人教版初中数学8年级下册全册教学课件

16.1二次根式八年级下册RJ初中数学课时1（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？

知识回顾2.如果x2=9，那么x=

.

4.如果x2=-5，那么实数x

.5.如果x2=a(a≥0)，那么x=

.1.13的平方根是

，13的算术平方根是

.知识回顾3.如果x2=0，那么x=

.

±3无解

0

正数有两个平方根，它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.2.利用二次根式的概念解决具体问题.学习目标圆形喷泉的面积为70πm²,那么它的半径是多少？这个式子有什么特点呢？

课堂导入思考

用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么共同特点：（1）面积为3的正方形的边长为

，面积为

S的正方形的边长为

.

（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为

m.

新知探究（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间

t（单位：s），与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有

h的式子表示t，那么

t为

.

新知探究

共同特点是被开方数为非负数，根指数为2.

二次根号被开方数读作:根号a知识点1：二次根式的定义新知探究a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等

跟踪训练新知探究

题中被开方数m-5,mn,-5是负数，不是二次根式

解：由x2≥0可知，x可以为任意实数.由x3≥0可知，x≥0.知识点2：二次根式有意义的条件新知探究

被开方数为非负数

分母不能为0更多同类练习见《教材XX》数学RJ八下16.1节新知课

当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

跟踪训练新知探究被开方数为非负数分母不能为0

当二次根式的被开方数出现完全平方公式或能配方成完全平方公式时，其中所含字母取任意实数，二次根式在实数范围内都有意义.随堂练习1.

下列式子中一定是二次根式的是（

）

C

A.x≥4B.x>4

C.x≤4D.x<4D

二次根式概念含有二次根号

被开方数为非负数有意义的条件

课堂小结注意隐含条件：分式的分母不能为0.

拓展提升注意：观察题目的形式，要同时满足两个根号中的式子为非负数，才能使得其在实数范围内有意义.

注意：观察题目的形式，要注意分式的分母不能为0.

注意：观察题目的形式，无论a为何值，a2都是非负数.所以a2+5也为非负数.

解：由题意，得3a-6≥0，2-a≥0，解得a≥2，a≤2，∴a=2，∴b=4.∵2+2=4，∴2,2,4不能组成三角形,∴此三角形的周长为2+4+4=10.

B

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16.1二次根式八年级下册RJ初中数学课时2（1）什么叫二次根式？如何表示？（2）二次根式有意义的条件是什么？

知识回顾

判断二次根式在实数范围内有意义，就要让根号里面的数（式子）满足≥0的条件，本题还要注意分式中分母不为0这个条件.

1.了解并掌握二次根式的性质.2.利用二次根式的性质解决具体问题.学习目标

课堂导入

知识点1：二次根式的性质新知探究

文字表述：一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身.

性质3

-a（a<0），

a（a≥0）

文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

解：（1）原式=1.5.

（2）原式=5.

-a（a<0）a（a≥0）

跟踪训练新知探究

熟练掌握二次根式的性质2和性质3.定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.知识点2：代数式新知探究注意：（1）代数式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等关系符号，单独一个数或者字母也是代数式；代数式的书写规定：（1）数与字母相乘或字母与字母相乘,通常将乘号写作“·

”或者省略不写.如a×b通常写作a·b或ab.（2）数与字母相乘时，通常把数写在前面.

（3）数字因数是

1或-1时，“1”常省略不写.

如-1×a通常写作-a.

（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式.（2）公式法：根据数学相关的公式（面积或体积等）列出代数式.（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.列代数式的常用方法：1.列代数式：一个三角形的面积为S，底边长为a，则底边上的高为多少？

跟踪训练新知探究2.用代数式表示：（1）面积为S的圆的半径；

更多同类练习见《教材XX》数学RJ八下16.1节方法帮（2）面积为S且两条邻边的比为3：2的长方形的长和宽.解：设长方形的长为3x，则宽为2x.

1.下列式子中正确的是（）.

B随堂练习

注意π与3的大小比较二次根式性质二次根式的双重非负性代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.

课堂小结解：根据数轴显示，a的取值范围是2<a<5.

∴

a-2>0，a-5<0.

02a5

拓展提升∴原式=

|a-2|+|a-5|=

a-2+5-a=3.

∴(a+b)2020=（-2+1）2020=1.∴

a+2b=0,解得a=-2,

a-b+3=0,b=1,

由题意可得：2x-3≥0，即2x≥3，所以1-2x<0.

所以原式=2x-1-2x+3=2.

a3120-1-2b

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16.2二次根式的乘除八年级下册RJ初中数学课时1二次根式的性质1：二次根式的双重非负性文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数.

知识回顾表示：（a≥0），二次根式的被开方数非负

≥0，二次根式的值非负

二次根式的性质2：（a≥0）.

文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.

性质3：

-a（a<0）,

a（a≥0）.

代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.当a,x取怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？（1）;

解：（1）由题意可得，得-5≤a≤1,

a+5≥0，1-a≥0，

所以当-5≤a≤1时，上述式子在实数范围内有意义.1.掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根.2.熟练进行二次根式的乘法计算和二次根式的化简.学习目标探究：计算下列各式.（1）=

，=

；（2）=

，=

；（3）=

，=

；2×3=64×5=205×6=30观察结果，你发现了什么规律？课堂导入

文字表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

前提条件知识点1：二次根式的乘法法则新知探究

发现：系数相乘根式相乘系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.

（1）（2）二次根式的乘法法则的推广例1计算：（1）

（2）

解：（1）

=3.更多同类练习见RJ八下《教材XX》16.2节新知课

跟踪训练新知探究

.

文字表述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.

注意：此公式成立的条件是a≥0，b≥0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.知识点2：二次根式乘法法则的逆用新知探究

例2

化简：解：

在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.

1.计算：（1）（2）

跟踪训练新知探究

1.计算：

随堂练习

解：

带分数化为假分数2.化简：

二次根式的乘法法则法则逆用

课堂小结1.下列计算正确的是（）.

A.

B.

C.

拓展提升

D.

解：

1.下列计算正确的是（）.

A.

B.

C.

D拓展提升

D.

2.当x在实数范围内满足什么条件时，

有意义？

解：根据题意，同时满足x≥0,x-2≥0,解得x≥2.3.化简与计算：（1）;（2）

注意：在对多项式进行化简时，可以先将能够开方的字母提取出来。

A谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16.2二次根式的乘除八年级下册RJ初中数学课时2二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

知识回顾二次根式的乘法法则的逆用：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.

符号表示：

计算：（1）（2）解：（1）

1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根.2.熟练进行二次根式的除法计算.学习目标探究：计算下列各式.（1）=

，=

；（2）=

，=

；（3）=

，=

.

课堂导入

观察结果，你发现了什么规律？

文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

知识点1：二次根式的除法法则新知探究发现：

；

前提条件注意：b作为分母不能为0.系数相除根式相除系数的商作为结果的系数，根式的除法按照除法法则计算.

二次根式的除法法则的推广（1）（1）二次根式除法法则中的a，b，既可以是一个数，也可以是其他代数式.（2）被开方数若是带分数，应先化为假分数，再应用公式化简.（3）在二次根式的计算中，最后的结果中被开放数应不含有能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母，同时分母中不含二次根式.注意：例1计算：（1）（2）解：（1）

（3）（4）解：（3）

（4）

注意：先将带分数转化为假分数再进行运算.

符号表示：文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

知识点2：二次根式除法法则的逆用新知探究

（a≥0，b>0）.注意：此公式成立的条件是a≥0，b>0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.1.二次根式除法法则的逆用也称为商的算术平方根的性质.2.公式中的a,b既可以是一个数，也可以是其他代数式.3.利用商的算术平方根的性质可以对被开方数中含有分母的二次根式进行化简，化成被开方数不含分母的二次根式.说明：例2化简：（1）（2）解：（1）

（2）

化简：（1）;

（2）

解：（1）

（2）

跟踪训练新知探究

计算：（1）（2）解：（1）

（2）

随堂练习

（3）（4）解：（3）

（4）

二次根式的除法法则法则逆用（a≥0，b>0）

（a≥0，b>0，c>0）（a≥0，b>0）课堂小结

1.使得等式有意义的a的取值范围是什么？

拓展提升

解：根据二次根式的除法法则可得

a-7≥0，a-3>0，解得a≥7.所以使得等式有意义的a的取值范围是a≥7.

更多同类练习见RJ八下《教材XX》16.2节XX2.计算：注意：按照从左到右的顺序，先把除法转化成乘法，再根据二次根式的乘法法则进行计算.

提示：带分数要先化成假分数3.化简与计算：

A谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16.2二次根式的乘除八年级下册RJ初中数学课时3文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

拓展：

知识回顾二次根式的除法法则：

文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

注意：此公式成立的条件是a≥0，b>0.实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.二次根式的除法法则的逆用：（a≥0，b>0）.

计算：（1）；（2）方法二

解:(1)方法一

;解：（2）

计算：

；1.理解并掌握最简二次根式的概念.2.熟练将二次根式化简为最简二次根式.学习目标课堂导入

对比上面二次根式化简前后的结果，被开方数发生了什么变化呢？最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

知识点：最简二次根式新知探究即被开方数必须是整数（式）注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.解：∵

S=ab，

例设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=，b=，求a.

化简二次根式的一般方法

1.将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方.

2.化去根号下的分母

①若被开方数中含有带分数，应先将带分数化为假分数.

②若被开方数中含有小数，应先将小数化为分数.

3.被开方数是多项式的要先进行因式分解.

二次根式化成最简二次根式的步骤

分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的幂的乘积的形式.移：把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替，移到根号外，当把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意依旧写在分母的位置上.化：化去被开方数中的分母.约：约分，化为最简二次根式.1.判断:

下列各式中，哪些是最简二次根式？

（1）（2）（3）（4）跟踪训练新知探究

2.化简：

将下列各式化简为最简二次根式.

（1）（2）

解：（1）∵，

∴

a≥0.

（2）

（3）（4）解：（3）

（4）

2.化简：

将下列各式化简为最简二次根式.

1.下列二次根式中，最简二次根式是（）.

A.

B.

C.D.

A

含有能开得尽方的因式被开方数含有分母含有能开得尽方的因数随堂练习

2.把下列二次根式化成最简二次根式.

（1）

；（2）（3）；（4）解：（1）

（2）

（3）

（4）

3.设长方形的面积为S，相邻两边的长分别为a，b.已知S=16，b=，求a.

解：∵S=ab，

最简二次根式定义化简步骤被开方数不含分母.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.分、移、化、约.课堂小结

拓展提升2.将下列式子化简成最简二次根式.

注意：要根据a

的取值范围判断b

的取值范围.

.

.3.如果，那么a的取值范围是什么？

∵

a+1≥0，综上，a的取值范围是-1≤a≤0.∴a≥-1.

更多同类练习见RJ八下《教材XX》16.2节方法帮谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16.3二次根式的加减八年级下册RJ初中数学课时1最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

知识回顾二次根式化成最简二次根式的1.分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的幂的乘积的形式.2.移：把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替，移到根号外，当把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意依旧写在分母的位置上.3.化：化去被开方数中的分母.

4.约：约分，化为最简二次根式.下列二次根式中，最简二次根式是（）

C

将下列二次根式化成最简二次根式：

当小数无法开方时，将它转化为分数.

1.掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法.2.熟练运用二次根式的加、减运算法则进行计算.学习目标化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点？

第二组被开方数都是x第一组被开方数都是3课堂导入

同类二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式.

合并的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律的逆向运用.

知识点1：同类二次根式新知探究

B跟踪训练新知探究

化简成最简二次根式以后再去找同类二次根式，故本题只有B选项符合题意.问题现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？

7.5dm5dm18dm28dm2面积为8dm2

和18dm2的正方形的边长分别是多少？

两个正方形的边长和小于木板的长，所以可以用这块木板截出面积为8dm2

和18dm2的两个正方形.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

知识点2：二次根式的加减新知探究注意：（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.二次根式加减运算的一般步骤1.化：将每个二次根式都化成最简二次根式；2.找：找出被开方数相同的二次根式；3.合：将被开方数相同的二次根式合并成一项.二次根式的乘除法与二次根式的加减法的运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数被开方数化简系数相乘除.系数相加减.被开方数相乘除.被开方数不变.结果化为最简二次根式.先化为最简二次根式，再合并同类二次根式.

注意：一定要将不能开方的数字和字母作为结果的一部分保留.1.下列计算正确的是（）.

C

跟踪训练新知探究2.计算：

B

随堂练习

2.下列各式不成立的是（）.

C

3.计算：

更多同类练习见《教材XX》数学RJ八下16.3节XX二次根式的加减加减法则条件：被开方数相同.运算：分配律的逆向运算.先化简为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式.课堂小结合并二次根式

2

拓展提升注意：一定要将二次根式化为最简二次根式，再使两个被开方数相等，便可以得出结果.

3.计算.

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16.3二次根式的加减八年级下册RJ初中数学课时2

知识回顾

知识回顾

二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

注意：（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.计算：

1.理解并掌握二次根式混合运算的运算法则.2.熟练运用二次根式的混合运算法则进行计算.学习目标

课堂导入二次根式的混合运算应该怎样计算？1.二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.

2.二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号），与整式的混合运算顺序相同.

知识点：二次根式的混合运算新知探究注意：一定要注意二次根式的运算顺序.3.二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用.

运用类比的思想，将二次根式的混合运算类比成整式的混合运算.4.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法

一般来说，没有特别说明就将字母默认为大于等于零的数字或式子.二次根式的混合运算的重点1.二次根式的混合运算结果一定要化成最简形式；2.在进行二次根式的计算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，同时要注意公式的正用和逆用，以及简化运算过程.

解：（1）

解：（1）

跟踪训练新知探究

1.计算：

随堂练习

更多同类练习见《教材XX》数学RJ八下16.3节XX

解：（1）原式=

（2）

3.计算：

（2）

二次根式的混合运算加、减、乘、除、乘方（或开方）先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）有理数的运算律、多项式乘法法则和乘法公式课堂小结种类依据顺序1.计算.

拓展提升

解：（2）

易错警示：运用多项式相乘的法则时，需注意：一是不要漏乘，二是需注意每一项前面的性质符号.

解：（1）

注意:含有三项的多项式进行运算时，可将其中两项用括号括起来看成是一个整体.

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16二次根式小结八年级下册RJ初中数学课时1二次根式概念

有意义的条件

知识梳理二次根式性质

拓展

1.二次根式的概念

二次根号被开方数根号a注意：在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.2.二次根式有意义的条件

3.二次根式的性质（1）二次根式的双重非负性：

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.4.代数式注意：(1)代数式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等关系符号，单独一个数或者字母也是代数式；(2)将两个代数式用以上关系符号连接起来的式子叫做关系式.下列式子中是二次根式的有哪些？请说明原因.

序号结论理由①②③④⑤是不是不一定不是是含有二次根号，且被开方数是非负数.不是二次根号.被开方数是负数.被开方数可能为负数，也可能为非负数.

重难点1：二次根式的概念重点解析

当a取何值时，下列式子在实数范围内有意义？重难点2：二次根式有无意义的条件重点解析根号下式子非负同时分母不为0同时满足两个根号下式子非负根号下式子非负同时分母不为0

解：（1）由a+2≥0且a-5≠0，得a≥-2且a≠5.

（2）由a-1≥0且3-a≥0，得1≤a≤3.

类型

举例式子有意义的条件单个二次根式多个二次根式相加二次根式作为分式的分母二次根式与分式相加二次根式与零指数幂相加

重难点3：二次根式的性质重点解析

列代数式：一个直角三角形的面积为S，一直角边长为a，则另外一直角边长为

.

重难点4：代数式重点解析

AA.x≥2且x≠7B.x≥2C.x>2且x≠7D.x<2解得x≥2且x≠7.深化练习

-3

技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再把字母的值代入相关式子求值.

5.在实数范围内分解因式.

更多同类练习见《教材XX》数学RJ八下16.1节XX

解：由题意可得8-n≥0且n≥0，所以0≤n≤8，所以0≤8-n≤8.

所以当8-n=0时，解得n=8；当8-n=1时，解得n=7；当8-n=4时，解得n=4.综上，自然数n的值为8或7或4.

1002

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。16二次根式小结八年级下册RJ初中数学课时2二次根式的运算乘法法则

法则逆用

知识梳理二次根式的运算除法法则

法则逆用

二次根式的运算最简二次根式被开方数不含分母被开方数中不含能开得尽方的因数或因式加减法则合并二次根式：被开方数相同二次根式加减时，先化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.二次根式的运算混合运算加、减、乘、除、乘方、开方混合先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先去掉括号.灵活运用运算律、多项式乘法法则和乘法公式.1.二次根式的乘法法则文字表述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.

文字表述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积.

1.二次根式的乘法法则2.二次根式的除法法则文字表述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.

2.二次根式的除法法则文字表述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

3.最简二次根式最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

（1）被开方数不含分母.（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

4.二次根式的加减二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.

可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.

5.二次根式的混合运算二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.

二次根式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的(或先去掉括号).

二次根式的混合运算依据：有理数的运算律、多项式乘法法则和乘法公式.

1.计算下列式子：

重难点1：二次根式的乘法法则重点解析

将二次根式下的带分数化为假分数.2.化简下列各式子：

计算下列式子：重难点2：二次根式的除法法则重点解析把下列二次根式化成最简二次根式：

重难点3：最简二次根式重点解析计算下列式子：

重难点4：二次根式的加减法重点解析计算下列式子：

重难点5：二次根式的混合运算重点解析

更多同类练习见《教材XX》数学RJ八下16.2节XX1.计算：

深化练习

二次根式乘除混合运算的方法（1）将式子中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律转化为系数和被开方数的运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）结果化成最简二次根式（或整式）.

分析：本题可以采用“0”点取值法，即令要讨论的代数式值为0，求出代数式的值为0时字母的值，然后进行分类讨论.分类讨论时要做到不重复、不遗漏.

综上可知，原式=

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。17.1勾股定理八年级下册RJ初中数学课时1一般三角形1.三角形内角和为180〫.

2.两边之和大于第三边，

两边之差小于第三边.

直角三角形1.三角形内角和为180〫.

2.两边之和大于第三边，

两边之差小于第三边.

3.斜边中线等于斜边一半.

4.两锐角互余.知识回顾1.探索并掌握勾股定理的证明过程.2.熟练运用勾股定理解决数学问题.学习目标3.通过利用勾股定理解决简单问题，体会数形结合的思想.相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.课堂导入请你观察一下地面的图案，从中发现了什么？思考1

图中三个正方形的面积有什么关系？

知识点：勾股定理的认识与证明新知探究两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.S1=S2+S3你是如何得到呢？思考2等腰直角三角形的三边之间有什么关系？斜边的平方等于两直角边的平方和.c2=a2+b2abc你能说一下思路吗？探究等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？

如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A'

，B'

，C'

的面积，看看能得出什么结论？ABCA'

B'

C'

面积/格434259139你发现了什么规律吗？我发现SA+SB=SC，SA'+SB'=SC'

命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.通过上面的思考和探究，我们可以猜想：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．有哪些证明方法呢？证法一：赵爽弦图

bbaaccab边长分别为a，b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形.四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形.bbaacacb如图，左边图形的面积=

a2+b2，右边图形的面积=c2.∵右边图形由左边图形拼接而成，∴得到a2+b2=c2.证法二：加菲尔德总统拼图bbaacc┐┌┌

∴a2+b2=c2.证法三：毕达哥拉斯拼图bbbbaaaaccccbbbbaabaacc分别计算左右两个正方形的面积，你能得出什么结论？bbbbaaaaccccbbbbaabaacc

证法四：刘徽“青朱出入图”

abc青出青出青入青入朱入朱出青方朱方BCAa（勾）c（弦）b（股）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.BCAa（勾）c（弦）b（股）

注意：1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别为12，16，9，12，求最大正方形E的面积.

跟踪训练新知探究与正方形A，B，C，D有何关系？

1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C=90〫.已知a：b=1:2，c=5，求b.解：∵∠C=90〫，a：b=1:2，∴b=2a.

随堂练习

更多同类练习见《教材XX》数学RJ八下17.1节XX2.如图，每个小正方形的边长均为1，求三角形ABC的三边长.

ABC3.已知直角三角形的两条边长为2，4，则第三条边长为多少？未说明已知的两条边长是直角边还是斜边，在解答的时候要注意分情况讨论，且要满足三角形的三边关系.解：（1）当2，4均为直角边时；

（2）当2为直角边，4为斜边时；

勾股定理证明定理

刘徽“青朱出入图”加菲尔德总统拼图毕达哥拉斯拼图赵爽弦图课堂小结

解析：因为∠B=90〫，所以b是斜边，a，c是直角边.

A拓展提升2.（2021•山西中考）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想C3.某直角三角形一直角边长为3，另一直角边和斜边的和为9，求斜边的长为多少？解：设斜边长为x，则另一直角边长为9-x.由勾股定理，得

化简得

∴斜边长为5.解得，.

谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。17.1勾股定理八年级下册RJ初中数学课时2

勾股定理的4种证明方法：赵爽弦图刘徽“青朱出入图”加菲尔德总统拼图毕达哥拉斯拼图知识回顾1.学会利用勾股定理的数学思想解决生活中的实际问题.2.能熟练将实际问题转化为数学模型进行计算.学习目标这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？课堂导入例1一个门框的尺寸如图所示.（1）一块长3m，宽1.5m的薄木板，能否从门框中通过？若能应该如何通过？（2）一块长3m，宽2.2m的薄木板呢？（3