2025年中考数学思想方法复习系列 【猜想归纳】点的坐标中的猜想归纳思想（解析版）

点的坐标中的猜想归纳思想知识方法精讲1．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．2．坐标与图形变化-对称（1）关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数．（3）关于直线对称①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b）②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）3．坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。考查学生的归纳、概括、类比能力。有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：

（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；

（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；

（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。归纳猜想类问题可以分成四大类：

（1）数式归纳猜想题

这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。

（2）图形归纳猜想题

此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。（3）结论归纳猜想题

结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。（4）类比归纳猜想题

类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。一．选择题（共8小题）1．（2021秋•黄梅县期中）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2021秒时所对应的数是A． B． C． D．【考点】数轴【分析】一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，可知该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，，即可求解．【解答】解：一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，，该点运动到2020秒时对应的数为，第2021秒再向左运动一个单位得，故选：．【点评】根据题意利用运动周期找出规律，解题关键是抓住运动周期5秒．2．（2021秋•庆云县期中）如图，在平面直角坐标系中中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为A． B． C． D．【考点】规律型：点的坐标【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半得出，，，即点的纵坐标为1；点的纵坐标为，点的纵坐标为，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．【解答】解：三角形是等边三角形，，，．在直角△中，，，，即点的纵坐标为1，同理，，，即点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的纵坐标为．故选：．【点评】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．3．（2021•柳南区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作等腰△，再以为直角边作等腰△，再以为直角边作等腰△，，按此规律进行下去，则点的横坐标为A． B． C． D．【考点】规律型：点的坐标【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，，，，，再利用、、、，每8个一循环，再回到轴的负半轴的特点可得到点在第一象限，即可确定点的坐标．【解答】解：等腰直角三角形的直角边在轴的负半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，，，，，，，、、、，每8个一循环，再回到轴的负半轴，，点在第一象限，，点的坐标为：，故选：．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征．4．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，在轴的正半轴上，且，过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；过点作交轴于点；按此规律进行下去，则点的坐标是A．， B．， C．， D．，【考点】二次根式的性质与化简；规律型：点的坐标【分析】通过解直角三角形可得出点的坐标，同理可得出点，，，，，的坐标，根据坐标的变化可得出变化规律“点的坐标为，为正整数）”，再结合即可得出点的坐标，此题得解．【解答】解：，，点的坐标为，，同理，，，，，，，，，，，点的坐标为，为正整数）．，点的坐标为，即，．故选：．【点评】本题考查了特殊角的三角形函数值以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，为正整数）”是解题的关键．5．（2018秋•沙坪坝区校级期末）如图，的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点，点，，将沿轴向右翻滚，依次得到△，△，△，，则△的直角顶点的坐标为A． B．， C．， D．【考点】规律型：点的坐标【分析】在翻滚的过程中，每翻滚三次就重复出现原来的形状，可将这样的翻滚称为三循环，那么．，所以△的形状如同△，即直角顶点的纵坐标为0，再求出的周长的673倍即为横坐标．【解答】解：．△的形状如同△△的直角顶点的纵坐标为0而△的直角顶点的横坐标为故选：．【点评】本题是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是首先确定三角形最终的形状，然后就可以进一步推得点的坐标．6．（2021春•厦门期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点的坐标是A． B． C． D．【考点】规律型：点的坐标【分析】分析点的运动规律，找到循环次数即可【解答】解：分析图象可以发现，点的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．，当第504循环结束时，点位置在，在此基础之上运动三次到，故选：．【点评】本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．7．（2020春•曲阜市期中）如图，已知，，，，，则点的坐标是A． B． C． D．【考点】规律型：点的坐标【分析】由图形列出部分点的坐标，根据坐标发现规律“，，，”，根据该规律即可求出点的坐标．【解答】解：通过观察，可以发现规律：，，，，，，，，，，，，．，点的坐标为．故选：．【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出规律“，，，”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据图象中点的特点罗列出部分点的坐标，根据点的坐标找出规律是关键．8．（2020•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，点是边的中点，现将正方形绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第2019秒时，点的坐标为A．， B．， C．， D．，【考点】规律型：点的坐标；全等三角形的判定与性质；坐标与图形变化旋转【分析】根据正方形的性质，中点坐标公式分别求出前9秒时，点的坐标，再根据规律求得结果．【解答】解：，，四边形是正方形，，，，，点与点关于对称，，是的中点，，，将正方形绕点顺时针旋转，每秒旋转，旋转1秒后，如图1，则，，，同理，，，，，，，，由上可知，点的坐标每8个为一组依次循环着，，与的坐标相同为，故选：．【点评】本题主要考查了正方形的性质，点的坐标特征，求中点坐标，数字规律探索，关键是求出前面9秒时点的坐标，从中选出规律．二．填空题（共12小题）9．（2021•丹东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，过点作直线的垂线交轴于点，以为边作正方形；过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，以为边作正方形；过点作直线的垂线交直线于点交轴于点，以为边作正方形依此下去所得正方形的中心坐标为，．【考点】规律型：点的坐标【分析】根据正比例函数的性质得到，分别求出的长度、的长度，总结规律解答．【解答】解：与轴相交于点，与轴相交于点，，，，，，，，，，，四边形是正方形，，四边形是正方形，，，，，由图可知：当为奇数时，正方形的中心的横坐标为：，纵坐标为：，当时，正方形的中心的横坐标为：，纵坐标为：，故答案为：，．【点评】本题考查的是正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到，正确找出规律是解题的关键．10．（2021秋•芗城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是．【考点】规律型：点的坐标【分析】利用点的坐标求出四边形的周长，用细线的长度除以这个周长，观察余数，即可判断细线的另一端的位置，从而得出结论．【解答】解：，，，，，，，．四边形的周长为：，余数为5，，细线的另一端与点重合．，细线另一端所在位置的点的坐标是．故答案为：．【点评】本题主要考查了点的坐标的规律性，矩形的周长，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．11．（2021春•科左中旗期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点沿箭头所示的方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，，，，则的坐标是．【考点】规律型：点的坐标【分析】先根据，，即可得到，，再根据，可得，进而得到．【解答】解：由图可得，，，，，，，，即，，故答案为：．【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键是根据图形的变化规律得到．12．（2021春•宣恩县期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，以为对角线作第一个正方形，以为对角线作第二个正方形，以为对角线作第三个正方形，，顶点，，，都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点的坐标为，．【考点】规律型：点的坐标【分析】利用图形分别得出点横坐标，，，的横坐标分别为：，，，，点的横坐标为：，再利用纵坐标变化规律进而得出答案．【解答】解：分别过点，，，作轴，轴，轴于点，，，，，，，，，，可得出，，，，，，可得，，同理可得出：，，，，，，，的横坐标分别为：，，，，点的横坐标为：，，，，的纵坐标分别为：1，，，，，点的纵坐标为：，点的坐标为；点的坐标为：，．故答案为：，．【点评】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出点横纵坐标的规律是解答本题的关键．13．（2019•广饶县二模）如图放置的，△，△，都是边长为1的等边三角形，点在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是，．【考点】规律型：点的坐标【分析】根据等边三角形的性质结合一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，进而可得出点的坐标，代入即可求出结论【解答】解：，△，△，都是边长为1的等边三角形，点，，，，都在直线上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标，，点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，即的坐标为．故答案为：【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的坐标的变化找出点的坐标规律是解题的关键．14．（2019春•罗湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，以为对角线作第一个正方形，以为对角线作第二个正方形，以为对角线作第三个正方形，，顶点，，，都在第一象限，按照这样的规律依次进行下去，点的坐标为；点的坐标为．【考点】规律型：点的坐标【分析】利用图形分别得出点横坐标，，，的横坐标分别为：，，，，即可得出点的横坐标为：，点的横坐标为：，再利用纵坐标变化规律进而得出答案．【解答】解：分别过点，，，作轴，轴，轴于点，，，，，，，，，，可得出，，，，，，可得，，同理可得出：，，，，，，，的横坐标分别为：，，，，点的横坐标为：，点的横坐标为：，，，，的纵坐标分别为：1，，，，，点的纵坐标为：，点的纵坐标为：，点的坐标为；点的坐标为：．故答案为：，．【点评】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律分别得出点横纵坐标的规律是解答本题的关键．15．（2021春•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形（实线）四条边上的整点的个数，假如按如图规律继续画正方形（实线），请你猜测由里向外第15个正方形（实线）的四条边上的整点共有60个．【考点】规律型：点的坐标【分析】运用从特殊到一般的推理归纳的思想，利用正方形为中心对称图形，分析其一条边上的整点个数，进而推断整个正方形的四条边上的整点．【解答】解：①第1个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边有1个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有4个整点．②第2个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边有2个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有4个整点．③第3个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边共有3个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有12个整点．④第4个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边共有4个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有16个整点．⑤第5个正方形，对于其中1条边，除去该边的一个端点，这条边共有5个整点．根据正方形是中心对称图形，则四条边共有20个整点．．以此类推，第15个正方形，四条边上的整点共有60个．故答案为：60．【点评】本题主要考查推理能力，运用特殊到一般的推理归纳的思想．16．（2021•河池一模）如图，点，，，，，，在坐标轴上，且，，若点，的坐标分别为，，则点的坐标为．【考点】规律型：点的坐标【分析】根据相似三角形的性质求出的长，再根据相似三角形的性质计算求出的长，以此类推出的坐标．【解答】解：点，的坐标分别为，，，，△△，，即，，△△，，即，，，，．．的坐标为，．故答案为．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．（2021春•罗山县期末）如图，在直角坐标系中，，，第一次将变换成△，，；第二次将△变换成△，，，第三次将△变换成△，则的横坐标为．【考点】规律型：点的坐标【分析】依次写出点，，，的横坐标，找到它们的变化规律，即可确定点的横坐标．【解答】解：由题意知，，，，，，根据此规律，，，的横坐标为，故答案为．【点评】本题主要考查点的坐标找规律，关键是要仔细观察点的横坐标，写出变化规律．18．（2020•准格尔旗一模）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2，圆心角为的多次复制并首尾连接而成．现有一点从为坐标原点）出发，以每秒的速度沿曲线向右运动，则在第103秒时点的纵坐标为．【考点】规律型：点的坐标；圆心角、弧、弦的关系【分析】根据题意求出的长，由图可知，点每走两个为一个循环，找出点纵坐标的变化规律即可．【解答】解：过点作，交于点，交于点，由题意得：的长，秒，，，，，，，，第1秒点运动到点，纵坐标为1，第2秒点运动到点，纵坐标为0，第3秒点的纵坐标为，第4秒点的纵坐标为0，第5秒点的纵坐标为1，．点的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依此循环，，在第103秒时点的纵坐标为：，故答案为：．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，规律型中点的坐标，找出点纵坐标的规律是解题的关键．19．（2021秋•铁锋区期末）在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，，则经过第2021次变换后所得的点的坐标是，．【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化对称【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．【解答】解：点第一次关于轴对称后在第四象限，点第二次关于轴对称后在第三象限，点第三次关于轴对称后在第二象限，点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，每四次对称为一个循环组依次循环，，经过第2021次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为，，故答案为：【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．20．（2020•黑龙江）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为．过点作直线交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形，点的坐标为．过点作直线交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点．以为边作正方形，，则点的坐标，．．【考点】规律型：点的坐标；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质【分析】由坐标为根据题意求得的坐标，进而得的坐标，继续求得，，，的坐标，根据这5点的坐标得出规律，再按规律得结果．【解答】解：点坐标为，，，，，，，，同理可得，，由上可知，，当时，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，规律变化，关键是求出前几个点的坐标得出规律．三．解答题（共1小题）21．（2021秋•仙居县期中）在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若