2024-2025学年高考数学一轮复习专题4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点讲解理科版含解析

专题4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式【考情分析】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx．2.能利用单位圆中的三角函数线推导出eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．【重点学问梳理】学问点一同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表达式中须要利用“1”转化和积转换利用关系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ学问点二三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α【典型题分析】高频考点一三角函数的诱导公式【例1】（2024·福建省惠安三中模拟）化简：eq\f(tan（π＋α）cos（2π＋α）sin（α－\f(3π,2)）,cos（－α－3π）sin（－3π－α）)＝________．【答案】－1【解析】原式＝eq\f(tanαcosαsin[－2π＋（α＋\f(π,2)）],cos（3π＋α）[－sin（3π＋α）])＝eq\f(tanαcosαsin（\f(π,2)＋α）,（－cosα）sinα)＝eq\f(tanαcosαcosα,（－cosα）sinα)＝－eq\f(tanαcosα,sinα)＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1。【方法技巧】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可干脆将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.3．三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝coseq\f(C,2)；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(B,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq\f(C,2).【变式探究】（2024·安徽省芜湖市一中模拟）已知角α终边上一点P(－4，3)，则eq\f(cos（\f(π,2)＋α）·sin（－π－α）,cos（\f(11π,2)－α）·sin（\f(9π,2)＋α）)的值为________．【答案】－eq\f(3,4)【解析】原式＝eq\f(（－sinα）sinα,（－sinα）cosα)＝tanα，依据三角函数的定义得tanα＝－eq\f(3,4)。高频考点二同角三角函数的基本关系及应用【例2】（2024·新课标Ⅰ）已知，且，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.【变式探究】(2024·高考全国卷Ⅱ)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(5),5)【答案】B【解析】由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)，所以2sinαeq\r(1－sin2α)＝1－sin2α，解得sinα＝eq\f(\r(5),5)，故选B。【方法技巧】同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需依据角所在的象限推断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类探讨．(3)应用公式时留意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(4)留意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【变式探究】（2024·江苏省江阴高级中学模拟）已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则cos2α＋eq\f(1,2)sin2α的值是()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3【答案】A【解析】由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5得eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).故选A.高频考点三同角三角函数的基本式和诱导公式的综合应用【例3】（2024·浙江省海宁市高级中学模拟）已知f(x)＝eq\f(cos2（nπ＋x）·sin2（nπ－x）,cos2[（2n＋1）π－x])(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f(eq\f(π,2018))＋f(eq\f(504π,1009))的值．【解析】(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝eq\f(cos2（2kπ＋x）·sin2（2kπ－x）,cos2[（2×2k＋1）π－x])＝eq\f(cos2x·sin2（－x）,cos2（π－x）)＝eq\f(cos2x·（－sinx）2,（－cosx）2)＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝eq\f(cos2[（2k＋1）π＋x]·sin2[（2k＋1）π－x],cos2{[2×（2k＋1）＋1]π－x})＝eq\f(cos2[2kπ＋（π＋x）]·sin2[2kπ＋（π－x）],cos2[2×（2k＋1）π＋（π－x）])＝eq\f(cos2（π＋x）·sin2（π－x）,cos2（π－x）)＝eq\f(（－cosx）2sin2x,（－cosx）2)＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f(eq\f(π,2018))＋f(eq\f(504π,1009))＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2eq\f(1008π,2018)＝sin2eq\f(π,2018)＋sin2(eq\f(π,2)－eq\f(π,2018))＝sin2eq\f(π,2018)＋cos2eq\f(π,2018)＝1.【方法技巧】同角三角函数基本关系在求值与化简时，常用方法有(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝eq\f(sinx,cosx)进行切化弦或弦化切，如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2θ)))＝taneq\f(π,4)＝….【变式探究】（2024·黑龙江省绥化市七中模拟）已知sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)，且eq\f(π,2)＜α＜π，则eq\f(1,sin（π－α）)＋eq\f(1,cos（π－α）)的值为________．【答案】eq\f(35,12)【解析】由sinα＋cosα＝－eq\f(1,5)平方得sinαcosα＝－eq\f(12,