专题145数列综合问题（精讲精析篇）-新高考高中数学核心知识点全透视

专题14.5数列综合问题（精讲精析篇）一、核心素养1.数列与传统数学文化相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养．2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．二、考试要求(1)掌握各类数列求和方法.(2)能在具体的问题情境中识别数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.(3)能灵活处理数列与函数、不等式等知识的结合问题.三、主干知识梳理（一）数列的求和1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3.数列前项和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差数列中，；③等比数列中，.（二）数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（三）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有：(1)eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k).(3)2(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＜eq\f(1,\r(n))＜2(eq\r(n)－eq\r(n－1))．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（四）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．二、真题展示1．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线【答案】C【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得，即，对其进行整理变形：，，，，所以或，其中为双曲线，为直线.故选：C.2．（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（II）（i）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ii）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.考点01数列求和【典例1】（2021·山东济南市·高三二模）已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意列方程求出首项与公差即可求解；（2）根据裂项相消法求和即可.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差，因为，，所以，解得，所以．（2），所以．【典例2】（2018·天津高考真题（文））设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【解析】（I）设等比数列的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得．因为，可得，故．所以，．设等差数列的公差为．由，可得．由，可得从而，故，所以，．（II）由（I），有由,可得，整理得解得（舍），或．所以n的值为4．【典例3】（2020·全国高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.【总结提升】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0等比数列，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前SKIPIF1<0项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是各项不为零的等差数列，SKIPIF1<0为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项需要掌握一些常见的裂项方法：=1\*GB3①SKIPIF1<0，特别地当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；=2\*GB3②，特别地当SKIPIF1<0时，；=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤5．分组转化求和法：有一类数列SKIPIF1<0，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列SKIPIF1<0是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，.考点02等差数列与等比数列的综合问题【典例4】（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【典例5】（2021·山东泰安市·高三三模）在①成等比数列，②是和的等差中项，③的前项和是这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．已知数列为公差大于的等差数列，，且前项和为，若_______，数列为等比数列，且．（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）分别选条件①，选条件②，选条件③根据等差数列和等比数列基本量的运算，直接求解即可；（2）等差等比数列乘积的数列可以利用错位相减法求数列和.【详解】（1）设的公差为选条件①：，或，，所以，选条件②：，，即解得：，，选条件③：的前项和是，即解得：．，设的公比为，，，，（2）．【总结提升】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.考点03数列与函数的综合【典例7】（2021·江西九江一中高二月考（理））设数列的前n项和为，对任意，函数在定义域内有唯一的零点，则数列的通项公式__________________．【答案】【分析】根据偶函数的对称性可以判定函数为唯一零点的横坐标必然为0，进而得到数列的和与项的关系式，利用作差法消和得到项的递推关系，构造数列结合首项的求解结果，可以判定数列是等比数列，然后写出通项公式即可.【详解】函数在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，为偶函数，其图象关于轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0，（否则公共点则成对出现），即,取得,所以,当时得到,,即,∴数列为首项为，公比为的等比数列，∴,即故答案为：.【典例8】（2019·河南高二期中（理））在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为__________．【答案】【解析】由有，故数列为首项为，公比为的等比数列，可得.不等式可化为，令，当时；当时，.故当时，，故，，因此，实数的最小值是.故答案为：.【典例9】（2017山东，理19）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3x2=2（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)…Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.【答案】(I)（II）（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+=……+=1\*GB3①又……+=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②得=所以【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．考点04数列与不等式的综合【典例10】【多选题】（2020·高密市教育科学研究院高三其他）设正项等差数列满足，则（）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】ABD【解析】因为正项等差数列满足，所以，即.①，当且仅当时成立，故A选项正确.②由于，所以，当且仅当时成立，故B选项正确.③，当且仅当时成立，所以的最小值为，故C选项错误.④结合①的结论，有，当且仅当时成立，故D选项正确.故选：ABD【典例11】（2021·山东泰安市·高三其他模拟）已知等比数列的前n项和为．（1）求的公比q；（2）对于，不等式恒成立，求实数t的最大值．【答案】（1）2；（2）【解析】（1）由已知建立关系即可求出公比；（2）化简可得不等式等价于，利用的单调性可求出最小值，即可得出.【详解】解：（1）由，得，整理得，所以，因为，所以，由题意得，所以．（2）由（1）得，所以，所以，所以，令．当时，；当时，；当时，递增，所以．所以，故实数的最大值为．【温馨提醒】应用基本不等式，要注意条件“一正、二定、三相等”是否完全具备.考点05数列的实际应用问题【典例12】（2017·全国高考真题（理））几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【解析】解法一：由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选A.解法二(排除法)：记SN为数列的前N项和，由题意得，数列的前110项为20,20,21,20,21，…，20,21，…，213,20,21,22,23,24，所以S110＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋213)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(214－1)＋(25－1)＝(21＋22＋…＋214)－14＋31＝215＋15，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项D不正确．同理，S220＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋219)＋(20＋21＋22＋23＋…＋29)＝221＋210－23，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项C不正确．同理，S330＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋224)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝226＋4，不是2的整数幂，故选项B不正确，所以正确的选项为A.解法三：不妨设1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋2t)＝2m(其中m、n、t∈N,0≤t≤n)，则有N＝eq\f(nn＋1,2)＋t＋1，因为N＞100，所以n≥13.由等比数列的前n项和公式可得2n＋1－n－2＋2t＋1－1＝2m.因为n≥13，所以2n＞n＋2，所以2n＋1＞2n＋n＋2，即2n＋1－n－2＞2n，因为2t＋1－1＞0，所以2m＞2n＋1－n－2＞2n，故m≥n＋1，因为2t＋1－1≤2n＋1－1，所以2m≤2n＋2－n－3，故m≤n＋1.所以m＝n＋1，从而有n＝2t＋1－3，因为n≥13，所以t≥3.当t＝3时，N＝95，不合题意；当t＝4时，N＝440，满足题意，故所求N的最小值为440.【典例13】（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．考点06数列的“新定义”问题【典例14】（2021·山东青岛市·高三三模）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等差数列的前项和，若，则（）A． B．45 C．75 D．150【答案】C【解析】先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前项和公式求和即可.【详解】由行列式的定义有，即，所以.故选：C.巩固提升1.（2021·甘肃张掖市第二中学高二月考（理））已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________．【答案】##【分析】利用等差中项、等比中项的性质求参数a、b，进而求的值.【详解】由是的等差中项，则，又是，的等比中项，则，即，∴．故答案为：．2.（2021·上海高三模拟预测）若数列{an}满足0，则称{an}为“梦想数列”．已知数列{}为“梦想数列”，且b1＝2，则{bn}的通项公式为bn＝_______．【答案】3n﹣1【分析】由题得是公比为的等比数列，则是公比为3的等比数列，再利用等比数列的通项求解.【详解】由＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，由数列{}为“梦想数列”，得{bn+1}是以为首项，3为公比的等比数列，所以bn+1＝3×3n﹣1＝3n，则bn＝3n﹣1．故答案为：3n﹣1．3．（2021·河南郑州·高二期中（理））等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，，则____．【答案】【分析】设等比数列的公比为，由等比数列的求和公式列方程组，求出和的值，再由等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，所以，可得，所以，，所以，故答案为：.4．（2021·甘肃张掖市第二中学高三月考（理））若等比数列的各项均为正数，且，则__________．【答案】25【分析】由等比数列的性质可得，再代入计算即可.【详解】解：由数列为等比数列得，又，，.故答案为：25.5.（2019·北京高考模拟（文））天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.6.（2017·全国高考真题（文））已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5或.【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.（1）∵，结合得，∴.（2）∵，解得或3，当时，，此时；当时，，此时.7．（2021·河南郑州·高二期中（文））已