析：因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC,且平面PAC∩平面PBC＝PC，所以AC⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°，所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点,故选D．答案：D(2)如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A,B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，①判断BC与平面PAC的位置关系，并证明．②判断平面PBC与平面PAC的位置关系．解：①BC⊥平面PAC．证明:因为AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点,所以∠ACB＝90°，所以BC⊥AC．又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC＝AC,BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAC．②因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC．探究三探索型问题（1)垂直关系的相互转化：（2）探究型问题的两种解题方法：①(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件．②(反证法）先假设使结论成立的条件存在，然后进行推证，推出矛盾,否定假设，确定使结论成立的条件不存在．【典型例题4】如图,在三棱锥A。BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC,AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1）．（1）求证：不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC．(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD．解：（1）因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD．因为CD⊥BC,且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC．又因为＝＝λ(0<λ〈1）,所以不论λ为何值,恒有EF∥CD．所以EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF．所以不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC．(2)由（1)知，BE⊥EF,因为平面BEF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD，所以BE⊥AC．因为BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，所以BD＝，AB＝tan60°＝．所以AC＝＝．由AB2＝AE·AC，得AE＝．所以λ＝＝．探究四易错辨析易错点1：忽略了几何体的所属范围而致误【典型例题5】已知在四边形ABCD中，四个角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角．求证：四边形ABCD是矩形．错解：根据初中所学知识，可知四边形ABCD是矩形．错因分析：上述说明不严谨，忽略了四边形是空间四边形的检验与讨论．正解：(1）当四边形ABCD是平面四边形时,易得其是矩形．(2)若四边形ABCD是空间四边形，可设点C在平面ABD之外，如图所示，设C′是点C在平面ABD内的射影,因为AD⊂平面ABD，CC′⊥平面ABD,所以CC′⊥AD．又CD⊥AD,CC′∩CD＝C，所以AD⊥平面CC′D，所以C′D⊥AD．同理C′B⊥AB．⇒CD2＋CB2〉C′D2＋C′B2．①连接BD，在△BCD中，∠BCD＝90°，故CD2＋CB2＝BD2．②在平面四边形ABC′D中，因为∠DAB＝∠ABC′＝∠ADC′＝90°，所以∠BC′D＝90°，所以C′D2＋C′B2＝BD2．③将②③代入①得BD2〉BD2，矛盾，故四边形ABCD不可能是空间四边形,只能是平面四边形，所以四边形ABCD是矩形．易错点2:忽略了问题的唯一性而致误【典型例题6】已知直线a不垂直于平面α,如图所示,求证：过a有且只有一个平面与α垂直．错解：记A∈a，过A作b⊥α，a∩b＝A，则可得a,b确定一个平面β，由b⊥α，b⊂β，得α⊥β，这说明过a有且只有一个平面β与α垂直．错因分析：仅证明了命题的存在性，而忽略了唯一性．正解:(1）存在