2024-2025学年高中数学第一章集合1.1第1课时集合的含义学案含解析北师大版必修1

PAGE§1集合的含义与表示第1课时集合的含义内容标准学科素养1.通过实例了解集合的含义．2.驾驭集合中元素的三个特性．3.驾驭元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“∉”来表示．4.记住常用数集的记法.精确概念含义适当分类探讨娴熟语言转换授课提示：对应学生用书第1页[基础相识]学问点一集合的概念eq\a\vs4\al(预习教材P3，思索并完成以下问题)(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某中学高一(1)班“全部聪慧的同学”组成一个集合．()(2)由元素1,1,2组成一个集合．()提示：(1)×(2)×[(1)不能组成一个集合，因为“聪慧”这个标准不明确，而集合中的元素必需是确定的，即给定一个集合，任何元素是不是这个集合中的元素是确定的．(2)不能．因为集合中的元素是不能重复的，即集合中的元素具有互异性．]学问梳理1.集合与元素的概念(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，常用大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，常用小写字母a，b，c，…表示．2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．学问点二元素与集合的关系eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)(1)方程x2＝1的解组成的集合为A，则下列各式正确的是()A．0∈A B．1∉AC．－1∈A D．±1＝A(2)用符号“∈”或“∉”填空．①设集合A是小于eq\r(11)的全部实数组成的集合，则2eq\r(3)________A,1＋eq\r(2)________A；②设集合C是满意方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________C，(－1,1)________C.提示：(1)C(2)①∉∈②∉∈学问梳理元素与集合的关系关系概念记法读法属于假如a是集合A的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于假如a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A学问点三常用数集及表示符号eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)(1)若a∈N，但a∉N＋，则a等于多少？提示：N是自然集，N＋是正整数，故a＝0.(2)如何推断一个元素是否是一个集合的元素？提示：要推断一个元素是否是一个集合的元素，只需看这个元素是否具有这个集合中元素的特性．学问梳理常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋ZQR[自我检测]1．下列各组对象中不能构成集合的是()A．2010年参展上海世博会的全部展馆B．北京高校2011级的新生C．2012年伦敦奥运会的全部参赛运动员D．美国NBA的篮球明星解析：选项A、B、C的对象都是确定的，而且是不同的，因而能构成集合；而选项D中“明星”标准不明确，不满意确定性，不能构成集合．答案：D2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是()A．3.14 B．－5C.eq\f(3,7)D.eq\r(7)解析：由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数，从而选D.答案：D3．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“∉”)．解析：集合A与集合B相等，则A、B两集合的元素完全相同，又1∈A，故1∈B.答案：∈授课提示：对应学生用书第2页探究一集合的推断[例1]推断下列每组对象能否构成一个集合：(1)闻名的数学家；(2)某校2012年在校的全部高个子同学；(3)不超过20的非负数．[解析](1)“闻名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“闻名”无法客观地推断，因此“闻名的数学家”不能构成一个集合．类似地，(2)也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地推断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”方法技巧一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合的过程为：跟踪探究1.推断下列每组对象能否构成一个集合：(1)等边三角形的全体；(2)小于2的全部整数；(3)全部无理数；(4)聪慧的人；(5)知名的科学家．解析：(1)任给一个三角形，可以明确地推断它是不是等边三角形，故“等边三角形的全体”能构成集合；类似地，(2)能构成集合；(3)能构成集合；(4)“聪慧的人”没有明确的推断标准，对于某个人来说，他算不算聪慧我们无法给出客观的推断，因此“聪慧的人”不能构成集合；类似地，(5)也不能构成集合．探究二元素与集合的关系[例2]给出下列四个关系：eq\r(5)∈R,0.7∉Q,0∉N，|－4|∈Z，其中正确的有()A．4个 B．3个C．2个 D．1个[解析]因为eq\r(5)是实数，故eq\r(5)∈R正确；因为0.7是有理数，故0.7∉Q错误；0是自然数，故0∉N错误；|－4|＝4，而4是正整数，故|－4|∈Z正确．故选C.[答案]C方法技巧推断一个元素是不是某个集合的元素，关键是推断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征或共同属性．它要么是，要么不是，两者必居其一，且仅居其一．跟踪探究2.下列关系中不正确的有________个．①eq\f(1,2)∈R；②0.3∈Q；③|－eq\r(3)|∈Q；④－2∈Z.解析：eq\f(1,2)是实数，0.3是有理数，|－eq\r(3)|＝eq\r(3)是无理数，－2是整数，故①②④正确，③错误．答案：1探究三集合中元素的特性[例3]已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值[思路点拨]eq\x(\a\al(令－3＝a－3或,－3＝2a－1))→eq\x(\a\al(解方程,求a))→eq\x(\a\al(检验得,a的值))[解析]∵－3∈B，∴－3＝a－3或－3＝2a若－3＝a－3，则a＝0，此时集合B含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合B含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满意题意的实数a的值为0或－1.延长探究本例中，若将“－3∈B”改为“a∈B”，求a的值．解析：∵a∈B，且a≠a－3，∴a＝2a－1，解得a＝1.即实数a的值为1.方法技巧利用集合中元素的特性解答问题，主要是利用元素的确定性与互异性：(1)确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是推断一组对象是否能构成集合的标准．(2)互异性：是指对于一个给定的集合，它的随意两个元素都是不同的．简洁地说，一个集合中不能出现相同的元素．跟踪探究3.已知集合A中含有三个元素－1，x与x＋1，若0∈A，求实数x的值．解析：由于0∈A，则x＝0或x＋1＝0.若x＝0，则x＋1＝1，此时集合A中有三个元素－1,0,1，符合题意．若x＋1＝0，得x＝－1，不符合集合中元素的互异性，舍去．综上所述，满意题意的实数x的值为0.授课提示：对应学生用书第3页[课后小结]1．探讨对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，假如有，能构成集合，假如没有，就不能构成集合．这是推断能否构成集合的依据．2．集合中元素的三个特征：(1)确定性：给定的集合，它的元素必需是确定的，即根据明确的推断标准推断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的随意两个元素，则肯定有a≠b.(3)无序性：集合中的元素是没有依次的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这特性质通常用来推断两个集合的关系．[素养培优]因忽视集合中元素的互异性致误易错案例：方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有几个元素？易错分析：解