2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算限时规范训练含解析新人教A版选修2-1

PAGE第三章3.13.1.1基础练习1.(多选题)给出下列命题，其中正确的命题是()A.零向量没有确定的方向B.在正方体ABCDA1B1C1D1中，eq\x\to(AA1)＝－eq\x\to(C1C)C.若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反D.在四边形ABCD中，必有eq\x\to(AB)＋eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC)【答案】AB【解析】A正确；B正确，因为eq\x\to(AA1)与eq\x\to(C1C)的大小相等方向相反，即为互为相反向量，所以eq\x\to(AA1)＝－eq\x\to(C1C)；C中，|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；D中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有eq\x\to(AB)＋eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC).故选AB.2．设有四边形ABCD，O为空间随意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形【答案】A【解析】∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形．3．空间随意四个点A，B，C，D，则eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BA,\s\up6(→))【答案】D【解析】eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).4．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则用向量a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up6(→))1正确的是()A．a＋b＋c B．b－a＋cC．a＋b－c D．－a＋b－c【答案】B【解析】eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝b－a＋c.故选B．5.给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为.【答案】③【解析】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确.只有③正确.6．三棱柱ABCA1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up6(→))可用a，b，c表示为eq\o(A1B,\s\up6(→))＝________.【答案】－a＋b－c【解析】如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，且eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－a＋b－c.7．在四面体ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(AD,\s\up6(→))＝d，用b,c，d表示eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).解：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝d－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝d－c.8．已知四面体ABCD中，G为△BCD的重心．E，F，H分别为棱CD，AD和BC的中点，化简下列各式：(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解：(1)如图所示，由G是△BCD的重心知eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→)).又E，F分别为CD，AF的中点，∴EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC，则eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→)).∴eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).∴eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).实力提升9．若A，B，C，D为空间四个不同的点，则下列各式结果为零向量的是()①eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))；②2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＋3eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).A．①② B．②③C．②④ D．①④【答案】C【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))；2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＋3eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.故②④正确．10．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则()A．eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0C．eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0【答案】A【解析】eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))－eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(D1Q,\s\up6(→))－eq\o(D1P,\s\up6(→))＝0.故选A．11.已知正方体ABCDA′B′C′D′的中心为O，给出下列结论：①eq\x\to(OA)＋eq\x\to(OD)与eq\x\to(OB′)＋eq\x\to(OC′)是一对相反向量；②eq\x\to(OB)－eq\x\to(OC)与eq\x\to(OA′)－eq\x\to(OD′)是一对相反向量；③eq\x\to(OA)＋eq\x\to(OB)＋eq\x\to(OC)＋eq\x\to(OD)与eq\x\to(OA′)＋eq\x\to(OB′)＋eq\x\to(OC′)＋eq\x\to(OD′)是一对相反向量；④eq\x\to(OA′)－eq\x\to(OA)与eq\x\to(OC)－eq\x\to(OC′)是一对相反向量.其中正确结论的序号为.【答案】①③④【解析】如图所示，①eq\x\to(OA)＝－eq\x\to(OC′)，eq\x\to(OD)＝－eq\x\to(OB′)，所以eq\x\to(OA)＋eq\x\to(OD)＝－(eq\x\to(OB′)＋eq\x\to(OC′))，是一对相反向量；②eq\x\to(OB)－eq\x\to(OC)＝eq\x\to(CB)，eq\x\to(OA′)－eq\x\to(OD′)＝eq\x\to(D′A′)，而eq\x\to(CB)＝eq\x\to(D′A′)，故不是相反向量；③同①也是正确的；④eq\x\to(OA′)－eq\x\to(OA)＝eq\x\to(AA′)，eq\x\to(OC)－eq\x\to(OC′)＝eq\x\to(C′C)＝－eq\x\to(AA′)，是一对相反向量.12．如图，在四棱柱A′B′C′D′ABCD中，求证：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(DD′,\s\up6(→)).证明：如图，作向量eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→)).eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\u