电路分析基础第3章

第三章叠加方法与网络函数线性电路的比例性B叠加原理A功率与叠加原理B数模转换器的基本原理C

计划学时:4学时2重点：叠加定理及其应用难点：1、网络函数的概念2、叠加定理求解时各种电源的处理3、功率与叠加原理教学要求：熟练运用叠加定理对电路进行分析§3—1线性电路的比例性1、线性电路由线性元件及独立源组成的电路就叫做线性电路。独立电源：是非线性单口元件（伏安特性不过原点V≠Ki，见图电压源和电流源）uiis(t)uius(t)

它是电路的输入，对电路起着激励作用。而其它元件对电路的作用是激励所引起的响应。

因此，尽管电源是非线性的，但只要电路的其它部分是由线性元件组成，响应与激励之间将存在线性关系。+i2+u2实例：如图，该电路是一单激励的线性电路，若以i2为响应，我们看一下i2～us是否存在线性关系。

由于R1、R2、R3是常数，i2和us可表示为：i2=Kus，成线性关系。(若us增α倍，则i2也增α倍)。这样的性质在数学中称为“齐次性”；在电路理论中称之为“比例性”，它是“线性”的一个表现。同理可推出其它电压或电流和Us成线性关系。2、网络函数网络函数：对单一激励的线性时不变电路指定响应与激励之比定义为网络函数。记为：H

H=响应/激励

策动点函数：响应与激励在同一端口，称为策动点函数转移函数：响应与激励不在同一端口，称为转移函数

由于响应和激励都可以是电流或电压，可以在同一端口或在不同端口，所以网络函数可分为六种情况。如表3-1所示（P91）。H（实数）激励响应电压或电流电压或电流对任何线性电阻电路，网络函数都是实数（注意：有四种量纲），响应与激励的关系可用如下框图表示。响应激励名称及专用符号策动点函数电流电压电压电流策动点电导Gi策动点电阻Ri转移函数电流电压电流电压电压电流电流电压转移电导GT转移电阻RT转移电流比Hi转移电压比Hu例3－1：电桥电路如图，若输入电压为us，试求转移电压比uo/us。解：uo=u3－u4由分压关系可得：us+R1R2R3R4uou3u4+++故得：说明:1)当R2R3=R1R4时，H=0。此时虽有输入，而无输出，称为平衡电桥。2)当R2R3＞R1R4时，H＞0；当R2R3＜R1R4时，H＜0。

但不论哪种情况，|H|均小于1，亦即输出电压不能大于输入电压。us+R1R2R3R4uou3u4+++例3－2：试求图所示梯形网络输出电压uo对输入电压us的函数关系。解：可知uo与us的关系可表示为uo=Hus，本题的任务在于求出常数H，又由于上述关系对任何一对uo、us值均成立，可以任选一uo值，求得相应的us值，即可解决问题。为此，设uo=1V，运用欧姆定律，KCL、KVL依次可求得下列各式：++uo=1V(假定)+++u3u1u23Vi3i1i2ioio=(1/20)A=i120Ω15Ω10Ω10Ω由此可见，当uo=1V时，us=3V，故知H=1/3所求网络函数，即转移电压比为：++uo=1V(假定)+++u3u1u23Vi3i1i2io§3—2叠加定理定理：在任何由线性电阻、线性受控源及独立源组成的电路中，每一元件的电流或电压可以看成是每一个独立源单独作用于电路时，在该元件上所产生的电流或电压的代数和，这就是叠加定理。“恒压源不起作用”或“恒压源置零”——短路，即将此恒压源去掉，代之以导线连接。“恒流源不起作用”或“恒流源置零”——开路，即将此恒流源去掉，使电路开路。规定：当某一独立源单独作用时，其它独立源应为零，即独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替。

这就是说，在线性电路中，任一电流变量或电压变量都可表为如下形式：y(t)=∑Hmxm(t)式中：m=1----M,M为独立电源的总数

Hm为网络函数

xm(t)为独立电压源电压或独立电流源电流说明：①虽然电流或电压满足叠加定理，但元件的功率不满足叠加定理。②受控源和电阻一样对待。实例：如图，该电路为双激励线性电路，响应与激励如何？+++i1i2i312设：流过R2的电流i2为响应根据支路电流法求解：共有3个节点，其中2个是独立的，即：i1-i3=0①-i1+i2-is=0②{两个网孔的KVL方程为：R1i1+u2=us③左网孔R2i2-u2=0④右网孔{注意：电流源和R2的电压均为u2。③+④R1i1+R2i2=us②×R1-R1i1+R1i2=R1is(R1+R2)i2=us+R1is{R2R1U1U2UsIs上式便是响应i2与两个激励us和is的关系式。上式中第一项：是在电路中is=0(电流源开路)，us单独作用时，在R2中产生的电流。i''2上式中第二项：是在电路中us=0(电压源短路)，is单独作用时，在R2中产生的电流。即：由两个激励所产生的响应，表示为每一激励单独作用时所产生的响应之和

上述特性，在电路理论中称之为“叠加性”。同理，该电路中的其它电流或电压对us和is的响应，也都存在类似的线性关系。i'2+例3—3：利用叠加定理求解图中电路的电压。解：绘出每一独立源单独作用时的电路图，如图(a)，(b)，(c)所示。由图(a)，运用分流公式可求得：++uo+u'o(a)

由图(b)，运用分流公式后，可求得：由图(c)，运用分压公式可得：+u''o(b)++u'''o(c)或：由叠加原理可得：例3－4：电路如图，其中r=2Ω，用叠加原理求ix。解：对含受控源电路运用叠加定理时必须注意：叠加定理中说的只是独立电源的单独作用，受控源的电压或电流不是电路的输入，不能单独作用。在运用该原理时，受控源应和电阻一样，始终保留在电路内。10V电压源单独作用，如图(a)，注意此时受控源电压的数值为2i’x。

－10+3i’x+2i’x=0解得：i’x=2Aix+rix+(图)+ri'xi'x+(a)3A电流源单独作用，如图(b)，此时受控源的电压为2i’’x，电流为i’’。i’’=i’’x+32i’’x+i’’+2i’’x=0(KVL)解得：i’’x=－0.6A电源同时作用：

ix=i’x+i’’x=(2－0.6)A=1.4A+ri''x(b)i"x例3－6：在图所示电路中，N的内部结构不知，但只含线性电阻，在激励us和is作用下，其实验数据为：当us=1V，is=1A时，u=0；当us=10V，is=0A时，u=1V。若is=10A，us=0时，u为多少？isus++uN解：由叠加原理可得：此式在任何us和is时均成立，故由两实验条件可得：H1+H2=010H1=1联立解得：故知当us=0，is=10A时叠加是代数量相加，当分量与总量的参考方向一致，取“+”；当分量与总量的参考方向相反，取“-”；§3－3功率与叠加原理

虽然电路中某一元件的电流或电压满足叠加定理，但元件的功率并不等于各电源单独作用时在该元件产生功率的总和。

设仍以下图电阻电路为例来说明，若流过电阻R2的电流为i2，电压为u2，按照叠加原理可分别表示为：

i2=i’2+i”2u2=u’2+u”2该元件的功率应为：P=u2i2=(u’2+u’’2)(i’2+i’’2)=u’2i’2+u’’2i’’2+u’2i’’2+u’’2i’2≠u’2i’2+u’’2i’’2

式中u’2i’2和u’’2i’’2分别为电压源和电流源单独作用时算得的功率。因此，用叠加方法来直接计算功率，将失去交叉乘积项，不能得到正确结果。电路元件的功率应根据元件的电压u和电流i来计算。+++i1i2i312例3－7：试求图示电路中3Ω电阻消耗的功率。r=2Ω解：运用叠加原理求解3Ω电阻的电压u。由图(a)得：12=3i’+2i’+i’=6i’解得：i’=2A，u’=2×3V=6V由图(b)得网孔电流方程为：

4i’’+3×6=-2i’’解得:i’’=－3A，u’’=3×(6－3)V=9V故：u=u’+u’’=15V功率为:p=152/(3Ω)=75W+12V1Ω3Ω++riiu6A(图)u'+12V1Ω3Ω++ri'i'(a)1Ω3Ω++ri''i''u''6A(b)如果用叠加原理直接求3Ω电阻的功率p’=u’2/3=36/3=12Wp’’=u’’2/3=81/3=27Wp=p’+p’’=39W

与实际的功率75W不符。功率不能由叠加原理直接求得，因为功率与电压的二次方有关，不是线性关系，不符合叠加原理。说明

电阻电路的无增益性质++u++u(a)(b)

如图示为分压电路，图(a)由正电阻组成，图(b)含有负电阻。电压源为电路的输入，图中所示电压u为输出由图(a)可得转移电压比为亦即u＜us，输出电压小于输入电压，这一性质称为无电压增益性质。对图(ｂ)，转移电