314空间向量的正交分解及其坐标表示-高二数学理科选修教学课件(人教A版)

3.1

空间向量及其运算

空间向量的正交分解及其坐标表示1.

空间任一向量可用一个基底表示吗?这个基底是怎样的一组向量?2.

空间向量的坐标是基于怎样的一个基底得到的?3.

已知向量的坐标,怎标在空间直角坐标系中标出向量?学习要点

问题1.

类比平面向量的基本定理,对于空间向量,你能叙述类似的一个结论吗?空间向量基本定理:

如果三个向量a,b,c

不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得

p=xa+yb+zc.事实上,如图所示:abp基本定理,在a,b

所在的平面内找一向根据平面向量量g,使其与c,p

共面,则g=l1a+l2b,∴p=m1(l1a+l2b)+m2cgcabp=m1g+m2c.=xa+yb+zc.

问题1.

类比平面向量的基本定理,对于空间向量,你能叙述类似的一个结论吗?空间向量基本定理:

如果三个向量a,b,c

不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得

p=xa+yb+zc.

如果三个向量a,b,c

不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,zR}.这个集合可看作是由向量a,b,c

生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c

叫做基向量.空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.

设e1,e2,e3

为有公共起点O

的三个两两垂直的单位向量,以e1,e2,e3

的公共起点O

为原点,分别为e1,e2,e3

的方向为x

轴、y

轴、z

轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,那么,对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O

重合,得到向量

=p.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得

p=xe1+ye2+ze3.我们把x,y,z

称作向量p

在单位正交基底

e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z).xyze1e2e3OP(1.5,3,2)p1.5e13e22e3p=1.5e1+3e2+2e3=(1.5,3,2).如图:xyze1e2e3OP(1.5,3,2)p1.5e13e22e3空间任一向量p

可用空间直角坐标(x,y,z)表示,它是由单位正交基底e1,e2,e3表示的向量p=xe1+ye2+ze3的系数.当向量p=(x,y,z)的起点移到原点时,向量坐标就是终点坐标.

例4.

如图,M,N

分别是四面体OABC

的边OA,BC

的中点,P,Q

是MN

的三等分点.用向量表示和OABCMNPQ解:

例4.

如图,M,N

分别是四面体OABC

的边OA,BC

的中点,P,Q

是MN

的三等分点.用向量表示和OABCMNPQ解:

例(补充).

已知正方体的棱长为6,在如图的空间坐标系中,标出向量a=(3,4,6),b=(6,3,0),c=(0,6,4).xyzO解:标出的向量如图:ABC练习:(补充)

如图,已知正方体的棱长为6,写出向量

(D为棱的中点)的坐标.xyzOABCD练习:(课本94页)第1、2题.练习:(补充)

如图,已知正方体的棱长为6,写出向量

(D为棱的中点)的坐标.xyzOABCD解:练习:(课本94页)

1.

已知向量{a,b,c}是空间的一个基底,从a,b,c中选哪一个向量,一定可以与向量p=a+b,q=a-b

构成空间的另一个基底?解:因为p

向量,q

向量都与向量a,b

共面,而c

向量与a,b

不共面,所以选向量c

与p,q

可构成空间的另一个基底.2.

已知O,A,B,C

为空间四个点,且向量不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C

是否共面?解:不构成空间的一个基底,共面,则O,A,B,C

四点共面.【课时小结】1.

空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c

不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得

p=xa+yb+zc.

空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c

叫做基向量.【课时小结】2.

空间向量的坐标单位正交基底:两两互相垂直的单位向量.

用x,y,z

方向的单位正交基底表示空间任一向量p=xe1+ye2+ze3其系数即为向量的坐标p=(x,y,z).

当向量p=(x,y,z)的起点移到原点时,向量坐标就是终点坐标.练习:(课本94页)第3题.习题3.1A组第6题.ABCOA

B

C

O

G3.

已知平行六面体OABC-O

A

B

C

,点G

是侧面BB

C

C

的中心,且用a,b,c

表示下列向量:

(1)(2)解:(1)=a+b+c.=-b+c.=a-b+c.练习:(课本94页)ABCOA

B

C

O

G3.

已知平行六面体OABC-O

A

B

C

,点G

是侧面BB

C

C

的中心,且用a,b,c

表示下列向量:

(1)(2)解:(2)练习:(课本94页)习题3.1A组

6.

已知向量a,b,c分别平行于x轴、y轴、z轴,它们的坐标各有什么特点?xyzOAB