2024-2025学年天津市南开中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市南开中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，B={1,2,4}，则A∪(∁UB)=A.{1,3,5} B.{1,3} C.{1,2,4} D.{1,2,4,5}2.已知p：2x−8≥0，q：(x−3)(x−4)≤0，则(

)A.p是q的充分不必要条件 B.p是q的充要条件

C.q是p的必要不充分条件 D.q是p的充分不必要条件3.已知向量a=(3,−4),b=(−2,m),c=(2,1)，若(A.−2 B.2 C.−6 D.64.若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，bA.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c5.记Sn为各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，S3A.14 B.18 C.1 6.已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)在区间[0,πA.0 B.2−3 C.1 7.设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：

①若m//α，m//n，则n//α；

②若m⊥α，m//β，则α⊥β；

③若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥β；

④若m//n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确命题的序号是(

)A.①② B.①④ C.②③ D.②④8.双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=−3xA.x23−y2=1 B.x9.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3AAA.53π3

B.23π二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知复数z满足(1+i)z=2i(i为虚数单位)，则|z|=______．11.(x−112.将圆心角为3π4，半径为8的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为______．13.已知a>0，过点A(a,a)恰好只有一条直线与圆E：x2+y2−4x+2y=0相切，则14.袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是______；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是______．15.如图，三角形ABC中AB=3，AC=6，∠BAC=60°，D为BC中点，E为中线AD的中点.则中线AD的长为______，BE与AD所成角θ的余弦值为______．

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，AA1=2．

(1)求证：A1B⊥17.(本小题15分)

在非等腰△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且a=3，c=4，C=2A．

(1)求cosA的值；

(2)求△ABC的周长；

(3)求cos(2A+π618.(本小题15分)

三棱台ABC−A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分别是BC，BA中点．

(1)求证：A1N//平面C19.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(3,32)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设F为20.(本小题16分)

已知函数f(x)=axlnx−32x−12x．

(1)若a=1，

(i)求函数y=f(x)在(1,f(1))上的切线方程；

(ii)求函数f(x)的单调区间；

(2)若x≥1时，f(x)≥−2，求参考答案1.A

2.D

3.B

4.D

5.D

6.C

7.D

8.B

9.A

10.211.−3512.3813.1

x−2y+1=0

14.310

115.37216.(1)证明：取AB中点D，连接CD，B1D，则CD⊥AB，

因为平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1⋂平面ABC=AB，

所以CD⊥面ABB1A1，因为A1B⊂面ABB1A1，

所以CD⊥A1B，

因为tan∠BA1B1=22，tan∠BB1D=12=22，

所以∠BA1B1=∠BB1D，

所以A1B⊥B1D，又B17.解：(1)在△ABC中，a=3，c=4，C=2A，

由正弦定理asinA=csinC，得

3sinA=4sinC=4sin2A=42sinAcosA，解得cosA=23；

(2)在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，即9=b2+16−2b×4×2318.解：(1)证明：连接MN，C1A.

由M，N分别是BC，BA的中点，根据中位线性质，MN//AC，且MN=AC2=1，

由棱台性质，A1C1/​/AC，于是MN/​/A1C1，

由MN=A1C1=1，可知四边形MNA1C1是平行四边形，则A1N//MC1，

又A1N⊄平面C1MA，MC1⊂平面C1MA，于是A1N/​/平面C1MA．

(2)过M作ME⊥AC，垂足为E，过E作EF⊥AC1，垂足为F，连接MF，C1E.

由ME⊂面ABC，A1A⊥面ABC，故AA 1⊥ME，

又ME⊥AC，AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面ACC1A1，则ME⊥平面ACC1A1．

由AC1⊂平面ACC1A1，故ME⊥AC1，

又EF⊥AC1，ME∩EF=E，ME，EF⊂平面MEF，于是AC1⊥平面MEF，

由MF⊂平面MEF，故AC 1⊥MF.于是平面C1MA与平面ACC1A1所成角即∠MFE．

又ME=AB2=1，cos∠CAC1=15，则sin∠CAC1=25，

故EF=1×sin∠CAC1=25，在Rt△MEF中，∠MEF=90°，则MF=1+45=35，

于是cos∠MFE=EFMF=23，

所以平面C1MA与平面ACC1A1所成夹角的余弦值为23；

(3)方法一：(几何法)

过C1作C1P⊥AC，垂足为P，作C1Q⊥AM，垂足为Q，连接PQ，PM，过P作PR⊥C119.解：(1)因为椭圆C的离心率为12，且经过点(3,32)，

所以3a2+34b2=1ca=12a2=b2+c2，

解得a=2，b=3，

则椭圆C的方程为x24+y23=1；

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为F(−1,0)，

若FA⋅FB=0，

此时(x1+1,y1)⋅(x2+1,y220.解：(1)如果a=1，那么函数f(x)=xlnx−32x−12x,f(x)的定义域为(0,+∞)．

(ⅰ)f(1)=−32−12=−2,f′(x)=lnx+1−32+12x2，那么f′(1)=1−32+12=0，

所以切线为y−(−2)=0⋅(x−1)，所以y=−2．

(ⅱ)设f′(x)=g(x)=lnx+1−32+12x2，

那么可得g′(x)=1x−1x3=x2−1x3=(x−1)(x+1)x3，

所以当x∈(1,+∞)时，导函数g′(x)>0，函数g(x)单调递增；

当x∈(0,1)时，导函数g′(x)<0，函数g(x)单调递减，

因此g(x)≥g(1)=0，所以f′(x)≥f′(1)=0，

所以函数