2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练六十六变量的相关性与统计案例课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练六十六变量的相关性与统计案例【基础落实练】（30分钟60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》(以下简称《民法典》)获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民绽开问卷调查，回收100份有效问卷，得到2×2列联表，经计算K2≈3.030，关注《民法典》不关注《民法典》男4510女3015附：P(K2≥k)0.100.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828A.有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关B．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关C．在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关D．在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关【解析】选B.由题意知，K2≈3.030＞2.706，所以有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关．2.已知x与y之间的一组数据如表所示:x0123ym35.57已求得y关于x的线性回来方程为=2.1x+0.85,则m的值为 ()A.0.85B.0.75C.0.6D.0.5【解析】选D.由题中数据可得QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,因为回来直线必过样本点的中心,所以QUOTE=2.1×QUOTE+0.85,解得m=0.5.3．对变量x，y进行回来分析时，依据得到的4个不同的回来模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是()【解析】选A.用残差图推断模型的拟合效果，残差点比较匀称地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．4.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成果(单位:分)近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成果y进行数据收集如表:x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回来方程为=x+,则下列说法正确的是 ()A.+18<100B.+18>100C.+18=100D.+18与100的大小无法确定【解析】选B.QUOTE=(15+16+18+19+22)×QUOTE=18,QUOTE=(102+98+115+115+120)×QUOTE=110,所以样本中心点为(18,110),所以有110=18+,即点(,)满意+18=110>100.【加练备选·拔高】如图所示,5组数据(x,y)中去掉D(3,10)后,下列说法错误的是 ()A.残差平方和变大B.相关系数r变大C.相关指数R2变大D.变量x与变量y的相关性变强【解析】选A.依据散点图:5组数据(x,y)中去掉D(3,10)后,得到的结论,y与x的线性相关性加强,且为正相关,所以r变大,相关系数R2变大,残差平方和变小.5.以模型y=cekx去拟合一组数据时,为了求出回来方程,设z=lny,其变换后得到线性回来方程z=0.3x+4,则c= ()A.0.3 B.e0.3C.4 D.e4【解析】选D.因为y=cekx,所以两边同时取对数得lny=kx+lnc,设z=lny,得z=kx+lnc,又因为变换后得到线性回来方程z=0.3x+4,所以lnc=4,解得c=e4.二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2024·宁德模拟)对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其回来直线方程是＝eq\f(1,3)x＋且x1＋x2＋…＋x8＝24，y1＋y2＋…＋y8＝12，则实数的值是________．【解析】依据题意知，x1＋x2＋…＋x8＝24，y1＋y2＋…＋y8＝12，所以eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×24＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,8)×12＝eq\f(3,2)，所以回来直线＝eq\f(1,3)x＋过样本中心点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)))，所以＝eq\f(3,2)－eq\f(1,3)×3＝eq\f(1,2)，即实数＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．(2024·长春模拟)某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回来直线的方程为l1：＝0.68x＋，计算其相关系数为r1，相关指数为Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)).经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回来直线的方程为l2：＝x＋0.68，相关系数为r2，相关指数为Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)).以下结论中，不正确的序号是________.①r1＞0，r2＞0②Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＞Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))③＝0.12④0＜＜0.68【解析】由图可知两变量呈现正相关，故r1＞0，r2＞0，且r1＜r2，故Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＜Req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))，故①正确，②不正确．又回来直线l1：＝0.68x＋必经过样本点的中心(3.5，2.5)，所以＝2.5－0.68×3.5＝0.12，③正确．回来直线l2：＝x＋0.68必经过样本点的中心(3，2)，所以2＝×3＋0.68，所以＝0.44，也可干脆依据图象推断0＜＜0.68(比较两直线的倾斜程度)，故④正确．答案：②8．某学校社团为调查学生课余学习围棋的状况，随机抽取了100名学生进行调查．依据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．依据已知条件作出了下面不完整的2×2列联表，则据此资料推断________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关．非围棋迷围棋迷总计男女1055总计附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有100×0.25＝25人，从而2×2列联表如下所示：非围棋迷围棋迷总计男301545女451055总计7525100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值k＝eq\f(100×（30×10－15×45）2,45×55×75×25)＝eq\f(100,33)≈3.030，因为3.030＜3.841，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关．答案：不能三、解答题(每小题10分，共20分)9．(2024·新高考全国Ⅰ卷)为加强环境爱护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得到表格：[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(1)估计事务“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)依据所给数据，完成2×2列联表：[0，150](150，475][0，75](75，115](3)依据(2)中的列联表，推断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】(1)依据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为eq\f(64,100)＝0.64.(2)依据抽查数据，可得2×2列联表：[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010(3)依据(2)的列联表得K2的观测值k＝eq\f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26)≈7.484.由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．10．某高校在A省自主招生，对初审通过的1000人进行复试，按分数从高到低录用100人认定复试通过(20道客观题，每题10分，满分200分)，不低于140分的各分数对应人数如表：分数x140150160170180人数y2915952t＝eq\f(1,x－120)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,40)eq\f(1,50)eq\f(1,60)(1)已知y关于t的回来方程为＝814.3t－11.6，求y关于x的回来方程＝x＋；(2)已知y关于x的相关系数为－0.95，试求出y关于t的相关系数r(小数点后保留两位小数)，通过比较，推断哪个回来方程拟合效果更好；(注：|r|越大，拟合性越好)(3)依据(2)中拟合性更好的回来方程，预报得分为130的考生能否全部通过复试？相关公式和数据：＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)，r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝8960，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝129000，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi≈2.31，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))≈0.0049，eq\x\to(t)＝0.029，t2＝0.000841，eq\x\to(x)＝160，eq\x\to(y)＝12，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（xi－\x\to(x)）2)≈31.6，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（ti－\x\to(t)）2)≈0.027，eq\r(\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2)≈21.4.【解析】(1)＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\x\to(x)2)＝eq\f(8960－9600,129000－128000)＝－0.64，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝12－(－0.64)×160＝114.4，所以，y关于x的回来方程是＝－0.64x＋114.4.(2)r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,)（ti－\x\to(t)）2\i\su(i＝1,5,)（yi－\x\to(y)）2))≈eq\f(2.31－1.74,0.027×21.4)≈0.99，比较相关系数：|－0.95|＜|0.99|，故y关于t的方程拟合效果更好．(3)当x＝130时，t＝eq\f(1,10)，代入回来方程＝814.3t－11.6，得预报值：＝814.3×eq\f(1,10)－11.6＝69.83，因为140分以上有60人，所以只需在130分的人中录用40人，故不能全部通过复试．【素养提升练】（20分钟35分）1．如图是九江市2024年4月至2024年3月每月最低气温与最高气温(℃)的折线统计图，已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r＝0.83，则下列结论错误的是()A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关B．月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月C．9－12月的月温差相对于5－8月，波动性更大D．每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加【解析】选D.每月最低气温与最高气温的线性相关系数r＝0.83，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性正相关，由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月，9－12月的月温差相对于5－8月，波动性更大，每月的最高气温与最低气温的平均值在前5个月逐月增加，第6个月起先削减，所以ABC正确，D错误．2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若全部样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－eq\f(1,2)旁边波动．经计算eq\i\su(i＝1,6,x)i＝12，eq\i\su(i＝1,6,y)i＝14，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝23，则实数b的值为________．【解析】令t＝x2，则曲线的回来方程变为线性的回来方程，即y＝bt－eq\f(1,2)，此时eq\x\to(t)＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)),6)＝eq\f(23,6)，eq\x\to(y)＝eq\f(\i\su(i＝1,6,y)i,6)＝eq\f(14,6)，代入y＝bt－eq\f(1,2)，得eq\f(14,6)＝b×eq\f(23,6)－eq\f(1,2)，解得b＝eq\f(17,23).答案：eq\f(17,23)3．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y＝2e2x＋1的图象旁边，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝mx＋n，则mn＝________．【解析】由题可知，ln(2e2x＋1)＝mx＋n，所以ln2＋(2x＋1)＝mx＋n，所以m＝2，n＝1＋ln2，mn＝2＋2ln2.答案：2＋2ln24．某食盐加工厂有甲、乙两条包装生产线，正常状况下生产出来每包食盐质量ξ(单位：g)听从正态分布N(μ，σ2)(单位：g)，并把质量在(μ－3σ，μ＋3σ)内的产品作为合格品，剩下的作为不合格品重新包装，两条生产线均设置μ＝500，σ＝5.现随机从这两条生产线上各抽取20件产品作为样本并称出它们的质量(单位：g)，结果如下：甲生产线：480481483484497501502502502503504504505506506508509513517518乙生产线：482483484497497499502502503504506506508508509513516517518520(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条生产线的选择有关？甲生产线乙生产线总计合格品不合格品总计附表：P(K≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k(参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)，n＝a＋b＋c＋d.)(2)乙生产线上的检验员某天随机抽取两包食盐，其质量分别为516g和519g，检验员依据抽测结果推断该生产线出现异样，要求马上停产检修，检验员的推断是否合理，请说明理由．参考公式：P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9974.【解析】(1)补充完整的2×2列联表如表所示：甲生产线乙生产线总计合格品141327不合格品6713总计202040所以K2＝eq\f(40×（14×7－13×6）2,27×13×20×20)＝eq\f(40,351)≈0.114＜2.072，故不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条生产线的选择有关．(2)检验员的推断是合理的．理由如下：因为μ＝500，σ＝5，所以P(485＜ξ＜515)＝0.9974，即合格品的概率为0.9974，而不合格品的概率为1－0.9974＝0.0026，几乎为0，但随机抽取的两包食盐质量分别为516g和519g，均属于不合格品，所以有理由认为生产线出现了异样．故检验员的推断合理．5．(2024·淄博模拟)某芯片公司为制定下一年的研发投入安排，需了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi(i＝1，2，…，12)的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令ui＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))，vi＝lnyi(i＝1，2，…，12)，经计算得如表中的数据：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\x\to(y))2eq\x\to(u)eq\x\to(v)20667702004604.20eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\x\to(u))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\x\to(u))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\x\to(v))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\x\to(x))(vi－eq\x\to(v))3125000215000.30814(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)(i)依据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回来方程(系数精确到0.01)；(ii)若下一年销售额y需达到90亿元，预料下一年的研发资金投入量x是多少亿元．附：①相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，回来直线方程＝＋x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi