2024-2025学年高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意义学案含解析北师大版选修1-1

PAGE2导数的概念及其几何意义授课提示：对应学生用书第32页一、导数的概念1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x1趋于x0，即Δx趋于0时，假如平均改变率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时改变率，也称为y＝f(x)在x0点的导数．2．记法：函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do6(x1→x0))eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝lieq\o(m,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).二、与导数相关的概念1．平均改变率与导数平均改变率导数表达式eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)几何意义曲线y＝f(x)上过两点(x0，f(x0))和(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的割线的斜率曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率图示2.切线的定义如表中图，当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋向于点A，割线AB将绕点A转动，最终趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．[疑难提示]利用导数的几何意义求过某点的切线方程的步骤(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后依据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，就是切线与y轴平行或是y轴；若f′(x0)>0，切线与x轴正方向夹角是锐角；若f′(x0)<0，则切线与x轴正方向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行或是x轴．(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后依据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[想一想]1．函数f(x)在x0处的导数f′(x0)与Δx有关吗？提示：导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其旁边的函数值有关，与Δx无关．[练一练]2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率答案：C3．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量之比B．一个函数C．一个常数D．函数在这一点到它旁边一点之间的平均改变率答案：C4．已知二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，则f′(1)的值为()A．1 B．0C．－1 D．2解析：∵二次函数f(x)的图像的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，选B.答案：B授课提示：对应学生用书第33页探究一导数概念的理解[典例](1)求函数y＝eq\r(x)在x＝1处的导数；(2)设f′(a)＝3，求eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋3Δx－fa－Δx,2Δx)的值． [解析](1)∵f(x)＝eq\r(x)，∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\r(1＋Δx)－1，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)2－12,Δx\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(Δx,Δx\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1).当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→eq\f(1,2)，∴f′(1)＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝3，∴eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋3Δx－fa－Δx,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋3Δx－fa＋fa－fa－Δx,2Δx)＝eq\f(3,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa＋3Δx－fa,3Δx)＋eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fa－Δx－fa,－Δx)＝eq\f(3,2)f′(a)＋eq\f(1,2)f′(a)＝2f′(a)＝6.1．解答此类问题，应留意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤．(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N＋)等也趋于0.(3)留意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用．2．利用导数定义求函数y＝f(x)在某点处的导数的步骤：(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均改变率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)当Δx趋于0时，得导数f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).1．一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s)的函数，y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并说明它的实际意义．解析：因为eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(f2＋Δt－f2,Δt)＝eq\f(32＋Δt－3×2,Δt)＝3，所以f′(2)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δt)＝3.f′(2)＝3的意义是：水流在2s时的瞬时流量为3m3/s，即假如保持这一速度，每经过1s，水管中流过的水量为3m2．利用导数的定义求函数y＝eq\f(1,x2)＋2在点x＝1处的导数．解析：Δy＝[eq\f(1,1＋Δx2)＋2]－(eq\f(1,1)＋2)＝eq\f(1,1＋Δx2)－1＝eq\f(－2Δx－Δx2,1＋Δx2)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－2－Δx,1＋Δx2)，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)＝－2，∴函数y＝eq\f(1,x2)＋2在x＝1时的导数为－2.探究二导数几何意义的应用eq\x(\a\al(导数几何意,义的应用))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(求切线方程),—\x(求切点坐标),—\x(求参数),—\x(综合应用)))3．(1)求曲线f(x)＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程；(2)求过点A(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．解析：(1)∵点(－2，－1)在曲线y＝eq\f(2,x)上，∴曲线y＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的导数．∴k＝f′(－2)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f－2＋Δx－f－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(2,－2＋Δx)－\f(2,－2),Δx)＝lieq\o(m,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,－2＋Δx)＝－eq\f(1,2)，∴曲线y＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.(2)∵当x＝3时，f(3)＝32＝9，∴点(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，即A(x0，xeq\o\al(2,0))，则过点A的切线斜率k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0，∴过点A的切线方程为y－xeq\o\al(2,0)＝2x0(x－x0)，即2x0x－y－xeq\o\al(2,0)＝0，又∵点(3,5)在切线上，∴6x0－5－xeq\o\al(2,0)＝0，即xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，∴x0＝1或5，∴切点为(1,1)或(5,25)，∴切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.4．在曲线y＝eq\f(4,x2)上求一点P，使得曲线在该点处的切线分别满意下列条件：(1)平行于直线y＝x＋1；(2)垂直于直线2x－16y＋1＝0；(3)倾斜角为135°.解析：设P点坐标为(x0，y0)，则Δy＝eq\f(4,x0＋Δx2)－eq\f(4,x\o\al(2,0))＝eq\f(4x\o\al(2,0)－4x0＋Δx2,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)＝eq\f(－8x0Δx－4Δx2,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－8x0－4Δx,x\o\al(2,0)x0＋Δx2)，∴当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于－eq\f(8,x\o\al(3,0))，即f′(x0)＝－eq\f(8,x\o\al(3,0)).(1)因为切线与直线y＝x＋1平行．∴由导数几何意义知f′(x0)＝1，即－eq\f(8,x\o\al(3,0))＝1，∴x0＝－2，y0＝1.即P(－2,1)．(2)∵切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，∴有f′(x0)·(eq\f(－2,－16))＝－1，∴－eq\f(8,x\o\al(3,0))·eq\f(1,8)＝－1，∴x0＝1，y0＝4，即P(1,4)．(3)∵切线倾斜角为135°，∴f′(x0)＝tan135°＝－1，∴－eq\f(8,x\o\al(3,0))＝－1，∴x0＝2，y0＝1，即P(2,1)．5．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积．解析：(1)y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2－x＋2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(2xΔx＋Δx2＋Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(2x＋Δx＋1)＝2x＋1.∴y′eq\a\vs4\al(|x＝1)＝2×1＋1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.∵l1⊥l2，∴2b＋1＝－eq\f(1,3)，解得b＝－eq\f(2,3).∴直线l2的方程为y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6),y＝－\f(5,2))).∴直线l1和l2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(5,2))).l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)，0))，∴所求三角形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(22,3)))×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝eq\f(125,12).6.如图表示物体运动的路程随时间改变的函数f(t)＝4t－2t2的图像，试依据图像，描述、比较曲线f(t)在t0、t1、t2旁边的改变状况．解析：(1)当t＝t0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以在t＝t0旁边曲线比较平坦．几乎没有升降．(2)当t＝t1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率f′(t1)<0，所以在t＝t1旁边曲线下降，即函数f(t)在t＝t1旁边单调递减．(3)当t＝t2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f′(t2)<0，所以在t＝t2旁边曲线下降，即函数f(t)在t＝t2旁边也单调递减．由图像可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1旁边比在t2旁边下降得缓慢．因对导数的概念理解不透彻致误[典例]已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝________.[解析]eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δ