《高等数学》课件第4章

第4章不定积分

4.1原函数与不定积分

4.2换元积分法

4.3分部积分法

4.4简单有理积分

本章小结

4.1原函数与不定积分

4.1.1原函数与不定积分的概念微分学中研究的一个基本问题是求一个已知函数的导函数.在实际问题中，还常常会遇到相反的问题，即已知函数的导函数，求原来的函数，这就形成了“原函数”的概念.一般地，如果已知F′(x)=f(x)，如何求F(x)？为此引入下述定义.定义4-1设函数f(x)在某区间上有定义，若存在函数F(x)对于该区间上任一点x，使得F′(x)=f(x)(或dF(x)=f(x)dx)，则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数.例4-1设函数f(x)=cosx，x∈(－∞，+∞)，求其原函数.

解由于函数F(x)=sinx在区间(－∞，+∞)上满足(sinx)′=cosx，所以F(x)=sinx是f(x)=cosx的一个原函数.不难看出，sinx+1、sinx+2、sinx+C(C为任意常数)，都是f(x)=cosx的原函数.由此可得如下结论：

(1)如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C(C为任意常数)都是f(x)的原函数；

(2)如果函数F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)和G(x)仅相差一个常数.一般地，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C表示了f(x)的全部原函数.定义4-2函数f(x)的全部原函数族F(x)+C叫做f(x)的不定积分，记作

其中，“∫”称为积分号；x称为积分变量；f(x)叫做被积函数；f(x)dx称为被积表达式；C称为积分常数.由定义4-2知，求函数f(x)的不定积分实际上只需要求出一个原函数，再加上任意常数C，即可得到其全部原函数.例4-2求函数f(x)=e－5x的不定积分.解因为，所以的一个原函数，因此

例4-3求.

解因为，所以arctanx是的一个原函数，因此（C为任意常数）

从几何上看，当积分常数C变动时，不定积分表示的不只是一个函数，而是一族函数，如图4-1所示.对于一个给定的积分常数C，F(x)+C就表示了一条确定的曲线，称之为f(x)的一条积分曲线.由于C可以取任意值，因此不定积分∫f(x)dx=F(x)+C表示了f(x)的一族积分曲线，其中每一条积分曲线都可以由曲线y=F(x)沿y轴上、下平移得到，并且在每一条积分曲线上横坐标相同的点处的切线互相平行.图4-1例4-4求过点(1，2)且切线斜率为2x的曲线方程.

解由于∫2xdx=x2+C故得积分曲线族y=x2+C将x=1和y=2代入上式，得C=1因此，所求曲线方程为y=x2+14.1.2不定积分的性质

性质4-1不定积分与微分互为逆运算.

(1)［∫f(x)dx］′=f(x)或d［∫f(x)dx］=f(x)dx

(4-2)

(2)∫F′(x)dx=F(x)+C或∫dF(x)=F(x)+C

(4-3)

显然，式(4-2)表明:不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式).如式(4-3)表明:对于一个函数的导数(或微分)求不定积分，其结果与该函数仅相差一个积分常数.性质4-2被积表达式中的非零常数因子，可以提取到积分号前.即∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

(4-4)

性质4-3两个函数代数和的不定积分等于各自不定积分的代数和.即∫［f(x)±g(x)］dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

(4-5)式(4-5)还可以推广到任意有限多个函数代数和的情形，即∫［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］dx

=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx±…±∫fn(x)dx(4-6)4.1.3不定积分的基本积分公式由于不定积分是微分的逆运算，因此由基本初等函数导数公式可以得到相应的积分公式.

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)；

(7)；

(8)；

(9)；

(10)；

(11)；

(12)；利用基本初等函数的积分公式表和不定积分的性质，可求出一些简单函数的不定积分，通常把这种方法叫做直接积分法.例4-5求

解

在上式中逐项积分后，每个不定积分都含有任意常数，由于任意常数之和仍为任意常数，因此只需用一个C表示即可.例4-6求.解在进行不定积分计算时，有时需要把被积函数做适当的变形，再利用基本积分公式及其性质进行积分.例4-7求下列不定积分(1)；(2)；解(1)原式(2)原式例4-8求.解4.2换元积分法

4.2.1第一类换元积分(凑微分法)对于积分∫cos3xdx，在积分公式中虽有∫cosxdx=sinx+C，但是却不能利用该公式得到∫cos3xdx=sin3x+C，这是因为(sin3x+C)′=3cos3x.此时可利用变量代换的方法，先把所求积分化为∫cosxdx=sinx+C的形式，再利用公式计算.如这样一来，不定积分基本积分公式的适用范围可变得更广泛.例4-9求.解因为2xdx=dx2

，所以令x2=u，于是例4-10求.解令4－3x=u，从而有，于是在凑微分较为熟练的情形下，可以省略换元及回代过程.

例4-11求下列不定积分.

(1)；(2)；

(3)；(4).解

(1)原式=；

(2)原式=；

(3)原式(4)原式例4-12求下列不定积分.(1)；(2)；(3)；(4)

.解

(1)(2)(3)(4)同理可求得.运用凑微分法的难点在于应该把被积函数中的哪一部分凑成∫dφ(x)的形式，这需要经验.下面给出一些常见的微分公式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)sinxdx=d(－cosx)；(8)cosxdx=dsinx；(9)；(10)exdx=d(ex)=d(ex+C)；(11)sec2xdx=d(tanx)；(12)csc2xdx=－d(cotx).例4-13求∫(ax+b)ndx(a、b为常数，a≠0).解例4-14求∫x(1+x2)100dx.解

例4-15求.

解

例4-16求

.解

例4-17求解4.2.2第二类换元积分法

问题：如何求？解法：如果令x=sint，那么由此可引申出如下定理：定理4-2若∫f［φ(x)］φ′(x)dx=F(x)+C，且x=φ(t)是单调、可导函数，当φ′(t)≠0时有(4-8)将这种求积分的方法叫做第二类换元积分法.式(4-8)中φ－1(x)是x=φ(t)的反函数.证明由于所以需要注意的是，第二类换元积分法主要是解决被积函数中带根号的一类积分，去掉根号是选择代换函数的主要思路.例4-18求.解设，则x=5－t2，dx=－2tdt.例4-19求.解令x=t4(t>0)，则dx=4t3dt.例4-20求.解令x=asint，，则有，从而有由图4-2所示三角形，得，故图4-2例4-21求(a>0).解令x=atant，，则dx=asec2tdt

由图4－3所示直角三角形，得，故图4-3例4-22求.解令x=asect，，则dx=asecttantdt，于是由图4-4所示直角三角形，得图4-4由以上几个例子可以看出：

(1)当被积函数含有根式时，令ax+b=tn(t>0).

(2)当被积函数含根式和时，令ax+b=tn，(t>0).其中n为n1和n2的最小公倍数.

(3)当被积函数分别含有根式、、时，可做如下三角代换：①含有时，令；②含有时，令；③含有时，令.4.3分部积分法利用换元积分法可以求许多函数的不定积分，然而还有一些不定积分，如∫lnxdx、∫xsinxdx、∫x2exdx等还是不能用换元积分法计算，对此，我们可以用下面介绍的分部积分法来解决.

设函数u=u(x)、v=v(x)具有连续导数，由函数乘积微分法则

d(uv)=vdu+udv

移项，得udv=d(uv)－vdu

对上式两边积分，可得∫udv=uv－∫vdu

(4-9)式(4-9)称为分部积分公式.例4-23求∫xsinxdx.解令u=x，dv=sinxdx，则du=dx，v=－cosx,∫xsinxdx=－xcosx+∫cosxdx=－xcosx+sinx+C

在该例中，若令u=sinx，dv=xdx，则显然，该式右端的积分比原积分更复杂，所以不能这样选择u和dv.分部积分法的所谓分部就是将被积分表达式分解成u和dv两部分(一定要保证udv等于被积表达式)，正确运用分部积分公式的关键是恰当的选取u和dv，如果对其选择不当，就有可能求不出积分结果或者计算很困难.一般来说选择u和dv的原则是：

(1)由v′要容易求出v；

(2)∫vdu要比原积分∫udv容易计算.例4-24求∫x2exdx.解设u=x2，则v=ex，因此∫x2exdx=∫x2dex=x2ex－2∫xexdx

=x2ex－2∫xdex

=x2ex－2xex+2∫exdx

=x2ex－2xex+2ex+C=ex(x2－2x+2)+C

例4-24表明，有时求积分时，需要多次运用分部积分公式才能求出积分.但应注意，在多次应用分部积分公式时，u必须是同类函数.当运算较为熟练时，u和v可以不再写出.结论4-1当积分是形如“∫xnsinxdx”、“∫xncosxdx”、“∫xnexdx”等时，均取u=xn.说明:以上所列类型中的xn可换成更一般的形式pn(x)，即n次多项式，以下类似.例4-25求∫x2lnxdx.解例4-26求解

结论4-2当积分是“∫

xnlnxdx”、“∫xnarcsinxdx”、“∫xnarctanxdx等时，均取u=lnx、arcsinx、arctanx等.例4-27求∫excosxdx.解∫excosxdx=∫exdsinx=exsinx－∫exsinxdx

=exsinx+∫exdcosx

=exsinx+excosx－∫excosxdx

此时式中再次出现∫excosxdx，即出现了“循环”，此时需要将其移至左端并整理，可得结论4-3当积分是∫eaxsinbxdx、∫eaxcosbxdx等时，可设u=sinbx，u=cosbx，也可设u=eax，但一经选定，再次分部积分时，必须仍按原来的选择.经两次分部积分后，出现了循环现象，这时所求积分是经过解方程而求得的.在分部积分中，循环是经常发生的情况.若出现循环，只需移项并整理即可.

例4-28求∫sec3xdx.解∫sec3xdx=∫secxd(tanx)

=secxtanx－∫tanxd(secx)=secxtanx－∫tan2xsecxdx

=secxtanx－∫(sec2x－1)secxdx

=secxtanx－∫sec3xdx+∫secxdx

=secxtanx－∫sec3xdx+ln(secx+tanx|显然，式中出现了循环∫sec3xdx，将其移至左端，整理得通常情况下，在选用分部积分法求积分时，根据组成被积函数的基本函数将积分顺序整理为口诀：“反对幂三指”，即分别代指反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分次序.如例4-23中，就是先对幂函数x积分，再对三角函数积分；例4-24中，先对幂函数积分，再对指数函数积分.例4-29求.解设，则x=t2，dx=2tdt，于是例4-30求.解令，则x=ln(1+t2)，，于是4.4简单有理积分

4.4.1有理函数两个多项式的商所表示的函数R(x)称为有理函数，即(4-10)其中，n和m是非负整数；a0、a1、a2、…、an及b0、b1、b2、…、bm都是实数，并且a0≠0，b0≠0.当式(4-10)的分子多项式的次数n小于其分母多项式的次数m，即n<m时，称为有理真分式；当n≥m时，称为有理假分式.一个重要结论：任何有理假分式，通过多项式的除法，都能化为一个多项式T(x)与一个有理真分式之和.即例如，可见，任何有理函数的不定积分，都可以化为多项式的积分和有理真分式的不定积分.根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和，因而求不定积分的问题归结为求部分分式的不定积分.为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下：第一步:在有理真分式(此时n<m)中，对分母Q(x)在实系数内做标准分解：(4-11)第二步:根据分母的各个因式分别写出与之对应的部分分式.对于每个形如(x－a)k的因式，它所对应的部分分式是对每个形如(x2+px+q)k的因式，它所对应的部分分式是把所有部分分式加起来，使之等于，即其中，部分分式中的常数系数A、B、C、P、Q、R、H等皆为待定的.第三步：确定待定系数.一般方法是将所有的部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q(x)，而其分子亦应与原分子P(x)恒等.于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数.例4-31对做部分分式分解.解按上述步骤依次执行如下：Q(x)=x5+x4－5x3－2x2+4x－8=(x－2)(x+2)2(x2－x+1)部分分式分解的待定形式为(a)用Q(x)乘上式两边，得一恒等式2x4－x3+4x2+9x－10≡A0(x+2)2(x2－x+1)+A1(x－2)(x+2)(x2－x+1)+A2(x－2)(x2－x+1)+(Bx+C)(x－2)(x+2)2

(b)然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：求出它的解：A0=1，A1=2，A2=－1，B=－1，C=1，并代入式(a)，便完成了对R(x)的部分分式分解，即上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代.例如可将x的某些特定值(如Q(x)=0的根)代入式(b)，以便得到一组较简单的方程式，或直接求得某几个待定系数的值.对于例4-31，若分别将x=2和x=－2代入式(b)，则立即求得A0=1和A2=－1于是式(b)简化成为x4－3x3+12x－16=A1(x－2)(x+2)(x2－x+1)+(Bx+C)(x－2)(x+2)2

为继续求得A1、B、C，还可将x的三个简单值代入上式，如令x=0、1、－1，相应得到由此易得A1=2，B=－1，C=1.这就同样确定了所有的待定系数.在实数范围内，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和：(1)；(2)(k是正整数，k≥2)；(3)(4)(k是正整数，k≥2，p2－4q<0).例如:4.4.2简单有理函数的积分求有理函数的不定积分可归结为求四类简单分式的积分.下面讨论这四类简单分式的积分.(1)(2)(3)(4)(k≥2，p2－4q<0)其中第一个积分第二个积分可通过建立递推公式求得．记利用分部积分法有整理得于是可得递推公式(4-12)利用式(4-12)，逐步递推，可归结为不定积分最后回代全部换回原积分变量，即可求出不定积分.例4-32求.解例4-33求.解由分项分式定理可知:其中A、B、C为待定系数.可以用两种方法求出待定系数.方法一：等式两端去掉分母后，得1=A(x－1)2+Bx+Cx(x－1)

(a)即1=(A+C)x2+(B－2A－C)x+A

由于式(a)是恒等式，其两端x2和x的系数及常数项必须分别相等，于是有从而解得A=1，B=1，C=－1.方法二：在恒等式(a)中代入特殊的x值，从而求出待定系数.如令x=0，得A=1；令x=1，得B=1；把A、B的值代入式(a)，并令x=2，得1=1+2+2C，即C=－1.于是例4-34求.解因为上式两端去分母得上式两端比较系数得解方程组得A=1，B=－2，C=0，D=－1，E=－1，故例4-35求.解因为上式两端去分母得x+3=A(x－3)+B(x－2)令x=2，得A=－5；令x=3，得B=6.于是从理论上讲，多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数分解为多项式与四类简单分式之和，而其中的简单分式都可以积出.所以，任何有理函数的原函数都是初等函数.但我们同时也应该注意到，在具体使用上述方法时