《电路基础 》课件第2章

2.1电阻电路的等效

2.2支路电流法

2.3节点电压法

2.4叠加定理

2.5等效电源定理

2.6最大功率传输定理

2.7本章实训戴维南定理的验证第2章电路的基本分析方法2.1.1等效及等效化简

对电路进行等效变换是指结构、元件参数不相同的两部分电路N1、N2，若端口具有相同的伏安特性，则称它们彼此等效，如图2.1所示。由此，当用N1代替N2时，将不会改变N2所在电路其他部分的电流、电压，反之亦成立。这种分析电路的方法称为电路的等效变换。用简单电路等效代替复杂电路可简化整个电路的计算。2.1电阻电路的等效图2.1电路的等效

1.电阻的串联

几个电阻依次串接起来，中间没有分支的连接方式，称为电阻的串联。图2.2(a)所示为两个电阻的串联电路。

图2.2(a)中串联的电阻R1、R2可用图2.2(b)中的一个电阻R来等效，电阻之间的等效关系为

R=R1+R2

若有n个电阻串联，则等效电阻为

即串联电路等效电阻等于各电阻之和。图2.2电阻串联电路的等效在串联电路中，当总电压一定时，各电阻上电压的大小与它的电阻值成正比。两电阻串联电路的分压公式为

2.电阻的并联

几个电阻跨接在相同两点的连接方式，称为电阻的并联，图2.3(a)所示为两个电阻的并联电路。

图2.3(a)中并联的电阻R1、R2可用图2.3(b)中的一个电阻R来等效。电阻之间的等效关系为

若有n个电阻并联，则有

图2.3电阻并联电路的等效或者

即并联电路等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和，或等效电导等于各电导之和。

在并联电路中，当总电流一定时，各电阻上电流的大小与它的电阻值成反比。两电阻并联电路的分流公式为

3.电阻的混联

电路中，既有电阻并联又有电阻串联，称为电阻的混联，如图2.4所示。图2.4中混联的电阻也可用一个电阻R来等效，其等效电阻为

R=［(R3+R4)∥R5+R2］∥R1

图2.4电阻混联电路

例2-1

如图2.5(a)所示电路，求a、d间的等效电阻(设R1=R2=R3)。

解从电阻的连接关系看，3个电阻为并联关系，如图2.5(b)所示。故

图2.5例2-1图

例2-2

电路如图2.6(a)所示，计算a、b两端的等效电阻Rab。

解在图2.6(a)中，1Ω电阻被短路，可化简为图2.6(b)所示电路。在该电路中，3Ω电阻与6Ω电阻并联，再化简为图2.6(c)所示的电路。在该电路中，2Ω电阻与7Ω电阻串联，而后再与9Ω电阻并联，最后简化为图2.6(d)所示的电路，等效电阻为

图2.6例2-2图2.1.2星形和三角形电阻网络的等效变换

有些电路中电阻连接既非串联也非并联，这时就不能用串并联进行等效化简。对于这种复杂电路可采用Y-△网络变换进行等效。

星形(Y形)网络和三角形(△形)网络如图2.7(a)、(b)所示。星形网络中，三个电阻的一端连在公共点上，另一端分别接在三个端钮上；三角形网络中，三个电阻首尾相连，并引出三个端钮。图2.7电阻的Y形连接、△形连接假设端钮3断开，端口1、2的入端电阻相等，即

(2-1)

假设端钮2断开，端口1、3的入端电阻相等，即

(2-2)假设端钮1断开，端口2、3的入端电阻相等，即

(2-3)

将上面3式联立求解得

(2-4)

(2-5)

(2-6)将式(2-4)、式(2-5)、式(2-6)联立，同样可以推导得到电阻的Y形连接变换到△形连接时的公式，即

(2-7)

(2-8)

(2-9)

当进行Y-△形等效变换的三个电阻相等时，有

R△=3RY

(2-10)

例2-3

对图2.8(a)的电桥电路应用Y-△变换，并求电压Uab。

解利用Y-△等效变换，得到图2.8(b)所示的等效电路，其中

电路右半部分的等效电阻Rab为

则a、b两点间电压Uab为

Uab=5×Rab=5×30=150V图2.8例2-3图支路电流法是分析电路最基本的方法，这种方法是以支路电流为未知量，直接应用KCL和KVL分别对节点和回路列出所需要的节点电流方程及回路电压方程，然后联立求解，得出各支路的电流值。

下面以图2.9所示的电路为例，说明支路电流法的求解过程。2.2支路电流法图2.9支路电流法图例图2.9中的电路共有3个支路、两个节点和3个回路。已知各电源电压值和各电阻的阻值，求解3个未知支路的电流I1、I2、I3，需要列出三个独立方程联立求解。所谓独立方程是指该方程不能通过已经列出的方程线性变换而来。

列方程时，必须先选定各支路电流的参考方向，并标明在电路图上。根据KCL，列出节点a和b的KCL方程为

－I1+I2－I3=0

(2-11)

I1－I2+I3=0

(2-12)显然，式（2-11）和式（2-12）实际相同，所以只有1个方程是独立的，可见两个节点只能列1个独立的电流方程。

可以证明：若电路中有n个节点，则应用KCL只能列出n－1个独立的节点电流方程。

其次，选定回路绕行方向，一般选顺时针方向，并标明在电路图上。根据KVL，列出各回路的电压方程。

对于回路Ⅰ，可列出

I1R1－Us1+I2R2=0

(2-13)

对于回路Ⅱ，可列出

－I2R2+Us3－I3R3=0

(2-14)对于回路Ⅲ，可列出

I1R1－Us1+Us3－I3R3=0

(2-15)

从式（2-13）、式（2-14）和式（2-15）可以看出，这三个方程中任何一个方程都可以从其他两个方程中导出，所以只有两个方程是独立的。这正好是求解三个未知电流所需的其余方程的数目。

同样可以证明，对于含有b条支路、n个节点、m个网孔的平面电路，必含有m个独立的回路，且m=b－(n－1)。网孔是最容易选择的独立回路。总之，对于具有b条支路、n个节点、m

个网孔的电路，应用KCL可以列出n－1个独立节点的电流方程，应用KVL可以列出m个网孔电压方程，而独立方程总数为(n－1)+m，恰好等于支路数b，所以方程组有唯一解。如图2.9，可以联立式（2-11）、式（2-13）及式（2-14），有

支路电流法的一般步骤如下：

（1）选定支路电流的参考方向和独立回路的绕行方向，标明在电路图上。

（2）根据KCL列出独立节点的电流方程，n个节点可列n－1个独立电流方程。

（3）根据KVL列出独立回路的电压方程，网孔数等于独立回路数，m个网孔可列m个独立电压方程。

（4）联立求解上述方程组，求得各支路电流。

（5）依据元件的伏安关系（VCR）进一步求解各支路电压。

例2-4

电路如图2.10所示，用支路电流法求各支路的电流。

解选定并标出支路电流I1、I2、I3的参考方向如图2.10所示。由节点a列KCL方程，有

－I1－I2+I3=0

选定网孔绕行方向，如图2.10所示，由网孔Ⅰ列KVL方程，有

－12+3I1－9－6I2=0

由网孔Ⅱ列KVL方程，有

6I2+9+3I3=0图2.10例2-4电路图联立以上三个方程，求解得

I1=3A，I2=－2A，I3=1A

在用支路电流法分析含有理想电流源的电路时，对含有理想电流源的回路，应将理想电流源的端电压列入回路电压方程。此时，电路增加一个变量，应该补充一个相应的辅助方程，该方程可由电流源所在支路的电流为已知来引出。第二种处理方法是，由于理想电流源所在支路的电流为已知，在选择回路时也可以避开理想电流源支路。

例2-5

电路如图2.11所示，用支路电流法求各支路电流。解选定并标出支路电流I1、I2、I3以及电流源端电压U0的参考方向，并选定网孔绕向，如图2.11所示。列KCL方程，得

－I1－I2+I3=0

列KVL方程，得

－2+2I1+U0=0

－U0+2I3+2=0图2.11例2-5电路图补充一个辅助方程

I2=2A

联立方程组，解得

I1=－1A，I2=2A，I3=1A，U0=4V

图2.12所示电路有三个节点，选择0点为参考节点，则其余两个为独立节点，设独立节点的电压为Ua、Ub。图2.12节点电压法图例2.3节点电压法各支路电流在图示参考方向下与节点电压存在以下关系

(2-16)对节点a、b分别列写KCL方程

－Is1+I1+I2+I3=0

－I2－I3+I4+I5=0

将式（2-16）代入以上两式，可得

－Is1+G1Ua+G2(Ua－Ub－Us2)+G3(Ua－Ub)=0

－G2(Ua－Ub－Us2)－G3(Ua－Ub)+G4Ub+G5(Ub－Us5)=0整理得

(2-17)

式（2-17）可以概括为如下形式

(2-18)式（2-18）是具有两个独立节点的节点电压方程的一般形式，有如下规律:

（1）Gaa、Gbb分别称为节点a、b的自电导，Gaa=G1+G2+G3，Gbb=G2+G3+G4+G5，其数值等于各独立节点所连接的各支路的电导之和，它们总取正值。

（2）Gab、Gba称为节点a、b的互电导，Gab=Gba=

－(G2+G3)，其数值等于两节点间的各支路电导之和，它们总取负值。

（3）Isaa、Isbb分别称为流入节点a、b的等效电流源的代数和，若是电压源与电阻串联的支路，则看成是已变换了的电流源与电导相并联的支路。当电流源的电流方向指向相应节点时取正号，反之，则取负号。式（2-18）可推广到具有n个节点的电路，应该有n－1个独立节点，可写出节点电压方程的一般形式为

(2-19)根据以上分析，可归纳节点电压法的一般步骤如下：

（1）选定参考节点0，用“⊥”符号表示，并以独立节点的节点电压为电路变量。

（2）按上述规则列出节点电压方程。

（3）联立并求解方程组，求得各节点电压。

（4）根据节点电压与支路电流的关系，求得各支路电流。

例2-6

电路如图2.13所示，用节点电压法求各支路电流。

解该电路有3个节点，以0点为参考节点，独立节点a、b的电压分别设为Ua、Ub，列节点电压方程为

化简得

图2.13例2-6电路图解方程组得

Ua=4V，

Ub=－4V

根据图中标出的各支路的电流参考方向，可计算得

例2-7

电路如图2.14所示，用节点电压法求电流I1、I2、I3。

解该电路有4个节点，以0点为参考节点，独立节点a、b、c的电压分别设为Ua、Ub、Uc。因为节点c与参考节点0连接有理想电压源，有Uc=－1V，再列节点a、b两端的电压方程为

节点a：

节点b：图2.14例2-7电路图联立，化简得

补充一个辅助方程

Uc=－1

解得

Ua=1V，Ub=－2V

对节点c有

∑I=－I1+2+I2+I3=0

I3=I1－2－I2=4－2－1=1A

例2-8

电路如图2.15所示，用节点电压法求各支路电流。

解根据节点电压法，以0点为参考点，只有一个独立节点a，有

图2.15例2-8电路图根据各支路电流的参考方向，有

对节点a进行电流验证

∑I=－I1+I2－5+I3=－3+4－5+4=0A对于图2.15所示电路，因为只有一个独立节点，其节点电压方程写成一般式为

(2-20)

叠加定理是分析线性电路的一个重要定理，下面以图2.16所示电路为例说明线性电路的叠加性。

对于图2.16（a）电路，由弥尔曼定理得

（2-21）2.4叠加定理图2.16叠加定理图例运用叠加定理时，必须注意以下几点：

(1)叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。

(2)叠加定理只适用于计算电压和电流，不适用于计算功率。

(3)叠加时，必须注意电压和电流的参考方向。

(4)所谓电源单独作用是指当一个电源单独作用时，其他电源置零。其中，理想电压源置零相当于短路；理想电流源置零相当于开路。

例2-9

电路如图2.17(a)所示，试用叠加定理求电流I。

解

(1)60V电压源单独工作时，将40V电压源短路，如图2.17(b)所示,有

(2)40V电压源单独作用时，将60V电压源短路，如图2.17(c)所示,有

(3)两电源共同作用时，由于方向一致，所以

I=I′+I″=5+1.67=6.67A图2.17例2-9图

例2-10

应用叠加定理求图2.18(a)所示电路中的电流I和电压U。

解画出5V电压源和10A电流源分别单独作用的电路图，如图2.18（b）和图2.18(c)所示，并标出分电流和分电压的参考方向。

图2.18（b）中:

图2.18(c)中:

图2.18例2-10电路图

叠加后，有

I=I′－I″=1－6=－5A

U=U′+U″=3+12=15V

在线性电路中，当所有激励（电压源和电流源）都同时增大或缩小K倍（K为实常数），电路响应（电压和电流）也将同样增大或缩小K倍，这就是线性电路的齐次定理，它不难从叠加定理推得。应当指出，这里的激励是指独立电源，并且必须全部激励同时增大或缩小K倍，否则将导致错误。在一些复杂电路计算中，有时只需求解某条支路的电流，如果仍用支路电流法或节点电压法求解，计算就太繁琐了。这时可以把这条支路以外的电路用等效电源定理进行化简。等效电源定理又称二端网络定理。所谓二端网络是指具有两个引出端的部分电路。二端网络分为有源二端网络与无源二端网络两种，其中不含电源的二端网络称为无源二端网络，如图2.19所示的电阻混联电路。无源二端网络可用一个等效电阻代替。含有电源的二端网络称为有源二端网络，如图2.20所示。有源二端网络可用电源和电阻组合来等效代替。2.5等效电源定理图2.19无源二端网络图2.20有源二端网络2.5.1戴维南定理

任何一个线性有源二端网络，就其外部特性而言，总可以用一个电压源与电阻的串联组合来等效代替。电压源的数值和极性与引出端开路时的开路电压Uoc相同；电阻等于该有源二端网络中所有独立源置零(电压源短路、电流源开路)时从引出端看进去的入端电阻Ri,这就是戴维南定理。戴维南等效电路如图2.21所示。图2.21戴维南等效电路

例2-11

求图2.22(a)所示电路的戴维南等效电路。

解

(1)a、b两端开路电压为

(2)a、b两端入端电阻为

(3)戴维南等效电路如图2.22(b)所示。图2.22例2-11图

例2-12

电路如图2.23（a）所示，应用戴维南定理求电流I。

解（1）根据戴维南定理，将待求支路移开，形成有源二端网络，如图2.23（b）所示，可求开路电压Uoc。因为此时I(1)=0，所以电流源电流2A全部流过2Ω电阻，有

Uoc=2×2+10=14V

（2）作出相应的无源二端网络如图2.23(c)所示，其等效电阻为

Ri=2Ω

（3）作出戴维南等效电路，并与待求支路相连，如图2.23(d)所示，求得图2.23例2-12图2.5.2诺顿定理

任何一个线性有源二端网络，就其外部特性而言，总可以用一个电流源和电阻的并联组合来等效代替。电流源数值和极性与引出端短路时的短路电流Isc相同；电阻等于该有源二端网络中所有独立源置零时从引入端得到的入端电阻Ri，这就是诺顿定理。诺顿等效电路如图2.24所示。图2.24诺顿等效电路

例2-13

求图2.25（a）所示有源二端网络的诺顿等效电路。

解（1）根据诺顿定理，将a、b两端短接，求得电流Isc，如图2.25（b）所示。设电流I1、I2如图2.25(b)所示。因为Uab=0，有

解得

I1=－2A，I2=1A

图2.25例2-13图又根据节点a列写KCL方程，有

I1+I2－2+Isc=0

Isc=－I1－I2+2=－(－2)－1+2=3A

（2）作出相应的无源二端网络如图2.25(c)所示，其等效电阻为

（3）作出诺顿等效电路如图2.25(d)所示，该电路就是2.25(a)所示的有源二端网络的诺顿等效电路。给定线性有源二端网络，输出端接不同负载，所获得的功率也不同。在电子技术中经常希望负载能获得最大功率，比如一台扩音机希望所接的喇叭能放出的声音最大，那么，负载应满足什么条件能获得最大功率呢？

图2.26(a)表示线性有源二端网络Ns向负载RL传输功率，设Ns可以用戴维南等效电路替代，如图2.26(b)所示。2.6最大功率传输定理图2.26最大功率传输定理图解图2.26(b）中，流经负载RL的电流为

负载所获得的功率为

由此可见，负载得到的功率是关于可变负载RL的非线性函数。要使P最大，应使dP／dRL=0，由此可得出P为最大值时RL的数值，即

因此

RL=Ri

（2-22）

此时，负载获得的最大功率为

(2-23)

“匹配”时电路传输的效率为

例2-14

电路如图2.27（a）所示，负载RL可调，当RL为何值时，RL可获得最大功率？并求此最大功率Pmax。

解（1）先将图2.27（a）中负载RL移开，形成有源二端网络，如图2.27（b）所示，求开路电压Uoc，由KVL，有

10－20+(10+10)I=0

I=0.5A

Uoc=10I=10×0.5=5V

(2）作出相应无源二端网络如图2.27（c）所示。其等效电阻为

图2.27例2-14图（3