数学学案：课堂导学最大值与最小值问题优化的数学模型

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一，利用函数解决最值问题【例1】某工厂有一容量为300吨的水塔,每天从早晨6时起到晚上10时止,供应该厂的生产和生活用水,已知该厂生活用水为每小时10吨，生产用水的用水量W（吨)与时间t(小时）满足关系W=100,且规定早晨6时t=0,水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水(水塔中不空)，又不会有水溢出？解：设选择进水量为x级,则供水t小时后,水塔中的水量y=100+10xt—10t-100(其中1≤x≤10，x∈N＊，0〈t≤16),由题意，0〈y≤300，∴0<100+10xt—10t-100≤300恒成立，一方面,由0<100+10xt—10t—100,得x〉—++1=-10(—)2+，当t=2，即t=4时，（—++1)max=，∴x>。 ①另一方面,由100+10xt—10t-100≤300，得x≤++1=20(+)2-,∴当t=16时，（++1)min=.∴x<。 ②由①②得〈x<。又x∈N＊，∴x=4，进水量应选择第4级.温馨提示利用函数解决最值问题,既要列好函数的解析式，又要考虑函数的定义域。二，利用基本不等式求最值【例2】某城市2006年末汽车保有量有30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6％，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?解:设2006年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,…，每年新增汽车x万辆，则b1=30,b2=b1×0。94+x,b3=b1×0。942+（1+0.94）x，……∴bn+1=b1×0。94n+x（1+0。94+…+0.94n-1）=b1×0。94n+x=+(30—)×0.94n。当30—≥0,即x≤1.8时，bn+1≤bn≤…≤b1=30；当30—〈0,即x>1。8时,［+(30-)×0.94n-1］=,并且数列{bn}逐项增加,可以任意靠近.因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆,即bn≤60（n=1，2,3，…),则≤60，即x≤3。6（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.温馨提示应用等差数列的求和知识解决物理中的路程问题。应用题常和物理,化学,生物知识相结合。三,最值问题的综合应用【例3】某段铁路线上依次有A，B,C三站,AB=5km，BC=3km,在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车,8时07分到达B站并停车1分钟,8时12分到达C站,在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟,并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶,列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。(1）分别写出列车在B，C两站的运行误差;（2)若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟,求v的取值范围.解：(1)列车在B,C两站的运行误差(单位：分钟）分别是||和|｜.(2)由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以｜|+｜｜≤2。(＊）当0〈v≤时，(*）式变形为+≤2,解得39≤v≤；当〈v≤时,(＊）式变形为7-+≤2,解得<v≤；当v>时,(*）式变形为7—+11-≤2,解得<v≤。综上所述，v的取值范围是[39，]。温馨提示最值问题不仅可与函数，方程，不等式相联，而且还可与三角，几何等知识相结合。各个击破类题演练1有一批影碟机(VCD）原销售价为每台800元，在甲，乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台每台单价都为760元,依此类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低不低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售。某单位需购买一批此类影碟机,问去哪家商场购买花费较少?解:假设某单位需购买x台影碟机.在甲商场购买花费y1=(800-20x)·x元，其中800-20x≥440，解得1≤x≤18。在乙商场购买花费y2=800·75%·x，x∈N*.则①20x(10-x）.当y1—y2〉0,得1≤x〈10;当y1—y2=0,得x=10；当y1-y2<0，得x〉10,x∈Z;由上知,若少于10台,在乙商场购买花费较少;若买10台,去甲，乙商场花费一样;若买10台以上,在甲商场购买花费较少。变式提升1一份印刷品,其排版面积（矩形)为432cm2，它的左，右两边都留有4cm的空白,上,下都留有3cm的空白，问长，宽各设计成多少厘米时，用纸最省?并求出此时纸面的面积。解:如图,设排版面积的矩形长为xcm,宽为ycm，则印刷品用纸的长为（x+8)cm,宽为(y+6）cm，记其面积为S，则∴S=xy+6x+8y+48=432+48+6x+8y≥480+2=480+2=768(cm2).当且仅当6x=8y时等号成立，即6x2=8xy=8×432，∴x2=576.∴x=24,y=18.∴纸面长为x+8=32cm,纸面宽为y+6=24cm，这张纸面的面积为768cm2类题演练2某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50％,试问:（1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2）到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车的总量的?解：(1）该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an｝,其中a1=128，q=1。5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a7=a1q6=128×1。56=1458(辆)。（2)记Sn=a1+a2+…+an,依据题意，得,于是Sn=>5000(辆)，即1.5n〉,则有n>≈7。5，因此n≥8。所以，到2011年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.变式提升2甲,乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m.（1)甲,乙开始运动后几分钟相遇?（2）如果甲,乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解:（1)设n分钟后第1次相遇,依题意,有2n++5n=70，整理得n2+13n—140=0.解得n=7,n=-20(舍去）。第1次相遇是在开始运动后7分钟。(2）设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n++5n=3×70，整理得n2+13n—6×70=0，解得n=15，n=—28（舍去）.第2次相遇是在开始运动后15分钟.类题演练3有一批国产彩电,原销售价为每台2000元，甲,乙两家商场均有销售，甲商场用如下办法促销：购买一台优惠2.5%,购买两台优惠5％,购买三台优惠7.5%,依此类推，即每多购买一台，每台再优惠2。5个百分点，但每台最低价不能低于1500元.乙商场一律按原销售价的8折销售，即按原销售价的80％销售。某单位需购买一批此类彩电,问去哪家商场购买花费较少?请说明你的理由.解:设该单位要购买x台彩电，则在甲商场购买的花费为在乙商场购买彩电的花费为g(x)=2000×80%x=1600x.当x≥10时，f(x）<g（x)；当0<x〈10时,f(x)—g(x）=—50x2+400x,解—50x2+400x≥0,得0<x≤8。综上所述,若购买不超过7台,到乙商场购买花费较少；若购买8台，则到甲,乙商场购买花费一样；若购买超过8台，则