直线的一般式方程（教案）

直线的一般式方程（教案）教学目标：1、知识与能力：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A、B不同时为0）⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）；2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式。⑵学会分类讨论及掌握讨论的分界点；3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识教学重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的理解教学难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的应用。教学方法：引导探究法、讨论法教学过程：创设情境，引入新课：1、复习：写出前面学过的直线方程的各种不同形式，并指出其局限性：名称几何条件方程局限性点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线斜截式斜率k,y轴上的截距by=kx+b斜率存在的直线两点式P1(x1,y1),P2(x2,y2)不垂直于x、y轴的直线截距式在x轴上的截距a,在y轴上的截距b不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线过点(x0,y0)与x轴垂直的直线可表示成x=x0，过点(x0,y0)与y轴垂直的直线可表示成y=y0。2、问题：上述四种直线方程的表示形式都有其局限性，是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？提示：上述四种形式的直线方程有何共同特征？能否整理成统一形式？（这些方程都是关于x、y的二元一次方程）猜测：直线和二元一次方程有着一定的关系。新课探究：问题：（1）．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是y-1=2(x-2),（2）．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是y=1,（3）．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是x=2,思考1：以上方程是否都可以用Ax+By+C=0表示？任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示？答：2x-y-3=0y-1=0x-2=0在平面直角坐标系中，每一条直线有斜率k存在和k不存在两种情况下，直线方程可分别写为ykxb=+和1xx=两种形式，它们又都可以变形为Ax+By+C=0（A、B不同时为0）的形式，即：直线Ax+By+C=0（A、B不同时为0）【结论：】在平面直角坐标系中，任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）来表示。思考2：对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为零）能否表示一条直线？证明：（1）当B≠0时,方程可变形为BCxBAy--=它表示过点（0，-BC）斜率为-BA的直线（2）当B=0时因为A，B不同时为0所以A≠0则有C这表示的是与x轴垂直的直线Ax=-C即x=-A【结论：】每个一个二元一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为零）都表示一条直线。由上面讨论可知,(1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示,(2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.1.直线的一般式方程我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)叫做直线的一般式方程,简称一般式注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：（1）、一般按含x项、含y项、常数项顺序排列（2）、x项的系数为正；（3）、x，y的系数和常数项一般不出现分数；（4）、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。深入探究：二元一次方程Ax+By+C=0的系数A,B和常数项C对直线的位置的影响:①平行与x轴A=0,B≠0,C≠0;②平行与y轴B=0,A≠0,C≠0;③与x轴重合A=0,B≠0,C=0;④与y轴重合B=0,A≠0,C=0;⑤过原点C=0，A、B不同时为0;例题分析：例1、已知直线经过点A（6，-4）斜率为-34，求直线的点斜式方程，一般式方程和截距式方程。解：经过点A（6，-4）斜率为-34的直线的点斜式方程为y+4=-34(x-6)化为一般式为4x+3y-12=0截距式方程为143=+yx说明：在讨论直线问题时，常常将直线方程的形式相互转化。例2根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：1.经过点P(3,-2),Q(5,-4);解：直线的两点式方程为353)2(4)2(--=-----xy化为一般式方程为x+y-1=02.在x轴,y轴上的截距分别是2，3解：直线的截距式方程为132=+yx化为一般式方程为3x+2y-6=0说明：在遇到问题时，根据条件写出适当形式的方程，然后再化为一般式。课堂小结：1、关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)叫做直线的一般式方程,简称一般式。2、二元一次方程Ax+By+C=0的系数A,B和常数项C对直线的位置的影响:①平行与x轴A=0,B≠0,C≠0;②平行与y轴B=0,A≠0,C≠0;③与x轴重合A=0,B≠0,C=0;④与y轴重合B=0,A≠0,C=0;⑤过原点C=0，A、B不同时为0;课后作业：1、必做题；课本P100习题3.2A组