专题52导数的运算（原卷版）

专题5.2导数的运算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))

eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))

eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))

eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【常用结论】1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq\f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．6．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>0f(x)在区间(a，b)上单调递增f′(x)<0f(x)在区间(a，b)上单调递减f′(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是常数函数2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．【常用结论】1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．7．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．8．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【常用结论】对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．一、单选题1．下列求导结果正确的是（

）A． B．C． D．2．已知函数，，若有两个零点，则k的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知，则等于（

）A．0 B． C．2 D．14．已知函数的导函数为，且，则（

）A．3 B．2 C． D．15．已知函数，是函数的导函数，则（

）A．0 B． C．1 D．6．以点为切点的曲线的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B．1 C． D．27．已知函数，则（

）A． B．1 C． D．8．已知函数的导函数是，且，则（

）A．1 B．2 C．12 D．249．若函数满足，则的值为（

）．A．1 B．2 C．0 D．10．定义满足方程的实数解叫做函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（

）A． B．C． D．11．已知函数的导函数为，且满足，则（

）A． B． C．4 D．12．已知函数，则（

）A．为偶函数 B．在区间单调递减C．的最小值为2e D．有1个零点13．已知函数，则（

）A． B．0 C． D．114．已知是函数的导数，且对任意的实数都有，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．15．设曲线在点处的切线与直线垂直，则A．2 B． C． D．16．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（

）A．4 B．8 C．2 D．117．若函数的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则的取值范围是（

）A． B．C． D．18．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是() B．C． D．19．已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．20．已知定义在上的函数和函数满足，且，则下列不等式成立的是A． B．C． D．二、填空题21．已知函数满足，则___________.22．已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为______．23．已知函数且的图像在点处的切线与x轴，y轴分别交于A，B点，O为坐标原点，则当面积最小时，___________.24．已知函数，经过点且与相切的两条切线，斜率之和=____________.25．已知函数f（x）的导函数为，且满足关系式，则f（1）＝______．26．已知函数的解析式唯一，且满足.则函数的图象在点处的切线方程为_________