课时分层作业15抛物线的几何性质(一)

课时分层作业(十五)抛物线的几何性质(一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6yC[依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p＞0)的形式，又eq\f(p,2)＝3，∴p＝6,2p＝12，故方程为x2＝±12y.]2．若双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为()A．2B．3C．4D．4eq\r(2)C[双曲线的方程可化为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,\f(p2,16))＝1，∴双曲线的左焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3＋\f(p2,16))，0)).又∵抛物线的准线为x＝－eq\f(p,2)，由题意－eq\r(3＋\f(p2,16))＝－eq\f(p,2)，解得p＝4.]3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果x1＋x2＝6，则|AB|的值为()A．10B．8C．6D．4B[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.]4．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．pB[由抛物线的对称性，可知kOA＝1，可得A，B的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p)，S△ABO＝eq\f(1,2)×2p×4p＝4p2.]5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(y1y2,x1x2)的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2A[①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝eq\f(p,2)，∴x1x2＝eq\f(p2,4)；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(p2k2,4)＝0，则x1x2＝eq\f(p2,4).∴y1y2＝－p2.故eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.]二、填空题6．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.6[由题意知Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,\r(3))，－\f(p,2)))，代入方程eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1得p＝6.]7．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．x－y－1＝0[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，两式相减得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝2(x1－x2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2,y1＋y2)＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．y2＝5x[线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))，∴抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))，∴其标准方程是y2＝5x.]三、解答题9．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．[解]依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋eq\f(1,2)p.设直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8.①又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px))消去y，得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，∴x1＋x2＝3p.将其代入①，得p＝2.∴所求的抛物线方程为y2＝4x.当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.综上所述，抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．[证明](1)由已知得抛物线焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)).由题意可设直线方程为x＝my＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px，得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)由y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2，所以x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＝eq\f(p4,4p2)＝eq\f(p2,4).(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)).因为x1x2＝eq\f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)|AB|－p＋\f(p2,4))＝eq\f(2,p)(定值)．(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．[能力提升练]1．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是()A.eq\f(25,4)B.eq\f(25,2)C.eq\f(25,8)D．25A[抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l的方程为y＝eq\f(4,3)(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,3)x－2，,y2＝8x，))得B点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)).∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).∴AB的中点到准线的距离为eq\f(25,4).]2．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.2[法一：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))消去x得y2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)y＋1))，即y2－eq\f(4,k)y－4＝0，则y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得eq\o(MA,\s\up15(→))·eq\o(MB,\s\up15(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1与y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1y2＝－4代入，得k＝2.法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4(x1－x2)，则k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.]3．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．eq\f(3\r(2),2)[由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2eq\r(2).设AB的方程为x－1＝ty，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－1＝ty))消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4.∴y2＝－eq\r(2)，x2＝eq\f(1,2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×|y1－y2|＝eq\f(3\r(2),2).]4．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[由题意可知机器人的轨迹为抛物线，其轨迹方程为y2＝4x，过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，由题意知直线与抛物线无交点，联立两方程并消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，所以k2＞1，解得k＞1或k＜－1.]5．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．[解](1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直线l的方程为y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x