2023-2024学年河南省周口恒大中学高三（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省周口恒大中学高三（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a+ib−2i=i(a,b∈R)，其中i是虚数单位，则a+b=(

)A.1 B.3 C.−1 D.−32.在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是(

)

A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(2)(3)3.在△ABC中，已知a=1，c=3，B=5π6，则bA.7 B.27 C.34.已知i是虚数单位，复数z满足z1+i=2+i，则(

)A.z的实部为3 B.z的虚部为1

C.zz−=10 5.已知随机变量η满足E(1−η)=5，D(1−η)=5，则下列说法正确的是(

)A.E(η)=−5，D(η)=5 B.E(η)=−4，D(η)=−4

C.E(η)=−5，D(η)=−5 D.E(η)=−4，D(η)=56.函数y=ax−2018+2018(a>0且a≠1)的图象必经过点A.(2018,2019) B.(2018,2018) C.(2019,2019) D.(2019,2018)7.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=log2(x+4)−2，则f(−4)=A.1 B.−1 C.2 D.−28.设函数f(x)=13x−lnx，则f(x)=A.在区间(0,1)内有零点，在(1,+∞)内无零点

B.在区间(0,1)，(1,+∞)内均有零点

C.在区间(0,3)，(3,+∞)内均无零点

D.在区间(0,3)，(3,+∞)内均有零点二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知曲线C1：y=ex，C2：y2=4x，P∈A.|PQ|+xQ最小值为2−1

B.两曲线有且仅有2条公切线，记两条公切线斜率分别为k1，k2，则k1k210.中文“函数.(function)”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列关于函数的命题正确的是(

)A.f(x)=x2−1与g(t)=t2−1表示同一函数

B.函数f(x)=1+x−1x的定义域是(−1,0)⋃(0,+∞)

C.11.下列说法正确的是(

)A.数列4，7，3，4的首项是4

B.若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3

C.数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列

D.a，−3，−1，1，b，5，7一定能构成数列12.下列函数中，是奇函数且存在零点的是(

)A.y=x+1x B.y=x3+x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.过抛物线y2=4x的焦点，且倾斜角为34π的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则14.若a=(1,0,2)，b=(0,1,2)，则|a15.正四棱锥P−ABCD中，底面边长为2，二面角P−AB−C为45°，则该四棱锥的高等于______．16.设全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5}，集合B={3,5}，则A∩(∁UB)=四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

设复数z=(1−3i)518.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的函数，f(−x)=−f(x)恒成立，且f(12)=25．

(1)确定函数f(x)的解析式，并用定义研究f(x)19.(本小题12分)

已知函数f(x)=|2x−a|+a．

(Ⅰ)若对任意的x∈[−2,3]，恒有f(x)≤6成立，求实数a的取值范围；

(Ⅱ)设g(x)=|2x+b|，且a>0，b>0时函数y=f(x)+g(x)的最小值为3，求92a+120.(本小题12分)

设a∈R，已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=log2(1x+a)．

(1)当a=2时，求不等式f(x)>0的解集；

(2)若关于x的方程f(1x)−log2(x2−(2a−1)x+3a−1)=0在区间(−1,0)上恰有一个解，求a的取值范围；

21.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)，g(x)=x3−x2−3．

(1)求函数g(x)的图象在点(1,g(1))处切线的方程；

(2)若对任意的s22.(本小题12分)

若数列{cn}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ck=cicj”，则称数列{cn}具有“性质P”.已知数列{an}为无穷数列．

(1)若{an}为等比数列，且a1=1，判断数列{an}是否具有“性质P”，并说明理由；

(2)若{参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.D

6.A

7.B

8.D

9.ABC

10.AC

11.AC

12.BD

13.214.3

15.1

16.{1}

17.解：∵(1−3i)5=25(12−32i)5

18.解：(1)由题意可知f(0)=0f(12)=25，即b=012a+b1+14=25，

解得b=0a=1，

所以f(x)=x1+x2，经检验满足奇函数，

设−1<x1<x2<1，

则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x2219.解：(I)原不等式可化为|2x−a|≤6−a，

所以6−a≥0，a−6≤2x−a≤6−a，

解得a−3≤x≤3，又再根据不等式f(x)≤6的解集为[−2,3]，可得a−3=−2，

故a=1，

(II)y=f(x)+g(x)=|2x−a|+|2x+b|+a

≥|(2x−a)−(2x+b)|+a

=|a+b|+a=2a+b.即：2a+b=3，

(92a+1b)(2a+b)≥(3+1)2=16，当且仅当20.解：(1)当a=2时，f(x)=log2(1x+2)，f(x)>0，

即log2(1x+2)>0，1x+2>1，1+xx>0，与x(x+1)>0同解，

得x∈(−∞,−1)∪(0,+∞)；

(2)由题意：关于x的方程log2(x+a)−log2[x2−(2a−1)x+3a−1]=0在区间(−1,0)上恰有一个实数解，

则x+a=x2−(2a−1)x+3a−1>0，

∴(x−1)[x−(2a−1)]=0在区间(−1,0)上恰有一个实数解，

即−1<2a−1<0，解得：0<a<12，且2a−1+a>0，即a>13，

故a的取值范围为(13,12).

(3)由题：a>0，t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递减，

最大值和最小值的差不超过1，即f(t)−f(t+2)≤1，log2(1t+a)−log2(1t+2+a)≤1，

lo21.解：(1)g′(x)=3x2−2x，

k切=g′(1)=1，

又g(1)=13−12−3=−3，

所以g(x)的图象在(1,g(1))处的切线方程为y−(−3)=x−1，即y=x−4．

(2)若对任意s，t∈[12,2]都有f(s)≥g(t)，

只需要对任意s，t∈[12,2]都有f(s)min≥g(t)max，

g′(x)=3x2−2x，

所以g(t)在(12,23)上单调递减，在(23,2)上单调递增，

所以g(t)max=maxg(12),g(2)=1，

所以当x∈[12,2]时，f(x)=ax+xlnx≥1恒成立，

等价于a≥x−x2lnx恒成立，

记u(x)=x−x2lnx22.(1)解：数列{an}具有“性质P”．

事实上，设数列{an}的公比为q，则an=qn−1，n∈N∗．

对任意正整数i，j，i≠j，aiaj=qi+j−2，

∵i+j−1≥2，∴ai+j−1=aiaj．

∴数列{a