高二数学上学期期中模拟试卷（空间向量与立体几何直线与圆椭圆）

高二数学上学期期中模拟试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·福建福州·高二期中）直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B【解析】直线的斜率为1，倾斜角为45°，故选：B．2．（2022·江苏·南京市大厂高级中学高二期中）已知圆，则（

）A．圆C的圆心坐标为B．圆C的圆心坐标为C．圆C的半径为D．圆C的半径为35【答案】C【解析】圆C的方程可化为，则圆心坐标为，半径为.故选：C.3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知椭圆的焦点为、，P为椭圆上的一点，若，则的面积为（）A．3B．9C．D．【答案】C【解析】根据椭圆的定义有，①根据余弦定理得，②结合①②解得，所以的面积．故选:C4．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，故选；A5．（2022·安徽省舒城中学高二期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A．1B．C．3D．4【答案】B【解析】由直线与直线平行，可得，解之得则直线与直线间的距离为，故选：B6．（2022·江苏常州·高二期中）直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，设，可得，，，.，故BM与AN所成角的余弦值为，故选：A.7．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.综上可知：或.故选：D.8．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，如图，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直则只需，即，，即，因为，解得：．，即，而，，即．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（）A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直B．若直线的方向向量，平面的法向量，则C．若平面，的法向量分别为，，则D．若存在实数使则点共面【答案】AD【解析】对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，且，所以，所以与垂直.故A正确；对于B：因为直线的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正确；对于C：因为平面，的法向量分别为，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正确；对于D：若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；若共线，则存在实数使所以共线，则点共面也成立.综上所述：点共面.故D正确.故选：AD10．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线与圆，则（）A．直线与圆C相离B．直线与圆C相交C．圆C上到直线的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆，可知其圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误.故选：BD11．（2022·湖北恩施·高二期中）如图，在棱长为1的正方体中，M为BC的中点，则下列结论正确的有（）A．AM与所成角的余弦值为B．C到平面的距离为C．过点A，M，的平面截正方体所得截面的面积为D．四面体内切球的表面积为【答案】ABD【解析】对于A，构建如图①所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，故A正确；对于B，方法1：如图②，连接AC，由正方体几何特征得：，又面，面，面，设C到平面的距离为d，即点A到平面的距离，，即，求得.方法2：根据图①，,，，，设平面的法向量，则，即，令得：，平面的一个法向量为，，设C到平面的距离为d，则，故B正确；对于C，取的中点N，连接，，，则，如图②所示，则梯形为过点A，M，的平面截正方体所得的截面，易知，，，可得梯形的高为，则梯形的面积，故C错误；对于D，易知四面体的体积，因为四面体的棱长都为，所以其表面积.设四面体内切球的半径为r，则，解得，所以四面体内切球的表面积为，故D正确.故选：ABD.12．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆，若P在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（）A．若，则B．面积的最大值为C．的最大值为D．满足是直角三角形的点有个【答案】ABC【解析】在椭圆中，，，，且，对于A选项，当时，则，由余弦定理可得，因为，所以，，A对；对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大，所以，面积的最大值为，B对；对于C选项，因为，即，所以，，C对；对于D选项，当或时，为直角三角形，此时满足条件的点有个，当为直角顶点时，设点，则，，，，所以，，，此时，满足条件的点有个，综上所述，满足是直角三角形的点有个，D错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·全国·高二期中）已知直线，直线，若，则实数的值为______．【答案】或【解析】因为，所以，解得或，故答案为：或14．（2022·江苏常州·高二期中）已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.【答案】【解析】因为，则，所以，，所以，，，，因此，.故答案为：.15．（2022·上海金山·高二期中）求过点的圆的切线方程__________.【答案】或【解析】过点的斜率不存在的直线为：，圆心到直线的距离为1，与圆相交，不是切线；当斜率存在，设其为k，则切线可设为.所以，解得：或.所以切线方程为：或.故答案为：或.16．（2022·湖北恩施·高二期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.【答案】【解析】如图所示：延长，交于点Q，∵PA是的外角平分线，，，又O是的中点，，且.又，，，∴离心率为.故答案为：四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·全国·高二期中）已知的三个顶点的坐标为、、，试求：（1）边上的高所在的直线方程；（2）的面积．【答案】（1）；（2）24【解析】（1）因为，则边上的高的斜率为3，又经过A点，故方程为，化简得．（2），直线方程为，整理得，则到的距离为，则的面积为.18．（2022·全国·高二期中）已知圆和圆.（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在直线的方程；（3）求公共弦的长度.【答案】（1）相交；（2）；（3）【解析】（1）将两圆方程化为标准方程为，,则圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.，，，，两圆相交.（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为.（3）由,解得或,两圆的交点坐标为和.两圆的公共弦的长度为.19．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）30°【解析】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．所以，因为平面,所以平面的一个法向量为，因为，所以，因为平面，所以平面（2），，．设平面的一个法向量为则，令，则，，所以设与平面所成角为，则．因为，所以与平面所成角为30°．20．（2022·全国·高二期中）已知圆，直线．（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线l被圆截得的最短弦长以及此时直线l的方程．【答案】（1）见解析；（2）最短弦长为，.【解析】（1）直线化为，则，解得，所以直线l恒过定点，圆心，半径，又因，所以点在圆C内，所以不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）当直线l所过的定点为弦的中点，即时，直线l被圆截得的弦长最短，最短弦长为，，所以直线l的斜率为2，即，解得，所以直线l的方程为.21．（2022·江苏徐州·高二期中）如图所示，在四棱锥中，，，，且（1）求证：平面平面；（2）已知点是线段上的动点（不与点､重合），若使二面角的大小为，试确定点的位置.【答案】（1）见解析；;（2）点在线段上满足【解析】（1）连接，由，知，在中，，设的中点为，连接，则，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为正方形，所以，在中，，在中，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在中，，所以，在中，过点作，垂足为，因为，所以为中点，所以，由（1）得平面，平面，则，平面，，则平面.以为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间坐标系，则，设，则，易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，所以，即，即，解得（舍）