2025年中考数学思想方法复习系列 【数形结合】数轴中的数形结合思想（原卷版）

数轴中的数形结合思想知识方法精讲1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）3．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．4．有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．（2）有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【规律方法】有理数大小比较的三种方法1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．3．作差比较：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b；若a﹣b＝0，则a＝b．5．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．6．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．7．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．8.数形结合思想数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"线与方程的对应关系；（4）所给的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。3.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式问题中，在求函数的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。一．选择题（共11小题）1．（2021秋•七星关区期末）如图，数轴上的两点、表示的数分别为、，下列结论正确的是A． B． C． D．2．（2020秋•江津区期末）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数是①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2021秋•都江堰市期中）如图，在数轴上，已知点表示的数为，则点到原点的距离是A． B．3 C． D．4．（2021秋•瑞安市期中）如图，数轴上点表示的数是1，点，分别位于点两侧，且到点的距离相等．若点表示的数是，则点表示的数是A． B． C． D．5．（2021秋•义乌市期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和1，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；则翻转2021次后，数轴上数2021所对应的点是A．点 B．点 C．点 D．点6．（2021秋•金水区校级期中）数，，在数轴上的位置如图所示．化简：等于A． B． C． D．7．（2020秋•建平县期末）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，且，则化简的结果为A． B． C． D．8．（2021秋•山亭区期中）实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是A． B． C． D．9．（2021秋•梁子湖区期中）已知，代数式的值等于A． B． C． D．10．（2021秋•崆峒区期末）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，则化简代数式的结果是A． B． C． D．11．（2021秋•五常市期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为A． B． C． D．二．填空题（共2小题）12．（2021秋•西城区期末）线段，为线段的中点，点在直线上，若，则．13．（2021秋•金水区校级期中）已知有理数、在数轴上的对应点位置如图所示，请化简：．三．解答题（共10小题）14．（2021秋•长丰县期末）如图，，，三点在数轴上，点对应的数为多项式中一次项的系数，点对应的数为单项式的次数，点对应的数为．（1）请直接写出点和点在数轴上对应的数．（2）请求出点对应的数，使得点到点，点距离和为10．（3）若点在原点，点和点同时向右运动，它们的速度分别为1，4个长度单位分钟，则第几分钟时，，，三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？15．（2021秋•江夏区期末）如图，在数轴上有，两点，其中点在点的左侧，已知点对应的数为4，点对应的数为．（1）若，则线段的长为（直接写出结果）．（2）若点在射线上（不与，重合），且，求点对应的数（结果用含的式子表示）．（3）若点在线段之间，点在点的左侧、均不与、重合），且．当，时．求的值．16．（2021秋•西城区校级期中）我们知道，的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，类似的，的几何意义就是：数轴上数，对应点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3．（1）数轴上1和两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是．（2）数轴上表示和的两点、之间的距离可以表示为；如果，结合几何意义，那么的值为；（3）代数式表示的几何意义是，该代数式的最小值是．17．（2021秋•魏都区校级期中）已知有理数、、在数轴的位置如图所示，化简：．18．（2021秋•滕州市期中）送货员开着货车从超市出发，向东走了4千米到达小刚家，继续走了2千米到达小明家，然后向西走了10千米到达小芳家，最后回到超市．（1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，小芳家在超市的方，距超市千米，请在数轴上表示出小明家、小芳家的位置．（2）小刚家距小芳家千米．（3）若送货车每千米耗油0.15升，每升汽油6元，请问货车全程油耗多少元？19．（2021秋•运城期中）已知是最小的正整数，且，，满足，请回答下列问题：（1）请直接写出，，的值，，，．（2）如图，，在数轴上所对应的点分别为，，，点为一动点，其对应的数为，当点在，之间运动时，请化简式子：；（请写出化简过程）（3）在（1）和（2）的条件下，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒1个单位长度向右运动，假设经过秒，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，则，，并求出的值．20．（2021秋•青岛期中）同学们，学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，这说明我们的知识越来越丰富了．可是，无理数究竟是一个什么样的数呢？下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数．（1）如图①是一个直角边长为2的等腰直角三角形，它的面积是2，把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形，则这个正方形的面积也就等于等腰直角三角形的面积即为2，则这个正方形的边长就是，它是一个无理数．（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点（滚动时与点重合）由原点到达点，则的长度就等于圆的周长，所以数轴上点代表的实数就是，它是一个无理数．（3）如图，在中，，，，根据已知可求得，它是一个无理数．好了，相信大家对无理数是不是有了更具体的认识了，那么你分别在①②图形中作出两个无理数吧：①你能在的网格图中（每个小正方形边长均为，画出一条长为的线段吗？②学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系，那么你能在数轴上找到表示的点吗？21．（2021秋•长安区期中）如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、，是数轴上的一个动点．（1）若点在数轴上表示的数是8，则、两点的距离为，、两点的距离为；（2）若点在点的右侧，且表示的数为