2024高考数学一轮复习第十一章概率11.2古典概型学案文含解析新人教A版

PAGE11.2古典概型必备学问预案自诊学问梳理1.基本领件在一次试验中,我们常常要关切的是全部可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简洁的随机事务,其他事务可以用它们来描绘,这样的事务称为.

2.基本领件的特点(1)任何两个基本领件是的.

(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成的和.

3.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中全部可能出现的基本领件.

(2)等可能性:每个基本领件出现的可能性.

4.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数1.任一随机事务的概率都等于构成它的每一个基本领件概率的和.2.求试验的基本领件数及事务A包含的基本领件数的方法有列举法、列表法和树状图法.考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本领件的发生肯定是等可能的.()(2)基本领件的概率都是1n.若某个事务A包含的结果有m个,则P(A)=mn.((3)掷一枚质地匀称的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事务.()(4)在古典概型中,假如事务A中基本领件构成集合A,全部的基本领件构成集合I,那么事务A的概率为card(A)card(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2.()2.某同学准备编织一条毛线围巾送给妈妈,确定从妈妈喜爱的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织,那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是()A.14 B.13 C.123.(2024全国3,3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16 B.14 C.134.从集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是()A.13 B.15 C.255.(2024江苏,4)将一颗质地匀称的正方体骰子先后抛掷2次,视察向上的点数,则点数和为5的概率是.

关键实力学案突破考点古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场竞赛,齐王获胜的概率是()A.23 B.35 C.59(2)(2024云南昆明一中高三月考)把分别写有1,2,3,4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必需是连号,那么2,3连号的概率为()A.23 B.13 C.35解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略(1)求古典概型的概率的步骤是:①推断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事务为A;②分别计算基本领件的总数n和所求的事务A所包含的基本领件个数m;③利用古典概型的概率公式P(A)=mn,求出事务A的概率(2)对与依次相关的问题处理方法为:若把依次看作有区分,则在求试验的基本领件的总数和事务A包含的基本领件的个数时都看作有区分,反之都看作没区分.(3)基本领件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有依次的问题及较困难问题中基本领件数的探求对点训练1(1)在《周易》中,长横“”表示阳爻,两个短横“”表示阴爻,有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦,共有23=8种组合方法,这便是《系辞传》所说:“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”,有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的状况,有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的状况,有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的状况,即为八卦.在一次卜卦中,恰好出现2个阳爻1个阴爻的概率是()A.18 B.1C.38 D.(2)一个盒中有形态、大小、质地完全相同的5张扑克牌,其中3张红桃,1张黑桃,1张梅花.现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌,则这2张扑克牌花色不同的概率为()A.45 B.710 C.35考点古典概型与其他学问的交汇问题(多考向探究)考向1古典概型与平面对量的交汇【例2】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈0,π2的概率是()A.512 B.1C.712 D.解题心得由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和m>n对应的事务个数,从而也清晰了基本领件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.对点训练2把一颗骰子投掷两次,视察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,其次次出现的点数为b,向量m=(a,b),n=(1,-2),则向量m与向量n垂直的概率是()A.16 B.112 C.19考向2古典概型与解析几何的交汇【例3】(2024贵州贵阳一中高三月考)设a,b是从集合{1,2,3,4}中随机选取的数,则直线ax+by+4=0与圆x2+y2=2没有公共点的概率为.

解题心得直线与圆没有公共点,即圆心到直线的距离大于半径,由此得出a2+b2<8,则满意a2+b2<8的基本领件的个数就能求出来,从而转化成古典概型问题.对点训练3设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从集合A中任取两个元素a,b,且ab≠0,则方程x2a+y2b=1考向3古典概型与函数的交汇【例4】设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=12ax2+bx+1(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线相互平行的概率.解题心得f(x)在区间(-∞,1]上是减函数可转化成开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标大于或等于-1,从而得出b≤a,从而不难得出b≤a包含的基本领件数.因此也就转化成了与概率的基本领件有关的问题.对点训练4随机抛掷一枚质地匀称的骰子,记正面对上的点数为a,则函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为()A.13 B.12 C.23考点古典概型与统计的综合问题【例5】(2024云南德宏高三质检)共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市2024年对共享单车的运用状况进行了调查,数据显示,该市共享单车用户年龄分布如图1所示,一周内市民运用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户依据年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内运用的次数为6次或6次以上的称为“常常运用共享单车用户”,运用次数为5次或不足5次的称为“不常运用共享单车用户”.已知在“常常运用共享单车用户”中有56是“年轻人”(1)现对该市市民进行“常常运用共享单车与年龄关系”的分析,采纳随机抽样的方法,抽取了一个容量为200的样本.请你依据题目中的数据,补全下列2×2列联表:是否常常运用共享单车年轻人非年轻人合计常常运用120不常运用80合计16040200依据列联表独立性检验,推断有多大把握认为常常运用共享单车与年龄有关?参考数据:P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中,K2=n(ad(2)以频率为概率,把共享单车用户按常常运用与不常常运用进行分层,用分层抽样的方法在(1)的200户用户中抽取一个容量为5的样本,从中任选2户,求至少有1户常常运用共享单车的概率.解题心得求概率与统计问题的一般步骤第一步:依据概率统计的学问确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;其次步:将全部基本领件列举出来(可用树状图);第三步:计算基本领件总数n,事务A包含的基本领件数m,代入公式P(A)=mn第四步:回到所求问题,规范作答.对点训练5(2024河北唐山高三月考)街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位,供群众销售商品.某日街道办统计摊主的当日利润(单位:元),绘制如下茎叶图.(1)依据茎叶图,计算东区10位摊主当日利润的平均数,方差;(2)从当日利润90元以上的摊主中,选出2位进行阅历推介,求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率.数学建模主要体现在利用实际问题,正确列出基本领件,建立古典概率模型.古典概型中基本领件数的探求方法主要有:列举法、树形图法、列表法.方法1列举法求解古典概型【例1】已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表:游客数量/百人[0,100)[100,200)[200,300)≥300拥挤等级优良拥挤严峻拥挤该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:(1)下面是依据统计数据得到的频率分布表,求a,b的值;游客数量/百人[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天数a1041频率b121(2)估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这2天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.解(1)游客人数在[0,100)范围内的天数有15天,故a=15,b=1530(2)由题可得游客人数的平均数为50×15+150×10+250×(3)从5天中任选2天的选择方案有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中游客拥挤等级均为优的有(1,4),(1,5),(4,5),共3种,故所求的概率为310解题心得1.数学建模主要体现在利用实际问题,正确列出基本领件,建立古典概率模型.古典概型中基本领件数的探求方法主要有:(1)列举法;(2)树状图法:适合于较为困难的问题中的基本领件的探求.对于基本领件有“有序”与“无序”区分的题目,常采纳树状图法;(3)列表法:适用于多元素基本领件的求解问题,通过列表把困难的题目简洁化、抽象的题目详细化.2.对于简洁问题且基本领件数目不大的题目,一般采纳列举法,列举时肯定按肯定的规则进行,做到不重不漏.对点训练1(2024广西防城港高三模拟)设连续抛掷骰子两次所得的点数x,y构成点M(x,y),则点M落在圆x2+y2=10内的概率为()A.12 B.14 C.16方法2树形图法求解古典概型【例2】在电视台实行的某竞赛中,甲,乙,丙三位评委对选手的综合表现,分别给出“待定”或“通过”的结论.对于选手A,只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率为.

答案1解析画出树状图来说明评委给出A选手的全部可能结果:由上可知评委给出A选手全部可能的结果有8种.对于A选手,“只有甲,乙两位评委给出相同结论”有2种,即“通过—通过—待定”“待定—待定—通过”,所以对于A选手“只有甲,乙两位评委给出相同结论”的概率是14解题心得1.本题是通过现实操作的过程建模成为古典概型的,列出树形图,按树枝数目求解基本领件的数目.2.树状图法:适合于较为困难的问题中的基本领件的探求.对于基本领件有“有序”与“无序”区分的题目,常采纳树状图法.在找基本领件个数时,肯定要按依次逐个写出:先(A1,B1),(A1,B2)…(A1,Bn),再(A2,B1),(A2,B2)…(A2,Bn),依次(A3,B1),(A3,B2)…(A3,Bn)…这样才能避开多写,漏写现象的发生.对点训练2“石头、剪刀、布”是广为流传的嬉戏,嬉戏时甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”“布”三种手势中一种,规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”,同样手势不分输赢,假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势,则两人同种手势的概率为.

方法3列表法求解古典概型【例3】如图,有两个可以自由转动的匀称转盘A,B,转盘A被匀称地分成4等份,每份分别标上1,2,3,4四个数字;转盘B被匀称地分成6等份,每份分别标上1,2,3,4,5,6六个数字.同时转动A,B两个转盘,转盘停止后,指针各指向一个数字,将所指的两个数字作和,则事务“数字之和为奇数”发生的概率为;事务“数字之和为偶数”发生的概率为.

答案1解析全部可能得到的数字之和如下表:AB12345612345672345678345678945678910由上表可知,两数之和的状况共有24种,所以,P(数字之和为奇数)=1224P(数字之和为偶数)=1224解题心得1.本题是依据问题形成的缘由进行数学建模的,利用图表描述同时转动A,B两个转盘,指针各指向一个数字的组合,从而建立古典概型模型.2.列表法:适用于多元素基本领件的求解问题,通过列表把困难的题目简洁化、抽象的题目详细化.对点训练3两个布袋中分别装有三个小球,这三个小球的颜色分别为红色、白色、绿色,其他没有区分.把两袋小球都搅匀后,再分别从两袋中各取出一个小球,则取出两个相同颜色小球的概率为.

11.2古典概型必备学问·预案自诊学问梳理1.基本领件2.(1)互斥(2)基本领件3.(1)只有有限个(2)相等考点自诊1.(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√2.B由题意,该同学选择的两种颜色的基本状况有:(白,黄),(白,紫),(黄,紫),共3种状况;其中满意要求的基本状况有1种,故所求概率为133.D两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学相邻的概率是12.故选D4.D从集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}各取一个数,基本领件有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)共20个;其中两个数的和除以3余1基本领件有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4)共6个,∴两个数的和除以3余1的概率为p=620=3105.19第1,2次向上的点数分别记为a,b,每个样本点记为(a,b),则全部(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为436关键实力·学案突破例1(1)A(2)B(1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场竞赛”的事务数为9种,满意“齐王获胜”的这一条件的状况为:齐王派出上等马,则获胜的事务数为3;齐王派出中等马,则获胜的事务数为2;齐王派出下等马,则获胜的事务数为1;故满意“齐王获胜”这一条件的事务数为6种,依据古典概型公式可得,齐王获胜的概率P=69=23(2)分三类状况,第一类1,2连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4),(12,4,3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3,12),有6种分法;其次类2,3连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4),(4,23,1),(23,1,4),(23,4,1),(1,4,23),(4,1,23),有6种分法;第三类3,4连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34),(2,1,34),(34,1,2),(34,2,1),(1,34,2),(2,34,1),有6种分法;共有18种分法,则2,3连号的概率为618对点训练1(1)C(2)B(1)在一次卜卦中得到六爻,基本领件总数n=23=8,这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本领件m=3,则这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是P=mn=38(2)全部会出现的状况有(红1,黑1),(红1,梅1),(红2,黑1),(红2,梅1),(红3,黑1),(红3,梅1),(红1,红2),(红1,红3),(红2,红3),(黑1,梅1)共10种.其中符合花色不同的状况有(红1,黑1),(红1,梅1),(红2,黑1),(红2,梅1),(红3,黑1),(红3,梅1),(黑1,梅1),共7种,依据古典概型的概率公式得P=710.故选B例2C∵cosθ=m-nm2+n2·2,满意条件m=n的概率为636满意条件m>n的概率为1536∴θ∈0,π2的概率为16对点训练2D抛掷一枚质地匀称的骰子包含6个基本领件,由函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点,得Δ=4a2-8>0,解得a<-2或a>2.又a为正整数,故a的取值有2,3,4,5,6,共5种结果,所以函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为56.故选D例314当圆心到直线距离d=|4|a2+b2>2时,直线与圆没有公共点,即a2又(a,b)共有如下结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16种,使得a2+b2<8成立的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4种,所以直线与圆没有公共点的概率是416对点训练315易得A={x|-2<x<5,x∈Z}={-由条件知,(a,b)的全部可能取法有(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共20种,方程x2a+y2b=1表示焦点在x轴上的双曲线满意条件的有(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1)共4种,故所求的概率为420例4解(1)由题意-b2×12a≥-1,而(a,b)可能为(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),共4种,满意b≤a的有3种,故所求的概率为34(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a+b,所以这两个函数中的a与b之和应当相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满意,故所求的概率为16对点训练4D抛掷一枚质地匀称的骰子包含6个基本领件,由函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点,得Δ=4a2-8>0,解得a<-2或a>2.又a为正整数,故a的取值有2,3,4,5,6,共5种结果,所以函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为56.故选D例5解(1)补全的列联表如下:是否常常运用共享单车年轻人非年轻人合计常常运用10020120不常运用602080合计16040200∵a=100,b=20,c=60,d=20,∴K2的观测值k=200×(100×20-20×即有85%以上的把握认为常常运用共享单车与年龄有关.(2)由(1)知,用分层抽样从常常运用共享单车的用户中抽取3户,记为1,2,3;从不常运用共享单车的用户中抽取2户,记为a,b;从中任选2户有如下基本领件:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10种可能;其中至少有1户常常运用共享单车的有:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),共9种可能,故所求概率为910对点训练5解(1)东区10位摊主利润的平均数是80,方差是110×[(68-80)2+(69-80)2+(75-80)2+(73-80)2+(78-80)2+(80-80)2+(89-80)2+(81-80)2+(