专题14导数概念及运算-2024年数学高频考点重点题型

专题14导数概念及运算一、核心体系导数eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(导数的概念,导数的几何意义,导数的基本运算))二、关键能力1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．三、教学建议从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.四、高频考点知识点1．导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．知识点3．函数在处的导数几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．五、重点题型题型一、求导运算例11(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq\f(e,4)，则a＝________.【答案】1注：（常见函数及它们的和差积商的求导）【解析】f′(x)＝eq\f(x＋a－1ex,x＋a2)，则f′(1)＝eq\f(ae,a＋12)＝eq\f(e,4)，解得a＝1.例12设函数f(x)＝lneq\r(1＋2x).，则f′(x)=注：（复合函数求导）【解析】因为y＝lneq\r(1＋2x)＝eq\f(1,2)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2x))，所以y′＝eq\f(1,2)·eq\f(1,1＋2x)·(1＋2x)′＝eq\f(1,1＋2x).例13.已知函数，则（）A． B． C．6 D．14【答案】C注：（理解f′(x0)与f(x)区别与联系）【解析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值.【详解】，则，则，故选：C例14.（2023·陕西咸阳）英国数学家布鲁克·泰勒（BrookTaylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（

）A．0.50 B． C． D．0.56【答案】B【分析】先化简，根据题意得到的泰勒展开式，求得的值，即可求解.【详解】由三角恒等变换的公式，化简得，又由，可得，所以.故选：B.训练题组1.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.【答案】e【解析】由题意得f′(x)＝exlnx＋ex·eq\f(1,x)，则f′(1)＝e.2．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)＝()A．－sinx－cosx B．sinx－cosxC．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx【答案】C【解析】∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.3.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lneq\f(1,x)，则f(1)＝()A.－e B.2 C.－2 D.e【解析】由已知得f′(x)＝2f′(1)－eq\f(1,x)，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.考点二、求切线方程例21（2020·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（）A.B.C. D.【答案】B注：（已知切点的切线问题）【解析】因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f(1)＝－1.所以f′(1)＝－2.因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.例22（2022·全国·统考高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】注：（不知切点的切线问题）【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；[方法二]：根据函数的对称性，数形结合当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为：所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.[方法三]：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；.训练题组1.已知曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．【解析】，将代入得，故选D．2．曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.【答案】1【解析】先求出的导函数，则，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.【详解】，则则切线方程为，代入原点可得：，即，解得（负根舍去）故答案为：13.已知函数，点为函数图象上一动点，则到直线距离的最小值为___________.(注)【答案】【解析】求出导函数，利用导数的几何意义求出切线与已知直线平行时切点坐标，然后转化为求点到直线的距离即可求解．【详解】解：，，与直线平行的切线斜率，解得或，当时，，即切点为，此时点到直线的距离为；当时，，即切点为，此时点到直线的距离为，故答案为：.4.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（e，1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____，切线方程为【答案】y=1e注：（不知切点的切线问题）【解析】设点，则.又，当时，，点A在曲线上的切线为，即，代入点，得，即，考查函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.考点三、两只曲线的公切线问题例31.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】注（两函数的公切线）【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.例32（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D注（与圆锥曲线的公切线）【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D.例33．（2023·湖北省模拟预测）已知函数与，若曲线和恰有一个公切点，则的最小值是．【答案】注：两曲线的相切【分析】设出公切点，利用和在公切点处函数值和导函数值分别相等，得到的表达式，求出最大值即可.【详解】，.设公切点为，则，，即.因此，其中，因为，所以为第一象限的角；不妨设，因为，所以，当且仅当时，取到最小值，所以的最小值是，且有唯一解.故答案为：.训练题组1.与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.【详解】因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，设直线与曲线相切的切点，而，则，得，即直线过点(1，0)，方程为y=3x3，设直线与曲线相切的切点P，有，由得，从而有点，而点P在直线：y=3x3上，即，解得.故选：D2.过引抛物线的切线，切点分别为A，.若的斜率等于2，则（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，再代入点M，得到A，均满足得到一元二次方程，即得到直线的方程和斜率，结合斜率为2解得参数即可.【详解】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即，同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，故.故选：C.考点四、切线的探究例41（2022·全国·统考高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】注（探究切线条数）【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：例42（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（）A． B．C． D．【答案】D注（探究切点）解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.例43.已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2【答案】B注（切点延续探究）【解析】因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，所以f′(x)＝2x＋2，所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，所以f′(x1)f′(x2)＝－1.所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，所以x2－x1＝eq\f(1,2)[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥eq\r(－（2x1＋2）（2x2＋2）)＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－eq\f(3,2)，x2＝－eq\f(1,2)时等号成立．所以x2－x1的最小值为1.故选B.训练题组1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是.【答案】【分析】设切点，求导得切线方程，进而根据过点，将问题转化为方程有两个不相等实根，得韦达定理，进而构造函数或，由导数求解单调性即可求解范围.【详解】设切点，则切线方程为，又切线过，则，有两个不相等实根，其中或，令或，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，，，当时，，当时，，所以，即.故答案为：2.函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是()A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.在上有解，则.因为，所以，所以的取值范围是.3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设切点为，利用导数的几何意义，求得切线方程，根据切线过点，得到，设，求得，得出函数单调性和极值，列出方程组，即可求解.【详解】设切点为，由函数，可得，则所以在点处的切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，设，所以，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，要使得过点可作曲线的三条切线，则满足，解得，即的取值范围是．故选：C．考点五、切线的综合应用例51.在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.【答案】注（与解析几何的综合考察）【解析】设出M的坐标，求出切线斜率，利用斜率公式求出的坐标，根据圆的性质建立方程进行求解即可.【详解】设，抛物线的焦点坐标，如图，过，，三点的圆的圆心为，圆心的纵坐标为，设，直线与抛物线相切于点，导数，即在处的切线斜率，即的斜率，即，即，得，即，，，，即，得，得或（舍，解得．，，，，即的坐标为，，故答案为：，．例52.设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2017＝A． B． C． D．【答案】D注（与数列的综合考察）【解析】由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2017＝.选D.例53.（2023·山东）若，则.【答案】【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子计算即可.【详解】已知，对式子两边同时求导，得，令，得.故答案为：240训练题组1.焦点为的抛物线：的准线与轴交于点，点在抛物线上，则的取值范围是___________.【答案】【分析】作垂直准线于，根据抛物线的定义可得，当与抛物线相切时，最小，再运用导函数，求得切线的斜率，由此可得范围.【详解】作垂直准线于，，不妨在第一象限取点，当与抛物线相切时，最小，设切点为，由得，可知，又，得，得，又，所以，，所以切线，，所以，所以；故答案为：.2.已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是A．B．C． D．【答案】C【分析】先求导数，解出f'（x）=0的所有正数解x，求得数列{xn}．从而可证明数列{f{xn}}为等比数列．进而求出数列的通项公式．【详解】f'（x）=ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）=2exsinx．

由f'（x）=0，得2exsinx=0．

解出x=nπ，n为整数，从而xn=nπ，n=1，2，3，．

所以数列{f{xn}}是公比q=eπ的等比数列，且首项f（x1）=q=eπ．其通项公式为．故选C.【点睛】本小题主要考查．函数求导，等比数列证明．是对知识的综合性考查，能力要求较高．3．（2023·安徽安庆一中）（多选题）已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为，则下列说法正确的有（

）A． B．C．若，则 D．与的交点可能在第三象限【答案】ABC【分析】根据反函数的性质可得公切线关于对称，即可得到，利用诱导公式证明A，利用诱导公式及基本不等式证明B，利用导数的几何意义说明C，结合函数图象说明D.【详解】如图，因为与互为反函数，故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称，故，，故A正确；由题意，，均为锐角，，，，当且仅当，即时取等号，故B正确；设与两个函数图象分别切于，两点，与交于Q，，则，即，解得或（舍去），故，对于，则，令，解得，所以切点为，所以曲线的斜率为的切线方程为，故曲线的斜率为的切线方程为，同理可得的斜率为的切线方程为，故曲线的斜率为的切线方程为，所以，则，则，故C正确；由图可知点必在第一象限，故D错误.

故选：ABC.4．(多选)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数的是()A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝－xe－x解析：ABC对于A，由f(x)＝sinx＋cosx，得f′(x)＝cosx－sinx，则f″(x)＝－sinx－cosx＝－(sinx＋cosx)，因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f″(x)＝－sinx－cosx＝－(sinx＋cosx)<0，所以此函数是凸函数；对于B，由f(x)＝lnx－2x，得f′(x)＝eq\f(1,x)－2，则f″(x)＝－eq\f(1,x2)，因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f″(x)＝－eq\f(1,x2)<0，所以此函数是凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋2x－1，得f′(x)＝－3x2＋2，则f″(x)＝－6x，因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f″(x)＝－6x<0，所以此函数是凸函数；对于D，由f(x)＝－xe－x，得f′(x)＝－e－x＋xe－x，则f″(x)＝e－x＋e－x－xe－x＝(2－x)e－x，因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以f″(x)＝(2－x)e－x>0，所以此函数不是凸函数，故选A、B、C．考点六：导数的概念例61.已知函数，若，则（）A．36 B．12 C．4 D．2【答案】C【解析】根据函数在处的导数的定义将变形为即可求解.【详解】解：根据题意，，则，则，若，则，则有，即，故选：C.例62.（2023·全国·高三专题练习）设函数在处存在导数为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数的定义可得出所求极限的值.【详解】.故选：B.训练题组1.若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为，所以，选B；法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为，所以（其中：），故选B.2．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2022－ln2021≈________．答案：y＝xeq\f(1,2021)解析：函数f(x)＝ln(1＋x)，则f′(x)＝eq\f(1,1＋x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，∴切线方程为y＝x．∴ln2022－ln2021＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2021)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))，根据以直代曲，x＝eq\f(1,2021)非常接近切点x＝0．∴可以将x＝eq\f(1,2021)代入切线近似代替feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))≈eq\f(1,2021)．巩固训练一、单选题1．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数为y＝h(t)＝eq\f(100,2t＋1)，当t＝3时，水面下降的速度为()A．－eq\f(200,49)cm/sB．eq\f(200,49)cm/sC．－eq\f(100,49)cm/s D．eq\f(100,49)cm/s解析：B由题意得，h′(t)＝eq\f(－1002t＋1′,2t＋12)＝eq\f(－200,2t＋12)，所以h′(3)＝eq\f(－200,2×3＋12)＝－eq\f(200,49)，故当t＝3时，水面下降的速度为eq\f(200,49)cm/s，故选B．2．设某商品的需求函数为Q＝100－5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性eq\f(EQ,EP)大于1，其中eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P，Q′是Q的导数，则商品价格P的取值范围是()A．(0,10)B．(10,20)C．(20,30)D．(20，＋∞)解析：B根据题意得eq\f(EQ,EP)＝－eq\f(Q′,Q)P＝－eq\f(－5P,100－5P)＝eq\f(P,20－P)，由eq\f(EQ,EP)>1得eq\f(P,20－P)－1>0，即eq\f(2P－20,20－P)>0，解得10<P<20．故选B．3．(2022·内江期末)曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝()A．0B．2C．－2 D．－1解析：C设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,－2k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝2，))所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此，f′(1)－f(1)＝1－3＝－2．故选C．4．(2022·青岛模拟)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2022(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析：C∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2022＝4×505＋2，∴f2022(x)＝f2(x)＝cosx－sinx．故选C．5．（2021年全国高中名校名师原创预测卷新高考数学（第三模拟））已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】B【分析】分别表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换即可.【详解】已知曲线在点处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，由题意得，得，，则.又，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题需要表示出两条切线方程，然后比较系数，再进行代换，在代换过程中要尽量去消去指数和对数，朝目标化简.6．（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中高三月考（理））已知函数的导函数为，记，．若，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过计算、、、、，可得、、、，最后计算可得结果.【详解】解：，则，，，，，所以猜想：，，，，由，，所以，，，故选：D．【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，属于中档题.7．（2020·安徽高三其他模拟（文））记分别为函数的导函数.若存在x0∈R，满足f(x0)=g(x0)且，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“真实点”，若函数与有且只有一个真实点"，则实数a的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】与有且只有一个真实点"，则f(x0)=g(x0)且的方程只有一个解，即，结合即可求解．【详解】由函数，，得，，设x0为f(x)与g(x)的“真实点”，由f(x0)=g(x0)且，得，即，得，由于函数与有且只有一个“真实点”，从而只有一解，故，解得b=0，此时，．故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键在于由与有且只有一个真实点"，转化为方程有唯一解问题．8．（2021·辽宁）已知函数．若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（2,0）代入得到，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.【详解】，设切点坐标为（），则切线方程为，又切线过点（2,0），可得，整理得，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足，解得或，故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，运用了转化思想，将切线的条数转化为方程的根的个数.二、多选题9．已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是()A．f′(3)>f′(2)B．f′(3)<f′(2)C．f(3)－f(2)>f′(3)D．f(3)－f(2)<f′(2)解析：BCDf′(x0)的几何意义是f(x)在x＝x0处的切线的斜率．由题图知f′(2)>f′(3)>0，故A错误，B正确．设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则f(3)－f(2)＝eq\f(f3－f2,3－2)＝kAB，由题图知f′(3)<kAB<f′(2)，即f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故C、D正确．10．(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是()A．f(x)＝x2B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝tanx解析：AC若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝lnx，则f′(x)＝eq\f(1,x)，令lnx＝eq\f(1,x)，在同一直角坐标系内作出函数y＝lnx与y＝eq\f(1,x)的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tanx，则f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(1,cos2x)，令tanx＝eq\f(1,cos2x)，化简得sinxcosx＝1，变形可得sin2x＝2，无解，故D不符合要求．故选A、C．11．（2020·山东高三二模）已知，，记，则A．的最小值为 B．当最小时，C．的最小值为 D．当最小时，【答案】BC【分析】将视为曲线上的点到直线上的点的距离的平方，利用曲线在点上的切线平行于直线可求得点的坐标，利用点到直线的距离公式可求得的最小值，联立过点且与直线垂直的直线与直线的方程，可求得的值，综合可得出结论.【详解】由，得：，的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，由得：，与直线平行的直线的斜率为，则令，解得：，切点坐标为，到直线的距离.即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为.的最小值为，过与垂直的直线为，即.由，解得：，即当最小时，.故选：BC.【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）之间存在函数关系，其中（R为常数）．若空气中一氧化碳浓度不高于0．5ppm为正常，人就可以安全进入车库了，则（）A．B．C．排气12分钟后，人可以安全进入车库D．排气32分钟后，人可以安全进入车库【答案】BD【分析】由题意可设，再由已知列关于，的方程组，求出判断A与B；进一步求出的解析式，由求得的范围判断C与D．【详解】由题意可设，则，此时为常数，由，得，则，即，，故A错误，B正确；把代入，得，又，，由，得．至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态，则C错误，D正确．故选：BD三、填空题13．(2022·南平二模)请写出与曲线f(x)＝x3＋1在点(0,1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝________．解析：f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，曲线f(x)＝x3＋1在点(0,1)处的切线方程为y＝1，所有在点(0,1)处的切线方程为y＝1的函数都是正确答案．答案：x2＋1(答案不唯一)14．已知曲线在，，两点处的切线分别与曲线相切于，，则的值为【答案】2【分析】根据相切得到切点的横坐标满足的代数式，据此构建方程，从而得到两根的关系，故可得正确的选项.【详解】由题设有，化简可得即，整理得到，同理，不妨设，令，因为当时，均为增函数，故为增函数，同理当时，故为增函数，故分别为在、上的唯一解，又，故，故为在的解，故即.所以，【点睛】用导数求切线方程常见类型：(1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：；(2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标，再写出切线方程：四、解答题15．(1)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程；(2)已知f(x)在R上可导，F(x)＝f(x3－1)＋f(1－x3)，求F′(1)的值．解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋2．设切线的斜率为k．可知原点在曲线上．①当切点是原点时，k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x．②当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)(x0≠0)，则有y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2， (ⅰ)又因为k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2． (ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)得x0＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,4)．所以所求曲线的切线方程为y＝－eq\f(1,4)x．综上，所求曲线的切线方程为y＝2x或y＝－eq\f(1,4)x．(2)由题知F′(x)＝3x