山东省菏泽市2024-2025学年高二上学期期中考试 数学（A卷）（含答案）

2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A）注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.下列选项中，与直线平行的直线是（）A. B. C. D.2.已知椭圆C：，“”是“点为C的一个焦点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知曲线，从曲线上任意一点P向y轴作垂线，垂足为，且，则点N的轨迹方程为（）A. B. C. D.4.已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（）A. B. C. D.5.已知椭圆C：的一个焦点为，且C过点，则（）A.10 B.49 C.50 D.12016.已知双曲线C：（，）的右焦点为，点在C上，则C的离心率为（）A. B. C. D.7.直线l：与圆的公共点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.1或28.已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为，，点是上一点，直线，的斜率分别为，，且是面积为的直角三角形.则的方程为（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个圆柱侧面，可以得到以下哪些图形（）A两条平行直线 B.两条相交直线 C.圆 D.椭圆10.设抛物线C：的准线为l，点P为C上的动点，过点P作圆A：的一条切线，切点为Q，过点P作l的垂线，垂足为B.则（）A.l与圆A相交 B.当点P，A，B共线时，C.时，的面积为2或6 D.满足的点P恰有2个11.已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（）A.双曲线的离心率B.若，则的渐近线方程为C.若，则渐近线方程为D.若，则的渐近线方程为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆与x轴相切，则__________.13.已知抛物线C：的焦点恰为圆的圆心，点是与圆的一个交点，则点到直线的距离为__________，点到直线的距离为__________.14.已知曲线C是椭圆被双曲线（）所截得部分（含端点），点P是C上一点，，，则的最大值与最小值的比值是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：.（1）求C的面积；（2）若直线l：交C于A，B两点，求.16.已知椭圆C：上的左、右焦点分别为，，直线与C交于两点，若面积是面积的3倍，求的值.17.已知椭圆C：，直线l过原点，且与C相交于A，B两点，并与点构成三角形.（1）求的周长的取值范围：（2）求的面积S的最大值.18.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程．19.若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”.（1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程：（2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围；（3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由.2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（A）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】CD10.【答案】BCD11.【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】①.②.14.【答案】2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】【分析】（1）由椭圆C的方程可知的值，代入椭圆的面积公式即可；（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解.【小问1详解】由椭圆C的方程可知，，所以，椭圆C的面积；【小问2详解】联立，得，设，则，，∴，所以，.16.【解析】【分析】根据与同底不等高的特点将面积比表示为高之比，结合直线与椭圆联立后所得方程的判别式求解出的值.【详解】解：将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离为，到的距离为，易知F1-1,0，F21,0，则，，所以，解得或(舍去)，故.17.【解析】【分析】（1）由椭圆定义得到的周长为，设，且，求出，求出周长的取值范围；（2）表达出，结合，得到面积的最大值.【小问1详解】由题可得，，则，故，所以为椭圆的其中一个焦点，则另一个焦点坐标为，连接，由对称性可知，，故，则的周长为，设，，因为三点构成三角形，故不共线，所以，故且，则，因为，故，所以的周长；【小问2详解】，不共线，故，所以，S的最大值为12.18.【解析】【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程；（2）联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得．【小问1详解】由题可知，其中，所以,又点在椭圆上，所以，即，解得，所以椭圆E的方程为．【小问2详解】由椭圆的方程，得，所以，设，其中，因为，所以，又点在椭圆上，所以，联立方程组，得，解得或（舍），当时，，即或．所以当的坐标为时，直线的方程为；当的坐标为时，直线的方程为．综上，直线的方程为或.19.【解析】【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”的四条边所在直线的方程即可；（2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围；（3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可.【小问1详解】根据“切立方”的定义，设直线方程，可得，，，，；【小问2详解】由正方形A的方程为，则，由正方形A为双曲线的一个“切立方”，则，联立整理得，则，整理得，即，由图可知，则，所以【小问3详解】由曲线，设切点为，联立，得，即，点在曲线和直线上，整理得，则过该点的一条切线方程为，即