专题06 三角恒等变换与解三角形（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）（含答案解析）

专题06三角恒等变换与解三角形目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 2考点精讲讲练 3考点一：利用三角恒等变换公式求值 3考点二：三角恒等变换与三角函数综合 6考点三：利用正余弦定理解三角形 9考点四：正余弦定理的实际应用 13实战能力训练 16明晰学考要求1、了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导过程；2、能利用两角差与和的余弦、正弦、正切公式进行求值、计算；3、能利用余弦、正弦、正切的二倍角公式求值、计算；4、了解正弦定理，能利用正弦定理解三角形；5、了解余弦定理，能利用余弦定理解三角形；6、能利用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题.基础知识梳理1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式（1）两角和与差的余弦公式：简记公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；（2）两角和与差的正弦公式简记公式S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβS(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ（3）两角和与差的正切公式简记符号公式使用条件T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)2、二倍角公式（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝2sinαcosαC2αcos2α＝cos2α－sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（2）注意余弦的二倍角公式的逆用：1-2sin2α=cos2α，2cos2α-1=cos2α，1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α等.3、辅助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ).其中tanφ＝eq\f(b,a)，φ所在象限由a和b的符号确定.4、正弦定理（1）正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC的外接圆的半径).（2）正弦定理变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).5、余弦定理（1）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.（2）推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).考点精讲讲练考点一：利用三角恒等变换公式求值【典型例题】例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简，得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逆用余弦函数的和差公式即可得解.【详解】.故选：C.例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用二倍角公式即可求解.【详解】，故选：B例题3．（2023高三·江苏·学业考试）在中，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，，，解得.故选：D例题4．（2024高三上·江苏南京·学业考试）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】化简得,再根据充分、必要条件的知识判断即可.【详解】因为,所以，解得.所以“”是“”的充要条件.故选：C.【即时演练】1．（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案.【详解】.故选：C2.的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正切的和角公式，计算即可.【详解】．故选：D3．（2024江苏省扬州市学业水平考试模拟）已知，且，则的值为（）A．-7 B．7 C．1 D．-1【答案】B【分析】由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得，再由两角和的正切公式，将代入运算即可.【详解】解：因为，所以，即，又，则，解得=7，故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.4.已知角是第一象限角，，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据同角三角函数基本关系及两角和余弦公式求解即可.【详解】因为角是第一象限角，，所以，所以.故选：B考点二：三角恒等变换与三角函数综合【典型例题】例题1．（2024·江苏省扬州市学业水平考试模拟）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期.【详解】因为，所以该函数的最小正周期.故选：.例题2．函数的最大值是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数性质作答即可.【详解】，所以当，即，即，时，取得最大值.故选：C.例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的最大值为4，则正实数的值为（

）A． B．2 C．或2 D．2或【答案】B【分析】利用三角恒等变换的知识化简，根据二次函数的性质求得正数的值.【详解】.令，则，，开口向下，对称轴为，当时，则，无解.当时，则.综上所述，的值为.故选：B.【即时演练】1．函数，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式化简函数为，根据正弦型函数的最值可求得结果.【详解】，当，即时，取得最大值.故选：D.2．若函数的最大值为，则，的一个对称中心为【答案】（答案不唯一）【分析】根据辅助角公式对函数进行化简，再根据最大值求出A，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由，其中，又函数的最大值为，则，又，则，，不妨取，故，则的对称中心满足，，解得，，即的对称中心为，，则的一个对称中心可为：，故答案为：，（答案不唯一）3.已知函数.(1)求的值；(2)设，求的单调递增区间.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用余弦的倍角公式化简，再直接代入自变量即可得解；（2）利用辅助角公式化简，再利用整体代入法，结合正弦函数的单调性即可得解.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，令，得，所以的单调递增区间为.考点三：利用正余弦定理解三角形【典型例题】例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）在中，边长，则边长（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理得即，解得，故选：B.例题2．（2023·江苏徐州·学业考试）在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理化角为边，然后由余弦定理计算即可得角．【详解】∵，由正弦定理得，设，则，又是三角形内角，∴．故选：C．【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题是用正弦定理化角为边．属于基础题．例题3．（2024高三上·江苏南京·学业考试）在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】根据给定条件，确定角的大小，再利用和角的正切及整数条件求出，然后利用同角公式、正弦定理及向量数量积的运算律求解即得.【详解】在中，由，得，即，则，由为整数，得，，，整理得，而，且均为整数，则，由，解得，由，解得，由正弦定理得，则，由D为AC中点，得，则，所以.故选：D【点睛】关键点点睛：解决本问题的关键是求出的值，再转化为解三角形问题.例题4．（2024·江苏省扬州市学业水平考试模拟）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为，已知.（1）求B；（2）若的周长为的面积.【答案】（1）

(2)【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出B的值；（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【详解】（1）,，,，.,.(2)由余弦定理得，，，，.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用．【即时演练】1．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理可求，从而可求.【详解】由正弦定理可得，故，因为，故，故为锐角，故，故选：A.2.在中，内角所对的边分别是．若，，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦定理公式和面积公式直接求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，，，所以，.故选：C.3．在中，已知(1)求角(2)若，求边的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解；（2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解.【详解】（1）由，得到，所以，又，则，得到，所以.（2）由正弦定理知，又，所以，，由，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，其中，，则，解得，所以边的取值范围为.考点四：正余弦定理的实际应用【典型例题】例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求得正确的.【详解】依题意，所以.故选：D例题2．（2023高三·江苏·学业考试）两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北方向行驶，另一艇以的速度向北偏东（）角的方向行驶.若经过，两艇相距，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，再利用余弦定理即可得解.【详解】如图，设点为出发点，点为的船后到达的点，点为的船后到达的点，则，则，又因，所以.故选：C.例题3．为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中，利用正弦定理求出，再解求出，即可得解.【详解】在中，，由正弦定理得，所以，，在中，，所以，即此建筑物的高度是.故选：A.【即时演练】1．某飞机在空中沿水平方向飞行，飞行至处飞行员观察地面目标测得俯角为30°，继续飞行800（单位：米）至处观察目标测得俯角为60°．已知在同一个铅垂平面内，则该飞机飞行的高度为（

）A．400 B． C．800 D．【答案】B【分析】根据题意，过点作于点，可得，在中解三角形可得解.【详解】如图，过点作于点，，，，，在中，.故选：B.2.如图，一艘船向正北航行，航行速度为每小时30海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S的距离为（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】求出中的边的长，求得,利用正弦定理即可求得答案.【详解】由题意得，在中,，，,由正弦定理有代入数据得,解得（海里），故选：A．3．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理直接求解即可.【详解】由余弦定理得：，.故选：C.实战能考点精讲讲练力训练1.若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：C2.的内角的对边分别为，c．若，．，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得，解得，故选：D.3.已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用两角和的正切公式求出，然后用倍角公式化简，再用弦化切求解.【详解】因为，所以，可得，又.故选：A．4.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东的方向，灯塔B在观察站C的南偏东的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由题意可知,由余弦定理可得，故选：D5.中，角，，，的对边分别为，，，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由余弦定理可直接求出.【详解】由余弦定理得，.故选：C.6.已知，，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先利用二倍角的正切公式求出，再利用两角和的正切公式求.【详解】,.故选：D.