安徽省合肥市2025届高三上学期第二次教学检测数学试卷（含解析）

合肥2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A． B．C． D．2．命题“，使”的否定是（）A．，使 B．不存在，使C．，使 D．，使3．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．4．“曲线恒在直线的下方”的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．5．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（）（参考数据：，）A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.146．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为（）A． B． C． D．7．已知函数的图象关于直线对称，且在上没有最小值，则的值为（）A． B．4 C． D．8．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知平面向量，，且，则（）A． B． C． D．10．已知，若对任意的，不等式恒成立，则（）A． B．C．的最小值为32 D．的最小值为11．已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A．函数的一个对称中心为B．C．函数为周期函数，且一个周期为4D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则______．13．已知函数，方程有四个不同根，，，，且满足，则的最大值为______．14．定义表示实数，中的较大者，若，，是正实数，则的最小值是______．四、解答题：本题共5小题，第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）若，，求的面积；（2）若角为钝角，求的取值范围．16．（15分）已知函数．（Ⅰ）当时，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值．17．（15分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）．参考公式：．参考数据：，．18．（17分）已知函数．（1）当时，，求实数的取值范围；（2）若，求证：；（3）若，，为正实数，且，求证：．19．（17分）已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数．（1）若，请直接给出和；（2）若均为正数，且，求的最小值；（3）若，求证：．合肥2024~2025学年度高三第二次教学质量检测数学参考试卷1．A【详解】，所以阴影部分．故选：A．2．D【详解】命题“，使”的否定是，使．故选：D．3．A【详解】易知函数的定义域为，故可排除C，D；又，，所以可排除B，故选：A．4．C【详解】由曲线恒在直线下方，可得，恒成立，即所以“曲线恒在直线的下方”的充要条件是，故选：C．5．C【详解】依题意得，，化成对数式，，解得，．故选：C．6．C【详解】因为，且，所以，由正弦定理，可得，即，所以，又因，所以，所以外接圆的半径为．．故选：C．7．A【详解】由的图象关于直线对称可得，，解得或，，由于在上没有最小值，所以，所以，故选：A．8．C【详解】因为内一点，，所以为的重心，又在内（不含边界），且当与重合时，最小，此时所以，即，当与重合时，最大，此时，所以，，即，因为在内且不含边界，所以取开区间，即，故选：C．二．多选题9．ACD【详解】由，，可得，，由，可得，解得，故A正确；由，可得，故D正确；又，则，，故B错误，C正确．故选：ACD．10．ABD【详解】因为，即恒成立，又因为，，所以当时，，当时，，因为对任意的，不等式恒成立，所以当时，，当时，，所以对于函数，必有，单调递减，且零点为，所以，所以，所以A正确，B正确；对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，与条件不符，所以C错误；对于D，，令，则，当且仅当时，等号成立．则原式，由二次函数的性质可得的最小值为，此时，，所以D正确，故选：ABD．11．ABD【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即，所以，所以，所以函数的图象关于点对称，所以A正确，对于B，在中，令，得，得，因为函数为偶函数，所以，所以，所以，令，则，所以，得，所以B正确，对于C，因为函数的图象关于点对称，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C错误，对于D，在中令，则，令，则，因为，所以，因为，所以，所以D正确，故选：ABD．三．填空题（共1小题）12．．【详解】因为，所以，可得，则．故答案为：．13．．【详解】作出函数图像可得，从而得，且，从而得，原式，令，，，令，则，，在单调递增，，最大值为．14．【详解】按和分类：记，当时，，当且仅当，，时，等号成立；当时，，当且仅当，，时，等号成立．综上所述，的最小值是．四．解答题15．（13分）【详解】（1）由和正弦定理得，，因，则有，因，，则，又，故．由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，故的面积．（2）由正弦定理，可得，因，代入化简得：．因为钝角，故由可得，则，，即，故的取值范围是．16．（15分）【详解】（Ⅰ）当时，，，由，，故可列表：130，关于的方程在区间内有两个不相等的实数根时；（Ⅱ），由得．①当，即时，，在上为增函数，；②当，即时，在上，为减函数，在上，为增函数，；③当，即时，，在上为减函数，．综上所述，．17．【详解】如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系．（1）设时，游客甲位于点，以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约，由题意可得，．（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则．经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后，此时乙距离地面的高度为．则甲、乙距离地面的高度差，利用，可得，．当（或），即（或22.8）时，的最大值为．所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．18．（17分）【详解】（1）首先，，故，设，则，，由，可知当时，，在区间上单调递增，故，满足；当时，由在区间上单调递增，且，，故存在，使得，且时，，单调递减，此时，，与题设矛盾．综上所述，实数的取值范围．（2）由，可知，即故只要证设，，则，在区间上单调递增，即，，故原不等式成立．（3）一方面，由于，故可令，其中，，结合第（2）问的结论，，另一方面，，综上可得，．19．（17分）【详解】（1），；（2）一方面，积有个，另一方面，积有个，故，当中所有元素互素时，等号成立．要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，解得