2024北京北京中学八年级（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京北京中学初二（上）期中数学满分100分考试时间90分钟考生须知1.本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟．2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、座位号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（共24分，每题3分）下面1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A.清华大学 B.北京大学C.中国人民大学 D.浙江大学2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.3.如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（）.A. B. C. D.4.若正多边形的一个外角是，则该正多边形的边数为（）A. B. C. D.5.如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（）A.4 B.5 C.6 D.76.在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.7.如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（）A. B. C. D.8.如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（）A. B. C. D.二、填空题（共24分，每题3分）9.________．10.如果成立，那么________，________．11.等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为___________．12.直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图放置，∠1=85°，则∠2=____．13.在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为______．14.如图，在中，，、分别是和的角平分线，且，，则的周长是________．15.如图，在中，厘米，厘米，点为AB的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段CA上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．16.某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时经过认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是__________．三、解答题（共52分，第17－21题，每题5分，第22、23题，每题4分，第24、25题，每题6分，第26题7分）17.计算：．18.计算：．19.已知，求代数式的值．20.已知：如图，，点A为的中点，点B、A、E共线，求证：．21.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：∠B=∠C22.一个多边形的内角和与外角和的总和为1800°,求这个多边形的边数．23.如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得．小欣的作法如下：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D；③作直线CD．则直线CD即为所求．（1）根据小欣的作图过程补全图形；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，AD，BC，BD．∵，∴点B在线段CD的垂直平分线上．（_______________）（填推理的依据）∵______________，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴．24.如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)，（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；②点C的坐标是，点C关于x轴的对称点的坐标是；（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，①点A关于直线l的对称点的坐标是；②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．25.如图1，在平面直角坐标系中，点，，，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且AP与的一条边相等，则称P为的友爱点．（1）在，，中，的友爱点是________；（2）如图2，若P为内一点，且，求证：P为的友爱点；（3）直线l为过点，且与轴平行的直线，若直线上存在的三个友爱点，直接写出的取值范围．26.在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接．（1）如图1，当时，则______；（2）当时，①如图2，连接，判断的形状，并证明；②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为______，并证明．

参考答案一、选择题（共24分，每题3分）下面1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形逐一判断即可．【详解】解：A．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；B．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意；C．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；D．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2.【答案】A【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答．【详解】解：A.，故A选项计算正确，符合题意；B.，故B选计算错误，不符合题意；C.，故C选计算错误，不符合题意；D.，故D选计算错误，不符合题意．故选：A．3.【答案】D【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．直接根据“三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可解答．【详解】解：如图：∵，∴,即，∴只有D选项符合题意．故选D．4.【答案】B【分析】此题考查了多边形的内角和外角的关系，正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数即可，熟记正多边形的边数和外角的关系是解题的关键．【详解】解：∵正多边形的一个外角是，∴多边形的边数为：，故选：．5.【答案】C【分析】先求解可得从而可得答案.【详解】解：是等边三角形，，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键.6.【答案】A【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称点的规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，解答即可．【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是，故选：A．7.【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可．【详解】解：∵，∴，当时，，此时无法证明，故A符合要求；当时，，故B不符合要求；当时，则，，故C不符合要求；当时，，故D不符合要求；故选：A．8.【答案】B【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线的性质和判定得到AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案．【详解】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，∴EF＝EH，EG＝EH，∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，∴AE平分∠FAG，∵∠CAB＝30°，∴∠BAF＝150°，∴∠EAB＝75°，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD，∴∠ABE＝60°，∴∠AEB＝180°−∠EAB−∠ABE＝45°，故选B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理和角平分线的定义的正确运用．二、填空题（共24分，每题3分）9.【答案】【分析】本题考查了幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据幂的乘方和同底数幂的除法运算法则计算即可．【详解】解：，，，，故答案为：．10.【答案】①.②.【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握其性质．先根据积的乘方法则计算出等式左边的数，再与右边的数相比较即可得出结论．【详解】解：，，，，解得：，，故答案为：，．11.【答案】或【分析】分的内角是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解．【详解】解：当的内角是等腰三角形的底角时，它的顶角的度数为：；当的内角是等腰三角形的顶角时，它的底角的度数为：，符合要求；故答案为：或．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．12.【答案】【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠4，然后根据对顶角相等解答．【详解】解：解：∵∴∠3=∠1=85°，∴∠4=∠3-45°=85°-45°=40°，∴∠2=∠4=40°．故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．13.【答案】5或6或7【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数．【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则，解得，即得到的多边形是6边形，当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形，当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，综上所述，原多边形的边数为5或6或7，故答案为：5或6或7．14.【答案】【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键．由、分别是和的角平分线，得，，根据平行线的性质得出，，从而有，，则，，然后代入求值即可．【详解】解：、分别是和的角平分线，，，，，，，，，，，，的周长为，故答案为：．15.【答案】4或6【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可．【详解】解：设经过秒后，使与全等，厘米，点为AB的中点，厘米，，要使与全等，必须或，即或，解得：x=1或x=2，x=1时，，；x=2时，，；即点的运动速度是厘米/秒或厘米/秒．故答案为：或．16.【答案】2024【分析】本题考查了单项式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键，根据单项式的乘除法计算即可解答．【详解】解：∵，∴等号右边的数字依次为等号左边代数式中x，y，z的次数∵∴他输入的密码是2024．故答案为：2024．三、解答题（共52分，第17－21题，每题5分，第22、23题，每题4分，第24、25题，每题6分，第26题7分）17.【答案】0【分析】先计算同底数幂的乘法、积的乘方，再计算同底数幂的除法，最后进行合并同类项即可，此题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：18.【答案】【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．【详解】解：19.【答案】【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】，∵∴∴．20.【答案】见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，要证明，只要证明即可．【详解】证明：∵，，，点为的中点，∴，在和中，，∴，∴．21.【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】解：∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．22.【答案】十边形【详解】解：设这个多边形的边数为n，则依题意可得（n-2）×180+360=1800，解得n=10，所以这个多边形是十边形．23.【答案】（1）见解析；（2）到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；AD；【分析】（1）根据作图的作法作出图形即可求解；

（2）完连接AC，AD，BC，BD，根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可求解．【详解】解：（1）作图如图所示：（2）证明：连接AC，AD，BC，BD．∵，∴点B在线段CD的垂直平分线上．（到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据）∵AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上．∴直线AB为线段CD的垂直平分线．∴．故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；AD．【点睛】本题考查作图，垂直平分线的判定，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．24.【答案】（1）作图见解析，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P点位置见解析；③（2-m，n）【分析】（1）由A、B点坐标即可知x轴和y轴的位置，即可从图像中得知C点坐标，而的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数．（2）由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1①点是点A关于直线l的对称点，由横坐标和点A横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得坐标为（5，1）．②由①可得点A关于直线l的对称点，连接B交l于点P，由两点之间线段最短即可知点P为所求点．③设点Q（m，n）关于l的对称点为（x，y），则有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得对称点（2-m，n）【详解】（1）平面直角坐标系xOy如图所示由图象可知C点坐标为（1，2）点是C点关于x轴对称得来的则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数即点坐标为（1，-2）．（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1①A点坐标为（-3，1），关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变则为坐标为（5，1）②连接①所得B，B交直线x=1于点P由两点之间线段最短可知为B时最小又∵点是点A关于直线l的对称点∴∴为B时最小故P即为所求点．③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）有（m+x）÷2=1，y=n即x=2-m，y=n则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2即对称点坐标为（2-m，n）．【点睛】本题考查了坐标轴中的对称点问题，熟悉坐标点关于轴对称的坐标变换，结合图象运用数形结合思想是解题的关键．25.【答案】（1）P1、P2；（2）见解析；（3）0＜m＜2【分析】（1）根据A（x1，y1）、和B（x2，y2）之间的距离公式AB=以及友爱点定义解答即可；（2）由题意易知∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，进而可求得∠PAC=∠OCP=30°，则可得出∠ACP=∠APC=75°，根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；（3）由题意，△ABC在友爱点P满足AP=BP或AP=PC或AP=BC=AC三种情况，分别讨论求解即可．【详解】解：（1）∵点，关于y轴对称，点在y轴上，∴AP1=BP1，故P1是的友爱点；∵AP2=，CP2=，∴AP2=CP2，故P1是的友爱点；∵AP3=，CP3=，BP3=，BC=，∴故P3不是的友爱点，综上，的友爱点是P1、P2，故答案为：P1、P2；（2）∵点，，，∴OA=OB=OC，AC=BC，∠BOC=90°，∴∠OAB=∠OCA=∠OCB=45°，∵，∴∠PAC=∠OCP=30°，∴∠ACP=45°+30°=75°，∴∠APC=180°－∠PAC－∠ACP=180°－30°－75°=75°，∴∠ACP=∠APC，∴AP=AC=BC，∴P为的友爱点；（3