522函数的和差积商的导数-2021-2022学年高二数学培优训练（2019选择性）

5.2.2函数的和、差、积、商的导数（满分100分时间：40分钟）班级姓名得分一、单项选择题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知是函数的导函数，且对于任意实数都有，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题解题关键在于根据已知构造出合适的函数，，再通过逆用求导公式得到，根据已知条件求得m的值，从而将抽象不等式转化为一元二次不等式，进而得解．【详解】因为，所以，即，亦即，又，所以，即有．原不等式可等价于，即，解得的取值范围是．故选：A．2．函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（）A．①④ B．②③ C．③④ D．①②③【答案】B【分析】求得，，根据①②③④中的图象分析、、的符号，由此可得出合适的选项.【详解】易知，则．由①②中函数的图象得，若，则，此时，，又，所以的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若，则，此时，，又，所以的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数的图象得，若，则，此时，，又，所以的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；若，则，此时，，又，所以的图象开口向上，此时③④均不符合要求．综上，②③符合题意，故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数与一次函数图象的辨别，解题的关键就是要根据一次函数与二次函数的关键要素分析参数的符号，而一次函数图象主要从直线的斜率、在轴上截距的正负来分析，二次函数主要从其图象的开口方向、对称轴的位置以及二次函数图象与轴上的交点位置来分析，主要从参数的范围或符号来进行分析.3．已知函数，其中为函数的导数，则（）A．2 B．2019 C．2018 D．0【答案】A【分析】，令，则有，然后得出是奇函数，是偶函数即可求出答案.【详解】令，则有因为的定义域是R，所以是奇函数，所以是偶函数所以，所以故选：A【点睛】可导的奇函数的导数是偶函数，可导的偶函数的导数是奇函数.4．定义在上的函数，其导函数是，且恒有成立，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把给出的等式变形得到，由此联想构造辅助函数，由其导函数的符号得到其在上为增函数，则，整理后即可得到答案．【详解】解：因为，所以，．由，得．即．令，，则．所以函数在上为增函数，则，即，所以，即．故选：D．【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法．5．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b【答案】A【分析】求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.【详解】依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.故选：A【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力．二、多选题6．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是的根，选取作为r的初始近似值，过点作曲线的切线，则l与x轴的交点的横坐标，称是r的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中，称是r的n+1次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则（）A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似值为B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似值为C．D．【答案】ABC【分析】根据牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算即可判断各选项的正误.【详解】令，则，当，，，故A正确；当，，，故B正确；因为；；；，∴，故C正确，D错误.故选：ABC7．函数的导函数为，若对于定义域为任意，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数，其中为恒均变函数的是（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由“恒均变”函数的定义，结合导数的运算和特殊值法，化简整理，对各个选项判断可得结论．【详解】解：对于A，，则，所以，，满足，故A中的函数为恒均变函数；对于B，，则，所以，，满足，故B中的函数为恒均变函数；对于C，当，时，，，此时不满足，故中的函数不为恒均变函数；对于D，，则，当，时，，，此时不满足，故D中的函数不为恒均变函数；故选：．8．定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断，以下命题正确的是（）A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B．函数的对称中心是（1，0）C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心D．若函数，则【答案】BCD【分析】根据新定义对应各个选项逐个判断，求出，判断其零点的个数即可判断A；，将（1，0）代入即可判断B；设三次函数为，方程的解只有，从而可判断C；求出函数的对称中心为，则，即可判断D.【详解】解：选项A：因为，，则方程只有一个实数解，即不存在有两个及两个以上对称中心的三次函数，故A错误，选项B：因为，，方程只有一个实数解，，则函数的对称中心为，故B正确，选项C：设三次函数为，则，，方程的解只有，，所以函数的对称中心为，故C正确，选项D：因为，，方程只有一个实数解为，，所以函数的对称中心为，则，所以，故D正确，故选：BCD．三、填空题9．巳知函数，若关于的方程有4个互异的实数根，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】方程有4个互异的实数根转化为函数的图象与动折线有四个不同的公共点，借助数形结合的思想作答.【详解】函数定义域为，是偶函数，其图象如图，直线，(图中虚线)及y轴是该图象的渐近线，函数的图象是过定点的折线，观察图象知，当射线与在y轴左侧的图象有公共点时，该射线与在y轴右侧的图象有1个或2个公共点，当射线与在y轴左侧的图象相切时，设切点，，依题意有，且，整理得，解得，，显然，当时，射线与曲线有无公共点，则曲线与折线最多有2个公共点，不符合，①当时，射线与曲线有1个公共点，而，该射线与直线相交，它与曲线有2个公共点，射线与直线不相交，则它与曲线无公共点，即当时，曲线与折线有3个公共点，②当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线相交，它与曲线有2个公共点，射线与直线不相交，则它与曲线无公共点，即当时，曲线与折线有4个公共点，③当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线平行，它与曲线有1个公共点，射线与直线平行，则它与曲线无公共点，即当时，曲线与折线有3个公共点，④当时，射线与曲线有2个公共点，该射线与直线不相交，它与曲线有1个公共点，射线与直线相交，则它与曲线有1个公共点，即当时，曲线与折线有4个公共点，综上，当或时，曲线与折线有4个公共点，即方程有4个互异的实数根，所以实数的取值范围是.故答案为：10．已知函数f(x)=2lnx，若总存在直线与函数y=f(x)，y=g(x)图象均相切，则a的取值范围是_____.【答案】[，+∞)【分析】设y=f(x)与y=g(x)的图象在交点处存在切线y=kx+b,且切点为(n,2lnn),分别求得f(x),g(x)的导数,可得切线的斜率,得到n,k,t的方程,化简变形可得4lnn+n=1,设h(n)=4lnn+n,求得导数和单调性,解方程可得n=1,进而得到a的值,结合抛物线的开口与a的关系,可得所求范围.【详解】根据图象易得当两函数的图象相离或相切时一定有公共切线，当相交于两个不同点时没有公切线，下面探求相切时的条件.设y=f(x)与y=g(x)的图象在交点处存在切线y=kx+t,且切点为(n,2lnn),=,,可得=k=2an－1,2lnn=kn+t=an2－n－,化为kn=2,,则,即,设,h'(n)=+1>0,可得h(n)在(0,+∞)递增，由h(1)=1,可得4lnn+n=1的解为n=1,则a=,由y=ax2－x－=(a>0)的图象可得,当a越大时,抛物线的开口越小,可得此时y=f(x)和y=g(x)的图象相离,总存在直线与它们的图象都相切,则a的范围是[，+∞).故答案为[，+∞)【点睛】本题考查利用导数研究曲线的切线问题，属较难试题，关键是利用几何直观判断出两曲线相离时一定有公切线，相交于不同两点是不存在公切线，然后探求相切的条件，进而根据抛物线的系数是开口大小的关系，判定得到实数a的取值范围.11．设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为____________【答案】【分析】先对函数求导，二次求导，求出，不等式恒成立问题即二次不等式恒成立问题，根据图像可得且，可得出，分和讨论，利用不等式的性质和基本不等式可求得的最大值．【详解】因为，所以，即.因为对任意，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以且，即，所以，所以，所以，令，则.①当时，；②当时，当且仅当时，取得最大值为.故答案为【点睛】本题考查多变量的最值的问题，根据变量之间的关系，进行代换，换元，利用基本不等式求最值，是道难度比较大的题目．四、解答题12．记、分别为函数、的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据已知条件可得出关于的方程组，判断方程组无公共解，即可证得结论成立；（2）设为与的“点”，根据题中定义可得出关于的方程组，即可求得实数的值.【详解】（1）函数，，则，．由，可得，此方程组无解，因此，函数与不存在“点”；（2）函数，，则，，设为与的“点”，由可得，可得，解得，此时.因此，.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题的关键在于根据题中“点”的定义得出方程进行求解.对于新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证.13．曲线C：在点处的切线为：，在点处的切线为：，求曲线C的方程．【答案】．【分析】由已知结合导数的几何意义及计算即可求解【详解】由已知得点与点均在曲线C上，，由导数的几何意义得，，，解得：．所以曲线C的方程为：．【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，求切线常见考法：(1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值：．(2)已知斜率k，求切点，即解方程.(3)若求过点的切线方程，可设切点为，由，求解即可．14．设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式．【答案】f(x)＝xsinx＋cosx．【分析】已知f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，根据导数的四则运算法则以及求导公式求出，又知f′(x)＝xcosx，利用两者相等，建立等量关系，求解即可得结果.【详解】因为f′(x)＝