数学学案：课堂导学平面的法向量与平面的向量表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、直线的方向向量【例1】如下图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.分析：此题是立体几何的一个综合题型，运用全等三角形和三垂线定理也可以证明,但思路不易找出,作辅助线较多,容易在解题中受阻，而出错，甚至放弃，此题若用空间直角坐标系和向量知识，很易解决。证明:以D为坐标原点，DA的长为单位,建立如下图所示的直角坐标系。设E（a,0,0)，其中a〉0，则C（2a，0,0)，A(0，1，0）,B(2a，1,0），P(0,0,1)，F(a,，）.=（0，,），=(2a，1，—1)，=（2a,0，0).·=0，所以⊥即⊥.·=0,所以⊥即EF⊥AB。又PB平面PAB,AB平面PAB，PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB，命题得证.温馨提示坐标运算证明向量垂直的关键在于建立适当的坐标系并且正确的求出坐标。二、平面的法向量【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量。证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如右图所示的空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为A(1,0,0）,C（0,1，0),D1（0,0,1）,B1(1，1,1）。所以=(1,1,1),=(—1，1,0）,=(-1，0，1）因为·=1×(—1）+1×1+1×0=0,所以⊥。同理⊥。又AC∩AD1=A,所以⊥平面ACD1,从而是平面ACD1的法向量。温馨提示利用平面法向量证垂直平行问题.三、直线、平面向量的应用【例3】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心,求证:B1证明:建立如右图所示坐标系，不妨假定正方体每边长为2,则A（2，0，0），P（0,0，1)，C（0，2，0)，B1（2，2，2）,O（1，1,0）。于是=(1，1,2),=(-2,2，0)，=（—2,0，1)。由于·=-2+2=0,及·=-2+2=0，∴OB1⊥AC，OB1⊥AP。∴OB1⊥平面PAC.温馨提示立体几何中的向量方法——“三步曲”.（1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题.（2）通过向量运算,研究点、直线、平面之间的关系。（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题。各个击破类题演练1如右图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点。（1)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1；（2）求点D1到平面B1EF的距离。答案：(1）证明:建立题图所示的空间直角坐标系，则D(0,0，0)，B(2,2,0），E(2，，0）,F（,2,0），D1（0，0,4），B1(2,2,4）.=（—,，0）,=(2，2，0），=(0,0，4）,∴·=0，·=0.∴EF⊥DB,EF⊥DD1,∴EF⊥平面BDD1B1.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2）解：设平面B1EF的法向量n=(x，y,z）,则n⊥,n⊥。又=（0,,4)，∴n·=-+y=0,n·=y+4z=0。∴x=y，z=y,取y=1,得n=（1,1，)。又=（2，2，0)，∴点D1到平面B1EF的距离为d=。变式提升1已知棱锥P—ABCＤ的底面是菱形,∠BCD=60°，PD⊥AD,点E是BC边的中点。求证:AD⊥平面PDE。证明：连结BD.如右图；∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，∴△BCD是正三角形.∵点E是BC边的中点,∴DE⊥BC。∵AD∥BC，∴AD⊥DE。∵PD⊥AD,PD∩DE=D，∴AD⊥平面PDE。类题演练2在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a,AB=2a求证：MN∥面ADD1A1证明:建立如右图的坐标系，则=(,0，）。取n=(0,1,0),显然n⊥面ADD1A1。·n=0，∴⊥n。又MN面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1变式提升2若直线l的方向向量为a=（1,0，2）,平面α的法向量为u=(—2,0，—4），则（）A。l∥αB.l⊥αC。lαD。l与α斜交答案：B类题演练3如右图，ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1证明：取AB1的中点M，则=++.又=++,两式相加得2=+=+.由于2·=（+)·=0,2·=(+)·(—）=｜|2-｜｜2=0，∴DM⊥AA1,DM⊥AB。∴DM⊥平面ABB1A1而DM平面AB1D,∴平面AB1D⊥平面