《互换性与测量技术》课件第9章

第9章尺寸链

9.1基本概念9.2尺寸链解算的基本公式9.3用完全互换法解算尺寸链9.4用大数互换法解算尺寸链

9.1基本概念

9.1.1尺寸链的概念及定义

图9-1所示的孔、轴配合中，当孔的尺寸D和轴的尺寸d确定后，配合量(间隙)X也就确定了。间隙量在这里也被当做一个尺寸看待(其公称尺寸为零)。因此，D、d、X三个尺寸就构成了一个封闭的尺寸系统，即配合尺寸链。图9-1配合中的尺寸链又如图9-2(a)为一装配图的局部示意图，当各零件的结构尺寸A1～A5确定后，轴与轴套端面的间隙量A0(回转轴的轴向游动量)也就确定了。A1～A5这几个尺寸不在同一个零件上，故由这些尺寸组成的尺寸链，也称为装配尺寸链，其简图见图9-2(b)。在本书已介绍过的内容中，也有许多尺寸链的例子。如螺纹连接中，内、外螺纹的中径尺寸与间隙量的关系及圆锥配合中内、外圆锥直径与配合间隙或过盈的关系和圆柱齿轮分度圆直径和齿轮中心距及齿轮副侧隙间的关系等，均可用尺寸链概念对其进行讨论。又如图9-3所示的零件，其轴向尺寸A0、A1、A2、A3之间也具有封闭性，它们所组成的尺寸链叫零件尺寸链，其简图见图9-3(b)。当尺寸A1～A3一旦确定了，尺寸A0也就得到了，即尺寸A0的大小受尺寸A1～A3大小的影响。图9-2装配尺寸链图9-3零件尺寸链9.1.2尺寸链的类型

尺寸链可分为设计尺寸链和工艺尺寸链，其中设计尺寸链又分为零件类设计尺寸链和装配类设计尺寸链。此外，尺寸链又可分为直线尺寸链、平面尺寸链和空间尺寸链，如图9-1、图9-2、图9-3所示均为直线尺寸链；图9-6为平面尺寸链。尺寸链还可按几何量特征的不同分为长度尺寸链和角度尺寸链。9.1.3尺寸链的组成与各环的判别

尺寸链中的所有尺寸均称为尺寸链的环。尺寸链的环又分封闭环、增环、减环，其中增环和减环统称为组成环。现以图9-3为例，对各环加以说明。

(1)封闭环。在图9-3中，若尺寸A1～A3确定后，尺寸A0也就得到了，即尺寸A0是最后形成的尺寸，故称尺寸A0为封闭环尺寸，简称封闭环。像A0这样的尺寸，一般在图样上不标出。从加工或装配角度讲，凡是最后形成的尺寸，即为封闭环；从设计角度讲，需要靠其他尺寸间接保证的尺寸，便是封闭环。一般来讲，图样上标注的尺寸不同，封闭环也不同。因此，在解算尽寸链时，应正确地判断封闭环，才能得出正确的解算结果。

(2)增环。封闭环确定后，若尺寸链中有一环增大，封闭环尺寸也随之增大，该尺寸环便为增环尺寸，简称增环。如图9-3所示，当尺寸A1、A2不变，尺寸A3增大时，封闭环尺寸A0也增大，则尺寸A3即为该尺寸链的增环。

(3)减环。在尺寸链中，若有一环增大，封闭环尺寸反而减小，则该环尺寸便是减环尺寸，简称减环。图9-3中，当尺寸A1或A2增大时，尺寸A0反而减小，则尺寸A1、A2为减环。

有时增减环的判别不是很容易，如图9-4所示的尺寸链，当A0为封闭环时，增、减环的判别就较困难，这时可用回路法进行判别。方法是从封闭环A0开始顺着一定的路线标箭头，凡是箭头方向与封闭环的箭头方向相反的环，便是增环；箭头方向与封闭环的箭头方向相同的环，便为减环。如图9-4所示，A1、A3、A5、A7为增环；A2、A4、A6为减环。图9-4回路法判别增减环对长度尺寸链中各环的标记，可用大写英文字母加下标表示，封闭环的下标为0，其余各组成环的下标按顺序分别写成l，2，3，…。如图9-1中的尺寸链，孔尺寸D、轴尺寸d、间隙量X可分别写成A1，A2，A0。9.1.4零件设计尺寸链的建立与尺寸链图

从设计角度建立尺寸链，封闭环为需要间接保证的尺寸或几何精度要求，而这些要求常因为测量不便或其他原因，在图样上不注出；然后找出与之有关联的尺寸作为组成环，形成尺寸链。解算尺寸链时，由封闭环的公差确定各组成环的公差。当封闭环的公差值一定时，组成环的数目越多，分配给各组成环的公差就越少，各组成环的加工难度就会加大。因此在建立尺寸链时，应遵循“尺寸链最短原则”，使组成环数目为最少。

从校核角度建立尺寸链，是将设计过程中最后形成的尺寸作为封闭环，然后找出相应的组成环。解算尺寸链时，由各组成环的公称尺寸及极限偏差校验封闭环的公称尺寸及极限偏差，以确定封闭环的合格性。下面以具体例子介绍尺寸链的建立及如何画尺寸链图。

图9-5(a)为一套类零件示意图。从设计角度要求，需保证A0=40±0.08mm的尺寸，但尺寸A0不便测量，所以要由相关的尺寸间接予以保证，故应从设计角度建立尺寸链。尺寸A0为封闭环，找出相关的尺寸后，便能画出如图9-5(b)所示的尺寸链图。为了达到由尺寸A1～A3间接保证尺寸A0的目的，应由A0的极限偏差及公差求出组成环A1～A3的极限偏差及公差。这样，尺寸A1～A3加工合格，尺寸A0也就得到了保证。图9-5零件尺寸链(一)图9-6(a)为箱体零件的局部示意图，在该箱体上有三个孔。按设计要求，A1=300±0.1mm，A2=160±0.09mm，则孔Ⅰ与孔Ⅲ之间中心距A0便最后确定了，故A0为封闭环。由于该尺寸链为一平面尺寸链，有角度α的存在，故尺寸链的建立比较困难，但我们可以将这三个尺寸向某一方向投影，如图9-6(b)所示。注意不要使任何一个尺寸的投影为零，这样便可得出其直线尺寸链形式，其关系式为图9-6零件尺寸链(二)在这里，除了A1、A2与A0有关外，尺寸A1项多了一个系数，尺寸A2项多了一个系数，它们分别代表着尺寸A1、A2对封闭环A0影响的程度，这与一般的直线尺寸链不同。

图9-7(a)为一零件的标注示意图，给定的外圆尺寸为

mm，内孔的尺寸为mm，又已知内、外圆轴线的同轴度误差最大为mm，若需知道该零件壁厚的尺寸变化范围，可通过求解尺寸链获得。画尺寸链图时，首先应确定出封闭环。对该零件而言，内、外圆的尺寸确定后，内、外圆的同轴度允差(偏心量)又已知，则零件的壁厚尺寸就形成了，因此，零件的壁厚尺寸为封闭环。图9-7零件尺寸链(三)建立该零件的尺寸链，可用图9-7(b)的示例加以说明。该图将内、外圆的同轴度误差放大表示，以便于理解并画出尺寸链图。画出的零件尺寸链图如图9-7(c)所示。各组成环分别为：A1为外圆的半径尺寸，A2为内孔的半径尺寸，A3为内、外圆的同轴度允差，其公称尺寸为零。A3在这里被当作增环看待，它也可以被当作减环看待，其计算结果是相同的。A3的上下偏差值取为公差值的一半，相对零线采取对称分布，即× 同轴度公差，即0±0.01。

9.2尺寸链解算的基本公式

1．公称尺寸之间的关系

若尺寸链的环数为n，除去封闭环外，则组成环的环数为n－1。设在n－1的组成环中，增环的环数为，减环的环数为。令封闭环的公称尺寸为L0，各组成环的公称尺寸分别为L1，L2，…，Ln－1，则有(9-1)

2．中间偏差之间的关系

设封闭环的中间偏差为，各组成环的中间偏差为，，…，，则有(9-2)上式表明封闭环的中间偏差等于增环的中间偏差之和减去减环的中间偏差之和。中间偏差为尺寸的上、下偏差的平均值，令上偏差为ES，下偏差为EI，则有(9-3)

3．公差之间的关系

设封闭环的公差为T0，各组成环的公差分别为T1，T2,…,Tn－1，则有(9-4)上式表明，封闭环的公差等于所有组成环的公差之和。由此可知，在整个尺寸链的尺寸环中，封闭环的公差最大，即封闭环的尺寸精度是所有尺寸环中最低的。

4．封闭环的极限偏差

设封闭环的上、下偏差为ES0、EI0，则有(9-5)(9-6)

5．封闭环的极限尺寸设封闭环的上、下极限尺寸分别为L0max、L0min，则有(9-7)(9-8)

9.3用完全互换法解算尺寸链

1．计算类型

尺寸链的计算类型有两种，一种是公差设计计算；另一种是公差校核计算。现分别做介绍。

2．公差设计计算

公差设计计算是指已知封闭环的公差及极限偏差，要求解算出各组成环的公差及极限偏差(各组成环公称尺寸已知)，这属于公差分配问题。如图9-5所示，为了保证尺寸A0，须由封闭环A0的公差及上、下偏差来确定各组成环的公差及上、下偏差。只要各组成环尺寸在各自给定的范围内，就可以保证尺寸A0的精度。将一个封闭环的公差分配给多个组成环，可用两种方法，一种称为等公差法，即假设各组成环的公差值大小是相等的，当各组成环公差分别为T1，T2，…，Tn－1时，且各组成环的个数为n－1，可假设代入公式(9-4)，则有或(9-9)这里的T即为各组成环的平均公差，将各组成环的平均公差T求出后，再在T的基础上根据各组成环的尺寸大小、加工的难易程度，对各组成环公差进行调整，使之满足组成环公差之和等于封闭环公差的关系。另一种方法称为等公差等级法，它假定各组成环的公差等级相等。对于尺寸小于500mm，公差等级在IT5～ITl8范围内的公差值的计算公式为式中，a为公差等级数；i为公差单位(μm)，，其中D为尺寸(mm)。

若各组成环的公差值为Tk，上式又可写成：所谓等公差等级，就是假定各组成环的上式中ak值是相等的，即代入公式(9-4)，则有当各组成环尺寸已知时，各组成环的ik值便可算出。这样，上式可写成：(9-10)求出a值后，将其与表2-3中IT5～ITl8范围内的公差计算式中的公差等级数相比较，得出最接近的公差等级后，可按该等级查标准公差表，求出组成环的公差值，从而进一步确定出各组成环的极限偏差，最后也应满足组成环公差之和等于封闭环公差的关系。现以零件设计尺寸链为例，对公差设计计算方法作一介绍。例9-1

图9-5(a)所示的零件的尺寸链如图9-5(b)所示。为了保证设计尺寸A0=40±0.08mm，试确定尺寸链中其余各组成环的公差及极限偏差。

解由前所述，A0为封闭环，应由A0的公差及极限偏差确定各组成环的公差及极限偏差。此题属于公差分配问题，故该题的计算为公差设计计算。在此对该题用等公差法和等公差等级法分别进行计算。

(1)判断增、减环：A1、A3为减环，A2为增环。

(2)求封闭环的有关量：

封闭环公差T0=ES0－EI0=[0.08－(－0.08)]mm=0.16mm

封闭环中间偏差

(3)用等公差法计算。

①确定各组成环的公差。设各组成环的平均公差为T，且组成环的个数为3，依公式(9-9)得在此平均公差T的基础上对各组成环的公差依尺寸大小及加工的难易程度进行分配。在此过程中，各组成环与封闭环的公差须满足式(9-4)，即A1、A2、A3三个组成环中，应有一个作为调整环，以平衡组成环与封闭环的关系，此题选A3为调整环。因此，对组成环A1、A2的公差值分配为则由式(9-4)可得组成环A3的公差值T3应为②确定各组成环的极限偏差。组成环的极限偏差的确定可按“入体原则”进行，即当组成环的尺寸为孔尺寸时，其极限偏差按基本偏差H对待；为轴尺寸时，其极限偏差按基本偏差h对待；为长度时，按基本偏差JS(js)对待。因此，A1、A2的极限偏差及尺寸标注为由式(9-3)可求出组成环A1、A2的中间偏差为若组成环A3作为调整环，则其中间偏差可由式(9-2)计算：因此组成环A3的上、下偏差分别为即组成环A3为(4)用等公差等级法计算。①确定各组成环的公差等级并求出其公差值。设各组成环的公差等级数均为a，则由式(9-10)可将a值算出。将各组成环尺寸分别代入公式中，可算出相应的i值，计算结果为故，代入式(9-10)得查表2-3可知其等级接近IT9，则各组成环公差按照IT9级从标准公差表(表2-1)中查取：

T1=0.043mm，T2=0.074mm

若组成环A3在此仍为调整环，则其公差值T3则按照式(9-4)计算得

T3=T0－(T1+T2)=0.043mm

②确定各组成环的极限偏差。组成环A1、A2的极限偏差按照“入体原则”确定，即A1、A2的尺寸为由式(9-3)可求得组成环A1、A2的中间偏差为则组成环A3的中间偏差Δ3依式(9-2)为Δ3=Δ2－Δ1－Δ0=－0.037mm因此，组成环A3的上、下偏差为故组成环A3的尺寸为对于该尺寸，没有必要精确到0.5μm位，故可将A3改写为。

3．公差校核计算

公差校核计算是指已知各组成环的公称尺寸及极限偏差，要求验证封闭环的公称尺寸及极限偏差是否在规定的范围内，其属于公差校验问题。

例9-2

在例9-1中用等公差法求得各组成环的尺寸分别为

、和。试验算这些尺寸能否保证封闭环尺寸A0=40±0.08mm。

解

(1)进行公称尺寸校验，由式(9-1)得：

A0=A2－(A1+A3)=40mm

(2)进行公差校验，由式(9-4)可知封闭环的公差应为

T0=T1+T2+T3=0.16mm

(3)进行极限偏差校验：由题可知Δ1=0mm、Δ2=

－0.045mm、Δ3=－0.045mm，则由式(9-2)计算封闭环的中间偏差Δ0为

Δ0=Δ2－(Δ1+Δ3)=0mm

故封闭环的上、下偏差为因此，校验得出的封闭环为A0=40±0.08mm该结果与给定的尺寸A0要求相符，故各组成环的尺寸都能满足封闭环的要求。例9-3

图9-8(a)为一个零件的标注示意图，试校验该图的尺寸公差与位置公差要求能否使得BC两点处在9.7mm～10.05mm范围内。

解

(1)该零件尺寸的尺寸链图如图9-8(b)所示，壁厚尺寸为封闭环A0，组成环A1为圆弧槽的半径，A2为内孔f20H9的半径，A3为内孔f20H9与外圆f50h10的同轴度公差，其尺寸为0±0.02mm，A4为外圆f50h10的半径。

(2)判断增、减环。由图9-8(b)可知A4为增环，A1、A2、A3为减环。

(3)校核计算。

①校验封闭环的公称尺寸。由式(9-1)得：A0=A4－(A1+A2+A3)=25－(5+10+0)=10mm图9-8零件尺寸链(四)②校验封闭环公差。已知各组成环的公差分别为：T1=

0.2mm，T2=0.026mm，T3=0.04mm，T4=0.05mm，由式(9-4)得③校验封闭环的中间偏差。各组成环的中间偏差分别为：Δ1=+0.1mm，Δ2=+0.013mm，Δ3=0mm，Δ4=－0.025mm。由式(9-2)得

Δ0=Δ4－(Δ1+Δ2+Δ3)=－0.138mm④校验封闭环的上、下偏差。由式(9-5)、式(9-6)得

故封闭环(壁厚)的尺寸为对应的尺寸范围为9.704mm～10.02mm，在所要求的9.7mm～10.05mm的范围内，故图9-8(a)所示的图样标注能满足壁厚尺寸的变动要求。

9.4用大数互换法解算尺寸链

完全互换法是按尺寸链中各环的极限尺寸来计算公差的。但是，由概率论原理和生产实践可知，在成批生产和大量生产中，如果零件的加工尺寸在尺寸公差带内呈正态分布，那么靠近极限值的是少数，且在成批产品装配中，尺寸链的各组成环恰好是两极限尺寸相结合的情况就更少了。因此，可以利用这一规律将组成环公差放大，这样不但使零件易于加工，而且又不改变技术条件规定的封闭环公差，从而获得更大的技术经济效果，此即大数互换法(亦称概率法)解算尺寸链的思路。若各组成环的实际尺寸的分布都服从正态分布，则封闭环的实际尺寸的分布也服从正态分布。设各组成环的尺寸分布中心与其公差带中心重合，取置信概率为P=99.73%，分布范围与公差范围相同，则各组成环公差Tk与封闭环公差T0存在下列关系：(9-11)上式表明封闭环的公差等于各组成环公差的平方之和再开方。该公式为一个统计公差公式。用大数互换法解算尺寸链也分为公差设计计算与公差校核计算。

1．公差设计计算

现以例9-1中图9-5(a)的零件尺寸链解算为